真空中的靜電場(chǎng)

真空中的靜電場(chǎng)第1頁/共112頁引言電磁學(xué)是現(xiàn)代電磁理論和通信技術(shù)的基礎(chǔ)矢量用高等數(shù)學(xué)方法通量環(huán)量認(rèn)識(shí)電場(chǎng)磁場(chǎng)電磁運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律的基本性質(zhì)本篇是在中學(xué)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分第2頁/共111頁第2頁/共112頁第十章真空靜電場(chǎng)-+真空中的靜電場(chǎng)第十章electrostaticfieldinvacuumchapter10第3頁/共111頁第3頁/共112頁本章內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)本章主要內(nèi)容本章重點(diǎn)與難點(diǎn)（在指導(dǎo)書上，P178。）高斯定理及其應(yīng)用電場(chǎng)強(qiáng)度電通量電荷庫(kù)侖定律場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理電勢(shì)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的微分關(guān)系第4頁/共111頁第4頁/共112頁第一節(jié)電荷電荷守恒定律electricchargeelectricchargelawofconservationofchargess10-1第5頁/共111頁第5頁/共112頁為什么物質(zhì)會(huì)帶電呢？閃電摩擦生電............第6頁/共111頁第6頁/共112頁電子eeeeeee質(zhì)子中子一、物質(zhì)電結(jié)構(gòu)一、物質(zhì)電結(jié)構(gòu)~1010m原子直徑電子電量絕對(duì)值e10庫(kù)侖C（）1.60217733191015m~核子直徑原子圖第7頁/共111頁第7頁/共112頁二、電荷的性質(zhì)電荷守恒定律對(duì)宏觀過程和微觀過程均適用。在一個(gè)與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，任一時(shí)刻存在于系統(tǒng)中的正、負(fù)電荷的代數(shù)和始終保持不變。電荷守恒性（電荷守恒定律）4.自然界中任何帶電體的電量。neQ電荷量子化3.ne電荷量子量子數(shù)與原子核同性的為正電荷，與核外電子同性的為負(fù)電荷。電荷有正負(fù)1.同號(hào)相斥，異號(hào)相吸。電荷之間有相互作用2.二、電荷的性質(zhì)第8頁/共111頁第8頁/共112頁第二節(jié)庫(kù)侖定律Coulomb'slawss10-2第9頁/共111頁第9頁/共112頁一、真空庫(kù)侖定律一、真空中的庫(kù)侖定律點(diǎn)電荷相對(duì)于要研究的問題，其大小和形狀可以忽略的帶電體。rq12q真空電容率0e85.81012mCN.21.2Fq12q0e4pr2大小同性相斥異性相吸點(diǎn)電荷間的相互作用力真空中兩相對(duì)靜止的（靜電力或庫(kù)侖力）第10頁/共111頁第10頁/共112頁矢量表達(dá)式q12q施受r0r0r0r0FFFFq12q施受r0r0r0r0FFFFFq12q0e4pr2r0受r0單位矢量規(guī)定施受r施受r0矢量表達(dá)式q12q、按正負(fù)代入第11頁/共111頁第11頁/共112頁二、靜電力疊加原理二、靜電力疊加原理FF1+F2+F3靜電力遵守矢量疊加原理q12q3qF2F1F3q0q0受的合靜電力n對(duì)個(gè)點(diǎn)電荷的情況...Fn+FF1+F2+n1SiiF0e4pqi0qr2ir0in1Si1問題：兩個(gè)質(zhì)子、兩個(gè)電子或質(zhì)子和電子之間的靜電力與萬有引力，哪個(gè)大？