高考數(shù)學(xué)重點難點復(fù)習(xí)(28)：求空間距離

難點28高考數(shù)學(xué)重點難點復(fù)習(xí)：求空間距離

空間中距離的求法是歷年高考考查的重點，其中以點與點、點到線、點到面

的距離為基礎(chǔ)，求其他幾種距離一般化歸為這三種距離.

?難點磁場

(★★★★)如圖，已知ABC。是矩形,A5=aAZ)="以，平面45CQ,Rl=2c,。

是以的中點.

求：(1)。到3。的距離；

(2)P到平面80。的距離.

?案例探究

［例口把正方形A8CO沿對角線4c折起成直二面角，點E"分別是40、

的中點，點。是原正方形的中心，求：

(1)EF的長；

(2)折起后NE。尸的大小.

命題意圖：考查利用空間向量的坐標(biāo)運算來解決

立體幾何問題，屬*★★★級題目.

知識依托：空間向量的坐標(biāo)運算及數(shù)量積公式.

錯解分析：建立正確的空間直角坐標(biāo)系.其中必

須保證x軸、y軸、z軸兩兩互相垂直.

技巧與方法：建系方式有多種，其中以。點為

原點，以赤、0C.歷的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向最為簡單.

解：如圖，以。點為原點建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,設(shè)正方形A8CO邊長

為。，貝U4(0,-—a,0),B(—a,0,0),C(0,—?,0),￡>(0,0,—a),E(0,~—a,

22224

a),F(—a,—?,0)

44

(1)IEFF=(￥〃—0)2+(￥〃+90)2+(0一?a)2=EF=字〃

(2)OE=)而=亭亭,0)

2

777nV272V25/2a

OEOF=0xa+(----a)(a)H----a0=

44448

—*ci—?a—*■,一F'F1

IOE1=-,\OFh-,cos<0E,0F>=二==--

22\OE\\OF\2

：.ZEOF=\20°

［例2］正方體A8CD—4eGU的棱長為1,求異面直線AG與間的

距離.

命題意圖：本題主要考查異面直線間距離的求法，屬*★★★級題目.

知識依托：求異面直線的距離，可求兩異面直線的公垂線，或轉(zhuǎn)化為求線面

距離，或面面距離，亦可由最值法求得.

錯解分析：本題容易錯誤認(rèn)為。由是AC與A?的距離，這主要是對異面

直線定義不熟悉，異面直線的距離是與兩條異面直線垂直相交的直線上垂足間的

距離.

技巧與方法：求異面直線的距離，有時較難作出它們的公垂線，故通常采用

化歸思想，轉(zhuǎn)化為求線面距、面面距、或由最值法求得.

解法一：如圖，連結(jié)AG，在正方體AG由,.,AiG〃AC,，4G〃平面4BC，

.??4G與平面A8C間的距離等于異面直線4G與A?間的距離.

連結(jié)8。|、BD,設(shè)8iDinAiG=0i,BDnAC=0

"：AC±BD,ACLDDi，；.AC，平面BBiOQ

I.平面ABC，平面BBQ。，連結(jié)SO,則平面ABCn平面58|。1。=810

作。iG_L8i。于G則。iG_L平面ABC

：.O\G為直線A\C\與平面ABC間的距離，即為異面直線A\C\與AS間的

距離.

在Rt^OOJi中，：OB=%,OOi=l,Jooj+o百2=當(dāng)

...QG=。。。畫=且,即異面直線4G與4步間距離為且.

。為33

解法二：如圖，在AC上任取一點M,作MNL4B1于N,作MR_LAB于R,

連結(jié)RN,

n

?.?平面4BCiDi_L平面J_平面ApABBi,MRLAB\

"：AB\LRN,設(shè)AiR=x，貝ljR8]=l-x

VZC1Ai5i=ZAB|Ai=45°,

/.MR=X,RN=NB1=—(1-x)

2

MN=4MR2+RN2=k+g(l-x)2=J|(x-1)2+|(0<x<1)

...當(dāng)x=工時，MN有最小值旦即異面直線4G與AB,距離為2.

333

?錦囊妙記

空間中的距離主要指以下七種：

⑴兩點之間的距離.

