高考數(shù)學(xué)真題與答案解析

普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)

必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí):選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮搽干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，寫在本試卷上無效

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，答在本試題上無效.

4.考試結(jié)束，將本試題和答題卡一并交回.

第I卷

選擇題：共12小題，每小題5分，共60分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。

「已知集合A=Lr"}'B=02\<2},則A4一

[--][-)[-][

A.2,1B.1,2C.1,1D.1,2

={——?}={(一,()

解析：22303A1701-3

Axxxxxxxx或

={x|-&<}n=[--i

又目才2x2,AB2,1,故選A

FT-

+

1+i--+

2.

2

-()()()U()

1i-------=---------------=-----------=--

()()-

A.1iB.1iC.1iD1

()()()

3+21i,故選D

解析：

w.<i1?1i?1J?2i1I

222i

1；()()

3.設(shè)函數(shù)fx,gx的定義域都為R,且fx是奇函數(shù),gx是偶函數(shù)，則下

列結(jié)論中正確的是

A.fxgx是偶函數(shù)B.fxgx是奇函數(shù)

C.f(x)g(x)是奇函數(shù)D.f(x)g(x)是奇函數(shù)

解析：f(x層奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則f(x)g(x)是奇函數(shù)，排除A

f(x隹奇函數(shù)，f(x)是偶函數(shù)，g(x是偶函數(shù)，則f(x)g(x)是偶函數(shù)，排

除B

f(x是奇函數(shù)，g(x，是偶函數(shù)，則f(x)g(x)是奇函數(shù)，C正確

f(x因奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，f(x)g(x)是奇函數(shù)，則f(x)g(x)是偶函數(shù),

排除D,故選C

4.已知F為雙曲線c：x?-my?=3m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸

近

線的距離為

A.3B.3C.3mD.3m

sT

解析：雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為虛半軸長b,故距離3,選A

5.4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都

28

6.如圖，圓。的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn),P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射

線OA,終邊為射線OP,過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M,將點(diǎn)M到直線

OP的距離表示為x的函數(shù)fx，則yfx在0,的圖像大致為

y

11

解析：由已知OP=1,PM=sinx,OM=cosx又f(X)OP=TOMMP,

22

珈以f(X'linxcosx一~Isin2x,故選C

2

7.執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的a,b,k分別為1,2,3,則輸出的M

=

當(dāng)n-3=8=3=8==T5=815

M,a,b；當(dāng)n4時(shí)，M

時(shí)，,a,b

323838

一15

此時(shí)運(yùn)算終止，乂，故選口

aef,+P

~\~~^rT

8.設(shè)b,ZS,Z且tan廁

22cos

a-P=—+p=-a-P=—

A.3B.3C.2

a+P=-222

D.2

2Pa

a=

a-P

zusin1sin

解析：由tan得sin

coscoscos

fc-a

(a-P)=a(a-P)=a€Pe

I

即sincos，所以sinsin，由已知

2

n71.冗

——va-<-----a<一在「一

所以,0,ysinx上單調(diào)遞增，所

222222以

a-B="-a,2a-B=',故選C

22

9.不等式組;x+y"的解集記為D,有下面四個(gè)命題

x-2y<4

€+

p：V(x,y)D,x2y-2,p2:3(x,y產(chǎn)D,x+2y22,

Pb：V(x,y)€D,x+2y43,p4：3(x,y產(chǎn)D,x+2y4-1,其中的真命題是

A.p2,p3B.pbp2C.p,p4D.pi,p3

解析:令x+2y=m(x*y)+n(x-2y)=(m+n+(m-2n)y，所以

4

.m=—

m*n=1Q4i

m-2n=2'解得'1，所以x+2y=一?+y-2y”0,因而可以判斷

[mzn-N_33

IJ

XP2為真，故選B

1°,已知拋物線"C：y=T8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I,P是I上一點(diǎn),Q是直線PF與C

府=

一個(gè)交點(diǎn)若FP4FQ,則QF-II/

LG'

A.7B.3=-C

2

解析(由一己)知xP=2月2又FP4FQ,則

作QD垂直于I,垂足為II\

44XQ2,XQ1,過Q

D,I|=||=

所以QFQD(3尸故選B+()>

11.已知函數(shù)3321

fxaxx，若fX存在唯一的零點(diǎn)X),且X)0,則a

的

(+oC)口」(-HC)(-00-)(-00-)

