自動(dòng)控制理論(鄒伯敏第三版)第08章

自動(dòng)控制理論(鄒伯敏第三版)第08章第一頁，共50頁。第一節(jié)非線性系統(tǒng)的概述典型的非線性特性

（1）飽和特性系統(tǒng)若有飽和非線性元件，它的開環(huán)增益會(huì)大幅度地減小，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的過濾過程時(shí)間增加和穩(wěn)態(tài)誤差變大。（2）回環(huán)特性圖8-1飽和非線性特性圖8-2回環(huán)非線性特性圖(a)為齒輪傳動(dòng)中間隙，圖(b)為齒輪傳動(dòng)的輸入、輸出特性，自動(dòng)控制理論第二頁，共50頁。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為1）回環(huán)非線性特性是多值的，對(duì)于一個(gè)給定的輸入，究竟取那一個(gè)值作為輸出，應(yīng)視該輸入的“歷史”決定。2）系統(tǒng)中若有回環(huán)非線性元件存在，通常會(huì)使系統(tǒng)的輸出在相位上產(chǎn)生滯后，從而導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定量的減小、動(dòng)態(tài)性能的惡化，甚至使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。（3）死區(qū)特性圖8-3死區(qū)非線性特性自動(dòng)控制理論第三頁，共50頁。1）使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大。2）死區(qū)能濾去從輸入端引入的小幅值干擾信號(hào)，提高系統(tǒng)抗擾動(dòng)的能力。3）使系統(tǒng)的輸出在時(shí)間上滯后。死區(qū)非線性特性對(duì)系統(tǒng)的主要影響（4）繼電器特性圖8-4繼電器非線性繼電器非線性特性一般會(huì)使系統(tǒng)主生自持振蕩，甚至系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且使穩(wěn)態(tài)誤差增大。自動(dòng)控制理論第四頁，共50頁。非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)1）非線性系統(tǒng)的輸出與輸入間不存在著比例關(guān)系,且不適用疊加原理。2）非線性系統(tǒng).的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān),而且也與初始條件和輸入信號(hào)的大小有關(guān)。下面舉例說明初始偏差對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響設(shè)非線性系統(tǒng)的微分方程為當(dāng)初始偏差x0<1時(shí),1-x0>0,方程具有負(fù)實(shí)根,相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的當(dāng)x0>1時(shí),1-x0<0,方程具有一個(gè)正的實(shí)根,系統(tǒng)為不穩(wěn)定圖8-5式(8-5)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)非線性系統(tǒng)常會(huì)產(chǎn)生自持振蕩1）描述函數(shù)法---用于研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩問題。2）相平面法---只適用于一階和二階系統(tǒng)。3）李雅普諾夫第二法。研究非線性系統(tǒng)的方法:自動(dòng)控制理論第五頁，共50頁。描述函數(shù)圖8-6非線性控制系統(tǒng)圖中G(s)為線性環(huán)節(jié),N為非線性元件.若在N的輸入端施加一幅值為X頻率為ω的正統(tǒng)信號(hào),即e=Xsinωt，則其輸出為：第二節(jié)非線性元件的描述函數(shù)假設(shè):1）非線性元件的特性對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)是奇對(duì)稱的,即A0=02）R(t)=03）G(s)具有良好的低通濾波器特性，能把y中多高次諧波濾掉，只剩一次諧波項(xiàng)。自動(dòng)控制理論第六頁，共50頁。則其中經(jīng)過線性化處理后，非線性元件的輸出是一個(gè)與其輸入信號(hào)同頻率的正弦函數(shù)，僅在幅值和相位上與輸入信號(hào)有差異。非線性特性線性化的條件：1）假設(shè)系統(tǒng)的輸入r(t)=02）非線性元件的靜特性不是時(shí)間t的函數(shù)3）非線性元件的特性是奇對(duì)稱的，即有自動(dòng)控制理論第七頁，共50頁。