第12頁/共111頁第12頁/共112頁例氫原子核電子r5.31011mq11.601019Cm11.671027kgq21.601019Cm29.111031kgFeq12q0e4pr29.01091.601019((25.31011((2N8.23108庫(kù)侖力大小Fm6.67109N3.641047r2m12mG9.1110315.31011((21.671027萬有引力大小Fe1039Fm第13頁/共111頁第13頁/共112頁例FqQq（（0e4pr2210e4pr2qQq（（求最大排斥力時(shí)與的關(guān)系qQ一分為二QqQqrQqq保持一定距離Q2q0Q2q得則dFdq0令10e4pr2（Q2q（0故例解法提要第14頁/共111頁第14頁/共112頁第三節(jié)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度electricfieldelectricfieldstrengthss10-3第15頁/共111頁第15頁/共112頁一、靜電場(chǎng)一、靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)相對(duì)于參考系或觀測(cè)者靜止的電荷在其周圍空間所產(chǎn)生的電場(chǎng)。又稱為庫(kù)侖場(chǎng)。電場(chǎng)給電荷以作用力的物理場(chǎng)。電荷電場(chǎng)電荷電荷之間的相互作用力是通過電場(chǎng)來傳遞的。電場(chǎng)是物質(zhì)存在的一種形態(tài)；與粒子性物質(zhì)一樣也具有能量、動(dòng)量和電場(chǎng)是電荷周圍存在的一種物質(zhì)。有電荷便有電場(chǎng)存在。質(zhì)量。電場(chǎng)各處對(duì)另一電荷的作用力強(qiáng)度及方向往往不同，表明電場(chǎng)各處強(qiáng)弱不同。描述場(chǎng)中某處強(qiáng)度的物理量是。電場(chǎng)強(qiáng)度第16頁/共111頁第16頁/共112頁帶電體電場(chǎng)定義二、電場(chǎng)強(qiáng)度二、電場(chǎng)強(qiáng)度F（受的電場(chǎng)力）q0Pq0試探(驗(yàn))電荷（電量小;點(diǎn)電荷）sICNh1mVh1E的單位為或無關(guān)q0此比值與大小：Fq0等于比值,為正電荷時(shí)q0當(dāng)方向：的方向FEFq0E是矢量電場(chǎng)強(qiáng)度EP點(diǎn)的試探電荷可正可負(fù),為方便起見,后面我們提到試探電荷時(shí)為正試探電荷.第17頁/共111頁第17頁/共112頁電場(chǎng)強(qiáng)度的定義:電場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小等于單位電荷在該點(diǎn)所受的電場(chǎng)力的大小，其方向與正電荷在該點(diǎn)所受電場(chǎng)力的方向一致。場(chǎng)強(qiáng)定義第18頁/共111頁第18頁/共112頁三、點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)三、點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度EFq0q0rPQr0F0e4p10rqr2Q0rr0e4p12Q0第19頁/共111頁第19頁/共112頁點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)球?qū)ΨQ性Err0e4p12Q0點(diǎn)電荷電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性EQEEEEEErOrQ+EEEEEEEEO第20頁/共111頁第20頁/共112頁四、場(chǎng)強(qiáng)疊加原理四、電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理1.點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)疊加原理+q1+3q2qP3E2E1EiS1nEi+1E2E...++nEE+2...F10qF0qnF0q++合場(chǎng)強(qiáng)EiS1nEiq10e4pr2r0iS1nii點(diǎn)電荷系激發(fā)的電場(chǎng)中某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng),等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和.第21頁/共111頁第21頁/共112頁連續(xù)帶電體的場(chǎng)強(qiáng)2.連續(xù)帶電體的電場(chǎng)強(qiáng)度Ed10e4pr2qdr0帶電面+qdqdSdSdSSPEdr0qdsSd電荷面密度qdrdVd電荷體密度+VV帶電體qdqdVdVdPEdr0EdE10e4pr2qdr0帶電線PEddldqdqdLr0qdld電荷線密度l+第22頁/共111頁第22頁/共112頁五、場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算五、電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算q++qO電偶極子均勻帶電直線均勻帶電圓環(huán)PPPPPEP？