113-12級(jí)-矩陣論試題與答案

一(15分)在R3中的線性變換T將基a1參考答案11-102-10變?yōu)榛鵅=-1l-1Jr0)p_=1l-1J03-2⑴求線性變換T在基a1，a2,a3下的表示矩陣4(2)求向量己二(1,2,3)t及TR)在基a：a2,%下的坐標(biāo)。解：⑴由(%%B3)=T(a1，a2,“二(a1，a2,a3)4知：4二%,a2,a3)-1(外B2,B3)I-102-11Y10-1Jr1-1-1-1-1-113-11-1、I-102-11Y10-1Jr1-1-1-1-1-113-11-1、I-1-1-11J⑵設(shè)底％a2,a3)X、2JIX3J=(a,a,a)-1己1231 2Y1)0-12-1-2Ji3J-4-9IJJte)在基%%a3下的坐標(biāo):iy3J二(15分)已知4=-12-1、-101(1)求4的最小多項(xiàng)式m(X)及eAt；

（2（2）求微分方程組《dt=Ax(t)的解。解：（1）|九I一A|=（九一2）3,A的最小多項(xiàng)式m（九）二（九一2）2；設(shè)f(X)=e卜=m(%)g(九)+a九+b，f'@)=te卜，\f(2)=e\f(2)=e21=2a+b由」.If(2)=te21=2Ia=te21得：1,b=(1-2t)e21eAt=aA+bl=e21I-t(2)x(t)=eAtx=e210三（三（15分）設(shè)A=(0.10.7、、0.30.6,（1）計(jì)算||a*/a|[[A1；（2）判斷矩陣幕級(jí)數(shù)￡Ak是否收斂，若收斂，求其和。k=0解：（1）A=1.3，111Ali=0.9,同八:'095；F（2）因?yàn)锳=0.9<1，所以，矩陣幕級(jí)數(shù)￡4是收斂k=0￡Ak=(I—A)-1=k=01(0.40.7'0.1510.30.9,（1四（15分）已知A=011、11J（1）利用A的滿秩分解求廣義逆矩陣A+；（2）求無解方程組AX=b的最小二乘解以及極小范數(shù)最小二乘解。q解：(1)A=0I10、1=BC1JA+=Ch(CCh)iBh-114-1⑵解法方程組AtAX=AS：最小二乘解:「20(ArAArb)=01最小二乘解:「20(ArAArb)=01iN1X^k-1工2+10vJ2i\ 1 0 111->01132) 000r2100極小范數(shù)最小二乘解：x=A+Z?=:LS 21五（10分）設(shè)A是主對(duì)角元全為零的上三角矩陣，利用Jordan分解定理證明：存在正整數(shù)左，使得4=0。證：因A的特征值全為零，所以存在可逆矩陣尸，使得P-iAP=(JiJP-iAP=(JiJ2（Q10>n.xn.12 ，根。，機(jī)，從而,設(shè)J中Jordan塊的最大階數(shù)位左，則有/左=。"=1,2,，機(jī)，從而,P-i=0oAk=PJkP-1=pP-i=0o六(10分)設(shè)T為n維歐式空間V中的線性變換，且對(duì)內(nèi)積滿足：V羽ye匕(Tx,y)=—(x,Ty),試證：T在標(biāo)準(zhǔn)正交基a1,a2，，叱下的表示矩陣A=(aJn義n為反對(duì)稱矩陣。證：由T(a,a,,a)=(a,a,,a)A得1 2 n 1 2 n???Ta=aa+aa++aa1i1 2i2 nin??????Ta=aa+aa++aaj1j1 2j2 njn???貝U (Ta,a.)=(aa+aa++aa,a.)=ai(a,Ta)=(a,aa+aa++aa)=aj 1j1 2j2 njnj由(Tai,a 巴,Taj)知：aj=—a屋即A=-AT，所以，A為反對(duì)稱矩陣。???七(10分)設(shè)A是n階方陣，A的特征多項(xiàng)式為卜I-A\=(九-a)n,a豐0,(1)證明矩陣nA-(trA)I是不可逆的;(2)證明A是可逆的，并求A-1(用A的多項(xiàng)式表示)。證：(1)由|九I-A\=(九-a)n,a豐0知：A的n個(gè)特征值入=a中0，trA=na且|aI-A|=0，所以，|nA-(trA)I\=|n(A-aI)|=nn|A-aI|=0，從而，矩陣nA-(trA)I是不可逆的。(2)|A|W乙=an豐0，所以，A是可逆的。由Hamilton-Cayley定理知，f(A)=(A-aI)n=0即???(A—aI)n=An—C1aAn-1+C2a2An-2— +(-1)n-1Cn-1Qn-1A+(-1)nanI=0nn n(-1)n-1r故^， A-1— [An-1—C1aAn-2+C2a2An-3—+(—1)n-1Cn-1an-11]。an n n… n八(10分)，設(shè)n階正規(guī)矩陣A的所有非零特征值為々，九,,九r,證明：A的正奇異值為oi=|々|，i—1,2,r。證：因?yàn)?/p>