4）系統(tǒng)的線性部分具有良好低通濾波器的性能，經(jīng)過線性化后，非線性元件的輸出與輸入的關(guān)系為：N(X)---非線性特性的描述函數(shù)圖8-7用描述函數(shù)表示非線性特性的系統(tǒng)非線性元件函數(shù)的舉例（1）飽和非線性由圖8-8可知，輸出y(t)是一個(gè)周期性的奇函數(shù)，因而它的傅氏級(jí)數(shù)展開式中沒有直流項(xiàng)，也沒有余弦項(xiàng)。即A0=0，B1=0，θ1=0自動(dòng)控制理論第八頁，共50頁。圖8-9飽和非線性的描述函數(shù)圖8-8飽和非線性示例自動(dòng)控制理論第九頁，共50頁。（2）理想繼電器型非線性圖8-10理想繼電器型非線性示例由圖8-10可知圖8-11理想繼電器型非線性的描述函數(shù)自動(dòng)控制理論第十頁，共50頁。（3）死區(qū)非線性圖8-12死區(qū)線性示例自動(dòng)控制理論第十一頁，共50頁。圖8-13死區(qū)非線性的描述函數(shù)如果在系統(tǒng)中有兩個(gè)非線性元件相串聯(lián)，處理的方法為圖8-14(b)所示：圖8-14兩個(gè)非線性元件相串聯(lián)的系統(tǒng)自動(dòng)控制理論第十二頁，共50頁。第三節(jié)用描述函數(shù)分析非線性控制系統(tǒng)圖8-15非線性控制系統(tǒng)圖8-16非線性控制系統(tǒng)若把圖中N(X)與G(jω)間的通路斷開，并在G(jω)的輸入端加一正弦信號(hào)y1=Y1sinωt，則N(X)的輸出為：自動(dòng)控制理論第十三頁，共50頁。此時(shí)若把N(X)與系統(tǒng)的振蕩也能持續(xù)下去.式中：間的斷開點(diǎn)接通,即使撤消外施信號(hào)稱負(fù)特性.乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù):如果軌線沒有被曲線包圍,則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定.反之,曲線包圍,則非線性系統(tǒng)為不穩(wěn)定.如果如果軌跡與曲線相交,則系統(tǒng)的輸出有可能產(chǎn)生自持振蕩,圖C)中的B點(diǎn)能產(chǎn)生穩(wěn)定的自持振蕩而交點(diǎn)A外產(chǎn)生不穩(wěn)定的自持振蕩圖8-17非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別自動(dòng)控制理論第十四頁，共50頁。例8-1非線性系統(tǒng)為圖8-18所示,其中放大器線性部分的增益為K.試確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的K值,并計(jì)算K=3時(shí),系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩的幅值和頻率。圖8-18具有飽和放大器的非線性系統(tǒng)解令放大器的增益為1,把K放到系統(tǒng)的線性部分.自動(dòng)控制理論第十五頁，共50頁。自動(dòng)控制理論第十六頁，共50頁。第四節(jié)相軌跡設(shè)二階系統(tǒng)微分方程式的一般形式為相軌跡的基本概念不同的初始條件,方程式的解是不

相同的,即間的關(guān)系隨初始條件而變化,把為坐標(biāo)的平面上,這種關(guān)系曲線稱相軌跡.由組成的平面叫相平面.的關(guān)系畫在以和設(shè)彈簧,質(zhì)量.阻尼器系統(tǒng)的齊次方程為寫成標(biāo)準(zhǔn)化形式自動(dòng)控制理論第十七頁，共50頁。1）用解析法求出x1和x2與t的關(guān)系(見圖8-19a)2）以t為參變量,求出x2=f(x1)的關(guān)系，并把它畫在x1-x2平面上，(見圖8-19b）圖8-19二階線性系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)和相軌跡求解方法：自動(dòng)控制理論第十八頁，共50頁。對(duì)于非線性微分方程,一般難于得到x1和x2的解析解,而用下述的圖解法可以求得系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的相關(guān)信息。相軌跡的性質(zhì)：1）相軌跡上每一點(diǎn)都有其確定的斜率2）相軌跡的奇點(diǎn)3）相軌跡正交于x1軸4）相軌跡運(yùn)動(dòng)方向的確定自動(dòng)控制理論第十九頁，共50頁。在相平面的上半平面上，由x2＞0于，表示相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向是x1的增大方向，卻向右運(yùn)動(dòng)。在相平面上，由于x2＜0，相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向是x1的減小方向，即向左運(yùn)動(dòng)。相軌跡的繪制繪制繪制相軌跡的方法有解析法和圖解法兩種。解析法只適用于系統(tǒng)微分方程較簡(jiǎn)單的場(chǎng)合；圖解法適用于非線性系統(tǒng)。