三個(gè)算例第23頁/共111頁第23頁/共112頁例+EEE2P222aaraaOy例電偶極子的場(chǎng)強(qiáng)qlq++xq0e4p1rl2()2+rl2()21E1大小1+EE1lq0e4p2rr2l2()22rl則遠(yuǎn)場(chǎng)10e4p2ql3rE1E10e4p2ql3ri+EErP111E1+EE+E222()+EE+Ecos22大小2a2q0e4pl2r2l2()2+r2l2()2+q0e4pl32r2l2()2+rl則遠(yuǎn)場(chǎng)q10e4p3rlE2i定義為l+方向由并規(guī)定ql電偶極矩pe則E1，0e4p3r2peE210e4p3rpe第24頁/共111頁第24頁/共112頁高數(shù)復(fù)習(xí)2((axdxbb((ax1bbdx+2x2((23abb1+x2((22abbx2a電磁學(xué)中常用到的兩個(gè)分式積分作為練習(xí)，大家可以復(fù)習(xí)一下高數(shù)，或直接用求導(dǎo)法作逆運(yùn)算檢驗(yàn)一下。第25頁/共111頁第25頁/共112頁例dEydEqrXOBL2L2YA例均勻帶電細(xì)棒長(zhǎng)，帶電量+LQ求圖中兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)A、Bha電荷線密度lQLdx,微段電量dqldx解法提要xdx0e4pl1((axL2L240epa22L((lL40epa22L((QA:xdE0e4p12((axldxdE0e4p1ldxh+h2x2((23ydE0e4p1dqr2hr0e4plh+h2x2((21L2L2h2x可對(duì)稱相消dExdEydEdEcosqB:0e4p1lL+h22L2((h0e4p+h22L2((hQdEyE0e4pldxh+h2x2((23L2L2BExE0e4pl2((axdxL2L2AE第26頁/共111頁第26頁/共112頁討論dEydEqrXOBL2L2YA例均勻帶電細(xì)棒長(zhǎng)，帶電量+LQ求圖中兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)A、Bha電荷線密度lQLdx,微段電量dqldx解法提要xdx0e4pl1((axL2L240epa22L((lL40epa22L((QA:xdE0e4p12((axldxdE0e4p1ldxh+h2x2((23ydE0e4p1dqr2hr0e4plh+h2x2((21L2L2h2x可對(duì)稱相消dExdEydEdEcosqB:0e4p1lL+h22L2((h0e4p+h22L2((hQdEyE0e4pldxh+h2x2((23L2L2BExE0e4pl2((axdxL2L2AE40epa22L((QAEBE0e4p+h22L2((hQBEAE若在點(diǎn)有一點(diǎn)電荷qA+則它受的靜電力大小為FqAE40epa22L((Qq向右若則aLF40epa2Qq可看成點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)0e4ph2QEB若則hL0e4plL+h22L2((hl0e2phL+h221若hL細(xì)棒可看成無限長(zhǎng)EBl0e2ph第27頁/共111頁第27頁/共112頁例XqaOxxE？例均勻帶電圓環(huán)軸上點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)圓環(huán)軸上點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)P各線元的成對(duì)相消Ed線元的電量為dldq2paqdl對(duì)應(yīng)的元場(chǎng)強(qiáng)為Ed10e4p2dqrxEdcosqEdsinEdEdq圓周上各線元在點(diǎn)的元場(chǎng)強(qiáng)的矢量和PE則xEdcosqEd02pa10e4p2dqrxr()10e4pqxxa2+2322pa102padl()0e4pqxxa2+232dlrqEdxEdEdPEd成對(duì)抵消E第28頁/共111頁第28頁/共112頁（續(xù)）上例XqaOXxE？