取值范圍是,\

-()=_+

A.2,B.1,=亡一\二]二

*()=

21JkJ

解析：當(dāng)a0時(shí)，f*3x1有兩%零點(diǎn)，不滿足條

件

2

Ba°f'x3ax?62令

x3axx'f'x03axx0

aa

為等

腰三角形，ABBC,AC4,頂點(diǎn)B到AC的距離為4,面

±

PAC面ABC，且三角形PAC為以A為直角的等腰直角三角形，所以

C

棱PB最長，長度為6,故選B

第n卷

本卷包括必考題和選考題兩個(gè)部分。第(13)題-第(21)題為必考題，每個(gè)考

生都必須作答。第(22)題-第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

二.曼空題:+本大題共四小題，每小題5分。

827

13.(xy)(xy)的展升式由y一的系數(shù)為.(用數(shù)字填寫答案)

解析：(xy)(xy)x(xy)y(xy),故展開式中xy的系數(shù)為

12

--

CBC8=8-28=20

14.甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個(gè)城市時(shí),

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；

乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一個(gè)城市

由此可判斷乙去過的城市為---------

解析：乙沒去過C城市，甲沒去過B城市，但去過的城市比乙多，所以甲去過A,

C,三人都去過同一個(gè)城市，一定是A,所以填A(yù)

C是圓0上的三點(diǎn)，若A0-4(ABAC),則AB與AC的夾角

15.已知A,B,

2

為T

_1

解析：AO(ABAC)圖所系，。為苑中點(diǎn)，即

2

BC為圓0的直徑，女以AB與AC的夾角為

16.已知a,b,c分別為ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,

+A

a=2,且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC,貝UABC面積的最大

值為

解析:

+

22

(2b)(sinAsinB)(cb)sinC(2b)(ab)(cb)c2abcbe,因

為a=2,所以+

—=—+71

222

c,22,222bca1

2abcbebcabecosAA

2bc23

△_￡

13

A?C面積sbesinAbe,而

+-=寧--4==+一4

2222222244

bcabebcbeabcbebe

S=lbcsinA=^bc<j?

24八

三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分12分)已知數(shù)列｛a.｝的前n項(xiàng)和為a產(chǎn)1,an#0,

aa,=;S_1,其中，為常數(shù).

(I)證明：a+~a=f'；

n2n

(II)是否存在z,使得｛a｝為等差數(shù)列？并說明理由.

n

、aa+='S一1,①

解析：(I)證明：當(dāng)n22時(shí),<nn1.n_,①忿)得

~aS-“

n1nn1

+_-=M~_戶(+-_)="__=入+-=入

aa1aiaSS1aa1a1a,a0a1a1,，即a2a

nnnnnnnn、nnnnnnn

A=

(n)存在，證明如下：假設(shè)存在.，使得｛a.｝為等差數(shù)列，則有2aa+a,

=人一=+/.(Z—)=+6.=亢=213

而a=1,a21,a31,所以2124,此時(shí)｛a｝為首項(xiàng)是1,

公差為4的等差數(shù)列

18.體小題滿分12分)從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)

(I)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差；(同一組數(shù)據(jù)用該

區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(U)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布

2

Kl/p5.甘-群"力近似為樣本羞

NC,0),其中L近似為樣本平均X,°2

s.

(i)利用該正態(tài)分布，求P(187.8Z212.2)；

(ii)某用戶從該業(yè)購100件這種產(chǎn)品，圮表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指

標(biāo)值位于圓187.8,212.2的產(chǎn)品件數(shù)，利用(i)的結(jié)果,求EX.

附：150=12.2.

M6M-6<<R+5M-6<<M+6

若Z?2

右ZN(,),則Z)=0.6826,P(2Z2)=0.9544.