（1）用解析法求相軌跡例8-2設(shè)二階系統(tǒng)的微分方程為：圖8-20例8-2的相軌跡自動(dòng)控制理論第二十頁，共50頁。（2）用圖解法求相軌跡1）等傾線法上式表示相軌跡上斜率為常值α的各點(diǎn)連線，此連線中等傾線。例8-3試用等傾線法繪制二階系統(tǒng)自動(dòng)控制理論第二十一頁，共50頁。解：圖8-21例8-3的相軌跡自動(dòng)控制理論第二十二頁，共50頁。在繪制相軌跡時(shí)，只要從初始點(diǎn)出發(fā)，沿著方向場(chǎng)依次連接各等傾線上的短線段，就得到在確定初始條件下系統(tǒng)完整的相軌跡。由圖可見，由任何初始條件下出發(fā)的相軌跡是一卷向坐標(biāo)原點(diǎn)的螺旋線，這表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2）δ法設(shè)系統(tǒng)的微分方程為：自動(dòng)控制理論第二十三頁，共50頁。圖8-22用δ法作相軌跡例9-4已知非線性系統(tǒng)的微分方程為解將微分方程改寫為圖8-23用δ法繪制相軌跡自動(dòng)控制理論第二十四頁，共50頁。用相軌跡求系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)圖8-25x(t)與t的關(guān)系曲線圖8-24x-x平面上的相軌跡自動(dòng)控制理論第二十五頁，共50頁。第五節(jié)奇點(diǎn)與極限環(huán)為了研究系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近的行為，或者說了解系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近的相軌跡特征，需要先把系統(tǒng)的微分方程在奇點(diǎn)處作線性化處理。方程式的線性化和坐標(biāo)系的變換設(shè)系統(tǒng)的微分方程式自動(dòng)控制理論第二十六頁，共50頁。節(jié)點(diǎn)的分類圖8-271)節(jié)點(diǎn)自動(dòng)控制理論第二十七頁，共50頁。如果系統(tǒng)的兩個(gè)特征根為相異的負(fù)實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。此時(shí)如果系統(tǒng)的兩個(gè)特征根為相等的正實(shí)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。其相軌跡見圖8-28。圖8-28不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)自動(dòng)控制理論第二十八頁，共50頁。2)鞍點(diǎn)圖8-29對(duì)應(yīng)的相軌跡方程為:自動(dòng)控制理論第二十九頁，共50頁。3)焦點(diǎn)如果系統(tǒng)的特征根是一對(duì)位于S左半平面的共軛復(fù)根，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱穩(wěn)定焦點(diǎn)；反之，為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。圖8-30自動(dòng)控制理論第三十頁，共50頁。4)中心點(diǎn)如果系統(tǒng)的特征根為一對(duì)共軛虛根，即λ1,2=±jω對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。圖8-31自動(dòng)控制理論第三十一頁，共50頁。極限環(huán)非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)除了具有線性系統(tǒng)的發(fā)散和收斂?jī)煞N模式外，還有一種運(yùn)動(dòng)模式—自持振蕩，自持振蕩在相平面上表觀為一個(gè)孤立的封閉軌跡線—極限環(huán)。下面以范德波爾（vanderpol）方程為例說明極限環(huán)的穩(wěn)定性。已知方程圖8-32自動(dòng)控制理論第三十二頁，共50頁。自動(dòng)控制理論第三十三頁，共50頁。第六節(jié)非線性系統(tǒng)的相平面分析1)當(dāng)系統(tǒng)的非線性方程可解析的，可根據(jù)其線性化方程式根的性質(zhì)去確定奇點(diǎn)的類型，然后用圖解法式解析法畫出奇點(diǎn)附近的相軌跡。例8-5求下列方程所描述系統(tǒng)的相軌跡圖，并分析系統(tǒng)奇點(diǎn)。的穩(wěn)定性2)當(dāng)系統(tǒng)的非線性方程非解析的，則通過將非線性元件的特征作分段線性化處理，即把相平面分成若干個(gè)區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域有一個(gè)相應(yīng)的微分方程和奇點(diǎn)。只要把各個(gè)區(qū)域內(nèi)的相軌跡依次連接起來，就可得到系統(tǒng)完整的相軌跡圖。