帶電圓環(huán)場(chǎng)強(qiáng)例均勻帶電圓環(huán)軸上點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)圓環(huán)軸上點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)P各線元的成對(duì)相消Ed線元的電量為dldq2paqdl對(duì)應(yīng)的元場(chǎng)強(qiáng)為Ed10e4p2dqrxEdcosqEdsinEdEdq圓周上各線元在點(diǎn)的元場(chǎng)強(qiáng)的矢量和PE則xEdcosqEd02pa10e4p2dqrxr()10e4pqxxa2+2322pa102padl()0e4pqxxa2+232dlrqEdxEdEdPxqaOxrEPE0e4pqx()xa2+232結(jié)果：又因()xa2+221r故又可表成3E0e4pqxr若xa（遠(yuǎn)場(chǎng)）x()xa2+232xx312x則0e4pqE(2x)相當(dāng)于點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)若則x0E0圓心處場(chǎng)強(qiáng)為零例第29頁/共111頁第29頁/共112頁例

均勻帶電薄圓盤軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度.有一半徑為,電荷均勻分布的薄圓盤,其電荷面密度為.求通過盤心且垂直盤面的軸線上任意一點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度.解由上例第30頁/共111頁第30頁/共112頁第31頁/共111頁第31頁/共112頁（點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度）討論無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)強(qiáng)度第32頁/共111頁第32頁/共112頁本次課小結(jié)小結(jié)庫(kù)侖定律Fq12q0e4pr2r0r施受r0EiS1nEiq10e4pr2r0iS1nii點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)連續(xù)帶電體的場(chǎng)強(qiáng)EEd10e4pr2qdr0EFq0電場(chǎng)強(qiáng)度定義式qlpe的方向由l+電偶極子的電矩（電偶極矩）定義式點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)Err0e4p12Q0球?qū)ΨQ性分布第33頁/共111頁第33頁/共112頁上次課的主要內(nèi)容庫(kù)侖定律Fq12q0e4pr2r0r施受r0EiS1nEiq10e4pr2r0iS1nii點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)連續(xù)帶電體的場(chǎng)強(qiáng)EEd10e4pr2qdr0EFq0電場(chǎng)強(qiáng)度定義式qlpe的方向由l+電偶極子的電矩（電偶極矩）定義式點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)Err0e4p12Q0球?qū)ΨQ性分布上次課的主要內(nèi)容第34頁/共111頁第34頁/共112頁第四節(jié)電通量高斯定理Gauss'stheoremelectricalfluxss10-4第35頁/共111頁第35頁/共112頁一、電場(chǎng)線一、電場(chǎng)線+-Nd條通過垂直的面元dsEEP靜電場(chǎng)的虛擬形象描述約定：某點(diǎn)處電場(chǎng)線的方向是該點(diǎn)處NddsE的方向。電場(chǎng)線的密度定為E特點(diǎn)：源于正、匯于負(fù)的非封閉連續(xù)曲線。非源、非匯處電場(chǎng)線不相交。（即垂直通過單位面積上的電場(chǎng)線多少。）第36頁/共111頁第36頁/共112頁圖組1++-++正點(diǎn)電荷電場(chǎng)線-負(fù)點(diǎn)電荷電場(chǎng)線電偶極子電場(chǎng)線兩等量帶正電點(diǎn)電荷電場(chǎng)線第37頁/共111頁第37頁/共112頁圖組2+++++++++++++++++均勻帶正電平面的電場(chǎng)線+++++++++++++++++++++++++++++++++兩均勻等量異號(hào)帶電同心球面的電場(chǎng)線兩均勻等量異號(hào)帶電平面的電場(chǎng)線兩均勻等量帶正電平面的電場(chǎng)線-++++++++++++++++第38頁/共111頁第38頁/共112頁二、電通量1.