解析—

(l)x0.02.1700.091800.221900.332000.242100.082200.02230200

=x/—\?x(一產(chǎn)>(-

0.冊(cè)1702和0.661802。。+?0必1902。01

22.22

0.332002006.2421020060田中2292000.02230200150

(II)(i)由(I)知，5s2=150,所肝<15012.2；

P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.6826

(ii)(100件產(chǎn)品,質(zhì)量指標(biāo)值為手值18^8,212.2的產(chǎn)品件數(shù)X服從二項(xiàng)分

布B100,0.6826，所以EX1000.682668.26

19.體小題滿12分)如圖三棱相CABC中，側(cè)面BB,CiC為菱形,

ABBC.=

1

JLN=

(I)證明：ACAB；

1

(II)若ACAB」cBBi60°

AB=BC,求二面角AABG的余弦值.

n=i-L

解析：(I)證明：側(cè)面BBiCiC為菱形，令

BCBCOBCBC又ABBiC,

11

G

O

BBi

AB[]BC=B.?.BC，面ABCVAOu面ABC/.AQLBC,又。為BiC中點(diǎn)，所以

11111

三角形ACBi為等腰三角形，所以AC=AB,

(n),ALAB「CBB|60°,AB=BC,令A(yù)C1BC\BC-AB

又由已知可求4______

=￡.=匚??+=.-.!

26

222

AO,BO,AOBOABAOBO

如麻瓢魚間斷翻系"i=$z￡

A=(

0,0,1,0,0,0,,0,

W_￡=3

1一=

3一乏方BAB

AB

3

0,BCBC

*1111

=(3)3

igbX；=y,z為平面向量，則

?—=(

I13

nABWTz0,

0,>==3-

nAB即而，所以可取n1,3,3

1103

xz0

3一+—=

設(shè)ma,b,c為平面ABC的一個(gè)法向量，則

「m1,3,3

0

mA,1同理可取

則cosn.m"m1，所以二面角AAB1c,的余弦值為1

nm77

22的離心

20.(本小題滿分12分)已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓xy

E：221(0)

ab

ab

a2a

率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為,。為坐標(biāo)原點(diǎn)

23

(I)求E的方程;

(n)設(shè)過點(diǎn)A的直線I與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)AOPQ的面積最大時(shí)，求I的

方程.

‘坐1

a2

解析：(由已知得

1)夕一

X

2

2

橢圓E的方程：y

34

223

c3

(n)當(dāng)直線i垂直于?x軸時(shí)，OPQ不存在

△=(一)—x(+>

22

令直線I的方程為ykx2與x4k1x16kx120

+聯(lián)立消去y

3

16k44k11264k+480k

4

r?-1

=卜)[(+)x-X16

+

1221

令PX,y,Qxy

2'24k1

12

+XX+

122

4k1

J

△()=-|I

16k48

2

22

PQ#k一xx4xx1k

()=-------------w—a-=-4—24=2

4k14k1

222

整理得PQ41k4k-3,令點(diǎn)。可直線I的距離為d,則d

2

4k?=廠k

1

=44k2"令2

所以O(shè)PQ的面積14k3tt0

SkPQd

2

+24k1

2

44k34t47

Sk1t2,k

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到

22

4

4142

ktt

t

此時(shí)直線I的方程為y7x2或y72

x

22

X1

21.體小題滿分12分)設(shè)函數(shù)：be,曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))

f(x)aeX

X

處的切線為ye(x1)2.(1)求2口；(n)證明：f(x)1.

解析：(I)=x+1i+be_LLZ1J=X-If+1i'+b(x-1)

f'(x)aex」eLae%x

22

=XX=一十,XX

用為曲名yf(x)代自(1,f⑴)處的切線為ye(x1)2,所以

"1)=2a=1

，代入有

f1(1)eb2_+一、

2

由

只需

知

明

證

n證xe1

nX

>+el>-+

+--X

22X

2e即證mXAmXX

+I官IH.IEln

eX=1=-<)=ee

X

2X1X

令\+1

==一-

7gXX\X-XhX

TnxIn

e

<<

1X

,xXaXhXX

g，

\4<

得

解得

<ln解

11>10=,

//

ee

+一1

當(dāng)>—1'>

0x,g'x0,x,g'x0,gX

min

eee

1

0x1,h'x0,x1,h*x0,gx

maxe

2x

所以xlnxx成立，所以f（X）1

ee

請(qǐng)考生從第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題

目。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用

所選題號(hào)后的方框涂黑。

22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與

DC的延長線交于點(diǎn)E,且CB二CE

.（1）證明：ZD=ZE；

（U）設(shè)AD不是。O的直徑，AD的中點(diǎn)為M,且MB=MC證

明：AADE為等邊三角形.

M

解析：.（I）證明：四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形,

o

C

A

ND=ZCBE,',，CB=CE..NE=NCBEr.NE=ND

(D)證明：取BC中點(diǎn)N,連接MN,由MB=