解:奇點(diǎn)為（0，0）和（-2，0）自動(dòng)控制理論第三十四頁，共50頁。在原點(diǎn)附近，線性化后的方程為在奇點(diǎn)（-2，0）附近，對(duì)方程作如下改寫圖8-33例8-5的相軌跡自動(dòng)控制理論第三十五頁，共50頁。如果狀態(tài)的初始點(diǎn)位于圖中的陰影區(qū)域內(nèi)，則相軌跡均收斂于坐標(biāo)原點(diǎn)，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，初始狀態(tài)若位于陰影區(qū)域外，相軌跡均趨向于無窮遠(yuǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始狀態(tài)有關(guān)。例8-6一非線性系統(tǒng)如圖8-34所示，試求在階躍輸入r(t)=R0和斜坡輸入r(t)=vt(v＞0)時(shí)的相軌跡。圖8-34解：由圖得圖8-34相平面的區(qū)域劃分自動(dòng)控制理論第三十六頁，共50頁。階躍輸入自動(dòng)控制理論第三十七頁，共50頁。圖8-36斜坡輸入自動(dòng)控制理論第三十八頁，共50頁。圖8-37自動(dòng)控制理論第三十九頁，共50頁。結(jié)論：例8-7已知輸入為階躍信號(hào)，試求該系統(tǒng)的相軌跡圖8-38非線性控制系統(tǒng)解由圖得自動(dòng)控制理論第四十頁，共50頁。圖8-39圖8-38所示系統(tǒng)的相軌跡結(jié)論：系統(tǒng)穩(wěn)定。線段OG表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，它的大小與初始條件有關(guān)減少非線性的死區(qū)或時(shí)間常數(shù)T，不能改善系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)而且也有利于ess的減小自動(dòng)控制理論第四十一頁，共50頁。描述函數(shù)法是在滿足一定條件下的一種，線性化分析法，它主要用于判別非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和是否有自持振蕩產(chǎn)生。相平面是分析二階非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的一種有效方法。繪制相軌跡的方法有二種：一種是解析法；另一種是圖解法；圖解法有等傾線和δ法兩種。用相平面分析下述兩類非線性系統(tǒng)：一類是非線性方程可解處理的，另一類是不可解析處理的。小結(jié):自動(dòng)控制理論第四十二頁，共50頁。第七節(jié)MATLAB在非線性控制系統(tǒng)中的應(yīng)用自動(dòng)控制理論例8-8圖8-40為一直流隨動(dòng)系統(tǒng),圖中相敏整流與比例放大器可視為是一個(gè)具有飽和非線性特性的放大環(huán)節(jié),并令其線性比例系統(tǒng)K=1，其上、下限為10與-10。系統(tǒng)的框圖如圖8-41所示，求其單位階躍響應(yīng)。圖8-40直流隨動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖圖8-41直流隨動(dòng)系統(tǒng)的框圖第四十三頁，共50頁。自動(dòng)控制理論解根據(jù)圖8-41所示的結(jié)構(gòu)，選擇相應(yīng)的傳遞函數(shù)模塊TransferFcn，組成圖8-42所示的具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)仿真模型框圖。圖8-43所示為單位階躍響應(yīng)曲線圖8-42具有飽和非線性的Simulink仿真第四十四頁，共50頁。自動(dòng)控制理論圖8-43單位階躍響應(yīng)曲線例8-9圖8-44所示為一具有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)。試求該系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的相軌跡和單位階躍響應(yīng)曲線。解根據(jù)圖8-44，選用Simulink模塊庫(kù)中的相關(guān)模塊，構(gòu)建圖8-45所示的仿真模型框圖。點(diǎn)擊Simulink/Start進(jìn)行仿真，就可以看到圖8-46所示的單位階躍響應(yīng)曲線和圖8-47所示的相軌跡。第四十五頁，共50頁。自動(dòng)控制理論圖8-44例8-9中的非線性控制系統(tǒng)圖8-45飽和非線性系統(tǒng)的Simulink仿真模型第四十六頁，共50頁。自動(dòng)控制理論圖8-46圖8-44系統(tǒng)的響應(yīng)曲線圖8-47圖8-44系統(tǒng)的相軌跡例8-10一具有死區(qū)特性的控制系統(tǒng)如圖8-48所示。試求該系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的