第8章非線性控制系統(tǒng)分析1

第8章非線性控制系統(tǒng)分析1第一頁，共33頁。4、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(乃奎斯特判據(jù))若開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是G(j)軌跡不包圍G平面的(-1,j0)。負(fù)倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負(fù)倒特性)線性系統(tǒng)等價(-1,j0)?第二頁，共33頁。③G(j)與負(fù)倒描述函數(shù)相交閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩(極限環(huán)振蕩)

穩(wěn)定？不穩(wěn)定？振幅（A）？頻率()？設(shè)系統(tǒng)開環(huán)的線性部分G(j)穩(wěn)定

①G(j)不包圍負(fù)倒描述函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定②G(j)包圍負(fù)倒描述函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定第三頁，共33頁。當(dāng)微小擾動使振幅A增大到c點(diǎn)時，c點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)增大； 不能返回到a。當(dāng)微小擾動使振幅A減小到d點(diǎn)，d點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)減小； 不能返回到a。a點(diǎn)為不穩(wěn)定自振交點(diǎn)。5、自振分析（a,b）

微小擾動影響分析第四頁，共33頁。當(dāng)微小擾動使振幅A增大到e點(diǎn)時，e點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A減小； 返回到b。當(dāng)微小擾動使振幅A減小到f點(diǎn)，f點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A增大； 返回到b。b點(diǎn)為穩(wěn)定自振交點(diǎn)。第五頁，共33頁。i)具有飽和特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時負(fù)倒描述函數(shù)軌跡=實(shí)軸上（-1/k,-∞)。G1(j)軌跡不與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交G2(j)軌跡與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交b點(diǎn):穩(wěn)定自振交點(diǎn)bAb不存在自持振蕩第六頁，共33頁。ii)具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時負(fù)倒描述函數(shù)軌跡=實(shí)軸上（-∞,-1/k)。G1(j)軌跡不與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交G2(j)軌跡與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交b點(diǎn):不穩(wěn)定自振交點(diǎn)不存在自持振蕩第七頁，共33頁。iii)具有間隙特性的非線性系統(tǒng)負(fù)倒描述函數(shù)為G平面上一條曲線。A∞時G1(j)軌跡不與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交G2(j)軌跡與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交b點(diǎn):穩(wěn)定自振交點(diǎn)bAb不存在自持振蕩第八頁，共33頁。iv)具有滯環(huán)繼電器特性的非線性系統(tǒng)負(fù)倒描述函數(shù)為第三象限內(nèi)平行于橫軸的一組直線。3）單邊滯環(huán)寬度h增加

負(fù)倒描述函數(shù)軌跡向下移動

自持振蕩頻率降低，振幅增大2）如有數(shù)個交點(diǎn)

必有穩(wěn)定的自振交點(diǎn)1）如只有一個交點(diǎn)

必為穩(wěn)定的自振交點(diǎn)H2>h1第九頁，共33頁。試求：①當(dāng)K＝10時，該系統(tǒng)是否存在自持振蕩，如果存在，則求出自持振蕩的振幅和頻率；②當(dāng)K為何值時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界狀態(tài)。非線性飽和特性參數(shù)a=1、k=2非線性系統(tǒng)分析舉例第十頁，共33頁。相交于穩(wěn)定自振交點(diǎn)mA＝a時A∞時負(fù)倒描述函數(shù)軌跡為實(shí)軸上（-0.5，-∞)。第十一頁，共33頁。a/A=0.24A=4.38非線性飽和特性參數(shù)a=1、k=2A=4.38穩(wěn)定自振交點(diǎn)m:根據(jù)描述函數(shù)與振幅之間關(guān)系第十二頁，共33頁。臨界狀態(tài)下，軌跡在負(fù)實(shí)軸上的交點(diǎn)nK=3第十三頁，共33頁。非線性系統(tǒng)的校正?。。「淖僄(j)可使系統(tǒng)性能改變！改變N(A)同樣可以使系統(tǒng)性能改變！第四節(jié)非線性系統(tǒng)性能改進(jìn)及非線性應(yīng)用第十四頁，共33頁。一、非線性校正基本結(jié)構(gòu)串聯(lián)結(jié)構(gòu)并聯(lián)結(jié)構(gòu)反饋結(jié)構(gòu)第十五頁，共33頁。兩個非線環(huán)節(jié)并聯(lián)使非線性特性發(fā)生改變示例第十六頁，共33頁。二、非線性特性的應(yīng)用非線性阻尼控制

非線性因素對線性系統(tǒng)的性能會帶來不利的影響，如有目的的引入非線性環(huán)節(jié)，可使系統(tǒng)性能大幅度提高，甚至達(dá)到線性系統(tǒng)無法實(shí)現(xiàn)的效果第十七頁，共33頁。非線性阻尼下的階躍響應(yīng)未引入微分反饋引入微分反饋非線性阻尼第十八頁，共33頁。①試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；②如果系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩，如何消除之？KK＝20，死區(qū)繼電器特性M＝3，a＝l。三、改善非線性系統(tǒng)性能舉例第十九頁，共33頁。A＝a=1A∞G(j)軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)頻率值G(j)軌跡與負(fù)倒描述函數(shù)有兩個交點(diǎn)：a——不穩(wěn)定自振交點(diǎn)b——穩(wěn)定自振交點(diǎn)第二十頁，共33頁。a——不穩(wěn)定自振交點(diǎn)b——穩(wěn)定自振交點(diǎn)A1＝1.11A2＝2.3如要求穩(wěn)定第二十一頁，共33頁。1）改變G(j)——調(diào)整KK第二十二頁，共33頁。2）改變N(A):調(diào)整死區(qū)繼電器特性的死區(qū)a或輸出幅值M取a=1、M=2第二十三頁，共33頁。第五節(jié)相平面分析法一、相平面法的概念