(2)點到直線的距離.

(3)點到平面的距離.

(4)兩條平行線間的距離.

(5)兩條異面直線間的距離.

(6)平面的平行直線與平面之間的距離.

(7)兩個平行平面之間的距離.

七種距離都是指它們所在的兩個點集之間所含兩點的距離中最小的距離.七

種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點

到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點到平面的距

離.

在七種距離中，求點到平面的距離是重點，求兩條異面直線間的距離是難點.

求點到平面的距離：(1)直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的長.(2)轉(zhuǎn)移

法，轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離.(3)體積法.

求異面直線的距離：(1)定義法，即求公垂線段的長。)轉(zhuǎn)化成求直線與平面

的距離.(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩

點間距離中最小的.

?殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★★)正方形A5CO邊長為2,E、尸分別是48和CO的中點，將

正方形沿EF折成直二面角(如圖),M為矩形AE內(nèi)一點，如果

2.(****)三棱柱ABC—4山Ci中，AA|=1,AB=4,BC=3,ZABC=90°,

設(shè)平面與平面ABC的交線為/,則4G與/的距離為()

A.V10B.VTTC.2.6D.2.4

二、填空題

3.(****)如左下圖，空間四點4、B、C、。中，每兩點所連線段的長都

等于a,動點P在線段A8上，動點。在線段CO上，則P與。的最短距離為

4.(★★★★)如右上圖，A8CO與ABE尸均是正方形，如果二面角E—4B—C

的度數(shù)為

30°,那么EF與平面A5CD的距離為.

三、解答題

5.(*****)在長方體ABC。-4181Gz)|中，AB=4,BC=3,CC\=2,如圖:

⑴求證:平面4BG〃平面AC5；

(2)求(1)中兩個平行平面間的距離；

(3)求點Bi到平面A\BC\的距離.

6.(*****)已知正四棱柱ABC。一4山Ci?！秉cE在棱

DiD上，截面EAC//D\B且面EAC與底面ABCD所成的角為

45°,A8=a,求：

(1)截面E4c的面積；

(2)異面直線AIBI與AC之間的距離；

(3)三棱錐Bi—EAC的體積.

7.(****)如圖，已知三棱柱AiBiGf8C的底面是邊長為2的正三角形,

側(cè)棱4A與A3、4C均成45°角，且于E,AiFLCG于F.

⑴求點4到平面BiBCCi的距離；

(2)當(dāng)A4多長時，點4到平面ABC與平面SBC。的距離相等.

8.(*****)如圖，在梯形A8CO中，AD//BC,ZABC=-AB=-AD=a,

23

NA￡)C=arccos1石，出_L面ABCD且PA=a.

p

(1)求異面直線AO與PC間的距離;

(2)在線段4。上是否存在一點F,使點A到平面PCF的距離為*

參考答案

難點磁場

解：(1)在矩形A8CO中，^AELBD,E為垂足

連結(jié)QE,,：QAL^^ABCD,由三垂線定理得QE,BE

：.QE的長為。到BD的距離

在矩形ABCD中，AB=aAD=b,

ab

：.AE=

在Rtz^QAE中，QA=^PA=c

2

：.QE=c+-f^

Va2+b2

/.Q到BD距離為卜.

⑵解法-：?.?平面BQD經(jīng)過線段出的中點，

到平面BQD的距離等于4到平面BQD的距離

在△AQE中，作4/7LQE,“為垂足

BD1AE,BDJ_。旦，8。，平面AQEBDA.AH

平面BQE,即A”為A到平面BQD的距離.

在RtAA0￡中，'：AQ=cAE=，出‘

''^Ja2+b2

abc

：.AH=

7（a2+b2）c2+a2b2

...P到平面BD的距離為

yl(a2+b2)c2+a2b2

解法二：設(shè)點A到平面Q8。的距離為力，由

匕-8(2。=%-4犯得卜2\8。0*h=~S^ABD,AQ

h=$AABD?AQ=…=______abc_______

SbBQDyj(a2+b2)c2+a2b2

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：過點M作MM'_LE尸，則MM'，平面BCF

NMBE=NMBC

：.BM'為NE3C為角平分線，

：.ZEBM'=45°,BM'=6從而MN=也

2

答案：A

2.解析：交線/過8與AC平行，作COL于。，連G。，則CQ為4G

與I的距離，而CD等于AC上的高，即C￡>=y,RtAC)C￡)中易求得。。=?=2.6

答案：C

二、3.解析：以4、B、C、。為頂點的四邊形為空間四邊形，且為正四面體，

取P、。分別為A3、C。的中點，因為4。=8。=*",，2。，48,同理可得「。，

CD,故線段P。的

長為P、Q兩點間的最短距離，在Rt△APQ中，

PQ=JAQ2-AP2=J亭)2_(y=

答案：叵a

2

4.解析：顯然N雨。是二面角E—AB—C的平面角，/以。=30°,過F作FG

，平面ABC。于G,則G必在AO上，由E/〃平面A8CD

FG為EF與平面ABCD的距離，即FG=-.

2

答案：-

2

三、5.(1)證明：由于貝IJBG〃平面AC。

同理，48〃平面AC。，則平面48cl〃平面AC。

(2)解:設(shè)兩平行平面413cl與ACDi間的距離為d,則d等于D\到平面48G

的距離.易求4G=5,4歸=2后，Bg=匹,則COSAIBCI=3,則sinAiBC尸狗,

V65V65

則5.時=府由于％的=%電向，則京刖明他GR)?皿代入

求得4=約叵，即兩平行平面間的距離為用畫.

6161

(3)解:由于線段8。被平面B歸G所平分,則9、5到平面A18G的距離

相等，則由(2)知點與到平面A]8Ci的距離等于空叵.

61

6.解：(1)連結(jié)DB交AC于。，連結(jié)E。，

?.?底面48CD是正方形

J.DOLAC,又面

：.EO±AC,即NEOZ)=45°

XDO=^-a,AC=0a,EO=——=a,SAEAC=--(I

2cos4502

(2)：414，底面48。0,：.AiA±AC,又

，AiA是異面直線AiBi與AC間的公垂線

又EO//BD\,。為BD中點，：.DlB=2EO=2a

：.D\D=41a,:.AB與AC距離為亞a

(3)連結(jié)SO交。由于P,交E。于。，推證出S￡>J_面EAC

...當(dāng)。是三棱錐Bi—EAC的高，得

_1V223_V23

aaa

\-EAC"Y~r'2^^~

7.解：(1)：8B|，AIE,CC\VA\F,BB{//CC\

，平面A|EF

即面4E尸，面BBCiC

在RtZ^AiEBi中，

VZA|J5i￡=45°,A\B\=a

...4￡'=^^,同理4]尸=在^,又EF=a,:.A[E=^^a

222

同理4「=變4,又"=a

2

...△￡4/為等腰直角三角形，Z￡A,F=90°

過4作4NLEF,則N為EQ中點，且AN,平面BCCIBI

即AiN為點、Ai到平面BCG?的距離

：.AiN=-=-

22

又YAAi〃面BCC\B,4到平面BCQBi的距離為巴

2

：.a=2,所求距離為2

(2)設(shè)BC、81G的中點分別為。、D\,連結(jié)A。、。。1和4?！眲t。。?必過

點N,易證4。。自|為平行四邊形.

'：B\C\1.D\D,B\C\LA\N

平面

.?.8C，平面A。。Mi

得平面ABCJ_平面AOD14”過Ai作Ai"J_平面ABC,交4。于M,

若AiM=AiN,又N4AM=NA|OiN,NAM4=N4ND|=9O°

△AM4igA4iNO".A4|=Ai。產(chǎn)百，即當(dāng)44戶百時滿足條件.

8.解：(1)：BC//AD,BCu面PBC,，AO〃面PBC

從而與PC間的距離就是直線AD與平面PBC間的距離.

過A作AELPB,y.AE±BC

，AEJ_平面PBC,AE為所求.

在等腰直角三角形用8中，PA=AB=a

：.AE=—a

2

(2)作CM"AB,由已知cosADC=|V5

/.tanADC=-,EPCM=-DM

22

."BCM為正方形，AC=?a,PC=6a

過A作AHLPC,在Rt△山C中，WA