二階時不變系統(tǒng)一般可以用下列常微分方程來描述

式中是x(t)和的線性或非線性函數(shù)。如果把方程看作一個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程，則質(zhì)點(diǎn)在任一時刻的狀態(tài)，可由質(zhì)點(diǎn)的位移x(t)和速度來描述，x(t)和稱為該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動系統(tǒng)的相變量(狀態(tài)變量)。以x(t)為橫坐標(biāo)、

相平面法是龐加萊(Poincare)在1885年首先提出來的，是求解一階和二階線性或非線性系統(tǒng)的一種圖解法，可以用來分析它們的穩(wěn)定性、平衡位置、時間響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)精度以及初始條件和參數(shù)對系統(tǒng)運(yùn)動的影響。第二十四頁，共33頁。為縱坐標(biāo)所組成的平面坐標(biāo)系稱為相平面（狀態(tài)平面）；系統(tǒng)的一個狀態(tài)對應(yīng)于相平面上的一個點(diǎn)，稱為相點(diǎn)。當(dāng)t變化的時候，隨著時間的增加，系統(tǒng)狀態(tài)在相平面上移動的軌跡曲線叫相軌跡，在相軌跡上用箭頭表示時間增加的方向。而與不同初始條件相對應(yīng)的一簇相軌跡所組成的圖象叫相平面圖，用相平面圖分析系統(tǒng)性能的方法稱為相平面法。二、相軌跡的性質(zhì)

1.

相軌跡上的每一點(diǎn)都有其確定的斜率故二階系統(tǒng)的微分方程式可以寫成：第二十五頁，共33頁。取x為相平面圖的橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，則是相軌跡的斜率。相軌跡方程2.相軌跡正交于x軸因?yàn)樵趚軸上的所有點(diǎn)，其總等于零，因而除去其中的奇點(diǎn)外，在這些點(diǎn)上的斜率為，這表明相軌跡與相平面的橫軸是正交的。3.相軌跡運(yùn)動方向的確定隨著時間t的推移，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運(yùn)動方向是x增大的方向，即向右運(yùn)動；隨著時間t的推移，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運(yùn)動方向是x減小的方向，即向左運(yùn)動；4.相軌跡的奇點(diǎn)第二十六頁，共33頁。相軌跡在奇點(diǎn)和的斜率是0/0，是不確定的。通過該點(diǎn)的相軌跡可能是多條，且彼此的斜率也不相同，即相軌跡曲線簇在該點(diǎn)相交。三、相軌跡的繪制應(yīng)用相平面法分析非線性系統(tǒng)，首要問題就是繪制相平面圖，方法有三種，即解析法、圖解法和模擬實(shí)驗(yàn)法，本節(jié)介紹解析法和圖解法兩種情況。

第二十七頁，共33頁。1.

解析法解析法適用于較簡單的微分方程描述的系統(tǒng)，找出x(t)和的關(guān)系，從而繪出相平面圖，它又可分為兩種方法。

(1)參變量法：直接求解原微分方程，得到x(t)和然后在x(t)和之間消去t而得到x與的關(guān)系式，或者視t為參變量，給定一組t值，算出對應(yīng)的x值和值，畫出相軌跡曲線。

(2)分離變量直接積分法：因?yàn)榈诙隧?，?3頁。故二階系統(tǒng)的一般式可以寫成若該式可以將兩個變量分離，即分解為

則由可直接找出的關(guān)系，其中為初始條件。第二十九頁，共33頁。例某彈簧—質(zhì)量運(yùn)動系統(tǒng)如圖所示。圖中m為物體質(zhì)量，k為彈簧的彈性系數(shù)。若初始條件

試?yán)L制系統(tǒng)自由運(yùn)動相軌跡。圖彈簧-質(zhì)量運(yùn)動系統(tǒng)及其相軌跡解：微分方程為先用第一種方法：根據(jù)初始條件使用拉斯變換求得上述微分方程的解為第三十頁，共33頁。從以上兩個方程中消去t可得相軌跡方程

再用第二種方法：將系統(tǒng)的微分方程寫成對此方程分離變量、積分并代入初始條件，也可得相軌跡方程。顯然，該系統(tǒng)的相軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以為半徑一簇同心圓，如前圖(b)所示。

2.

圖解法如果系統(tǒng)的微分方程較復(fù)雜，應(yīng)用解析法繪制相軌跡很困難，或者不可能，應(yīng)采用圖解法。圖解法不必求解微分方程，而能把相軌跡一小段一小段地直接描繪在相平面上