勻強(qiáng)電場(chǎng)的efE（通量）二、電通量電通量通過電場(chǎng)中某一個(gè)面的電場(chǎng)線數(shù)。efEEsnnsEsefEsnqcossEnsqqqcossEsqcosefEsqqqq第39頁/共111頁第39頁/共112頁非均勻場(chǎng)中的通量2.非勻強(qiáng)電場(chǎng)的ef元電通量ds通過面元的defqcosdsEdef定義面元矢量dsnds則def的定義式為EdsqcosdsEdef通過曲面sE通量為的EdssqcosdsEssefdefsEqdsn第40頁/共111頁第40頁/共112頁對(duì)閉合曲面通量的sdsdsdsdsdsdsEnnnnnnEEEEEEqp2qp2p2qp2qqpq03.閉合曲面的ef規(guī)定:n均指向曲面外所有各面元的為標(biāo)量ef通過閉合曲面的電通量sEdsefsEdscosq第41頁/共111頁第41頁/共112頁注意非閉合通過曲面的電通量簡(jiǎn)化寫法sEdsefsefEds閉合通過曲面的電通量簡(jiǎn)化寫法sEdsefsefEds電通量ef是標(biāo)量第42頁/共111頁第42頁/共112頁例EEnnRqqqq圓面非封閉半球面2pRE2pRE2pREefefef例qcosdsEsEdssef封閉半球面封閉球面封閉三棱柱面nnnnnEsEds00ee0e線數(shù)目相等，總通量均為零。E即進(jìn)、出同一封閉面的nnnnnnEnnnn第43頁/共111頁第43頁/共112頁三、高斯定理三、高斯定理+-++-s任意閉合曲面（簡(jiǎn)稱高斯面）q1q1iq3iq2iq2外外高斯1777-1855(德)的電通量s通過任意閉合曲面等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以e0注意:面ss內(nèi)、外ds合場(chǎng)強(qiáng)一切電荷的面元在處的s內(nèi)的電荷電量的代數(shù)和Edse01qiS內(nèi)ssef第44頁/共111頁第44頁/共112頁證明步驟11.單個(gè)點(diǎn)電荷被包圍在同心球面內(nèi)E+qqrrEqe04pr2efqe04pr2EdssEdsscosqsdse0q4pr2hqe04pr2dsnq0證明:特殊一般sq0球面上En處處同向與如果是負(fù)電荷qp第45頁/共111頁第45頁/共112頁證明步驟22.單個(gè)點(diǎn)電荷被包圍在任意閉合面內(nèi)ss+qqs以qq為球心作一閉合球面ss從qq發(fā)出的電場(chǎng)線通過必然也全部通過efEdsssEdse0q即第46頁/共111頁第46頁/共112頁證明步驟33.單個(gè)點(diǎn)電荷在任意閉合曲面外s以qq為頂點(diǎn)作微圓錐在閉合面上截得面元ds1ds2通過ds1的電場(chǎng)線必然也全部通過ds2且0cosq10cosq2,則元通量de1de2對(duì)于整個(gè)閉合曲面,均因元通量的成對(duì)相消,得總通量e0結(jié)論:通過閉合面的電通量與閉合面外電荷無關(guān)+qsds2ds1n1n2r1E1r2E2q1q2p2q2p2p2q1第47頁/共111頁第47頁/共112頁證明步驟44.閉合面內(nèi)外均有點(diǎn)電荷的情況+qn1+-qn2++qk+++-qq11qq2233qqnnqqs000e01(qq11qq22nnqq++(e01qS內(nèi)iss面內(nèi)外全部的點(diǎn)電荷在s上任一點(diǎn)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)為E+E1E2++EnEk+En1++En2+++efsEds2+EnsdsE1+Esds+sds+EkEn1+En2+sds+sds++sds電通量此即高斯定理第48頁/共111頁第48頁/共112頁定理的重要意義fEdsqiSe01sqcosdsEs內(nèi)iE高斯定理的重要意義高斯定理反映了靜電場(chǎng)的一個(gè)重要的性質(zhì)：靜電場(chǎng)是一個(gè)有源的矢量場(chǎng)，正、負(fù)電荷是這個(gè)矢量場(chǎng)的場(chǎng)源。高斯定理、庫(kù)侖定律、電場(chǎng)強(qiáng)度定義，以不同的形式表示靜電場(chǎng)與場(chǎng)源電荷的關(guān)系。高斯定理適用于所有電場(chǎng)（包括庫(kù)侖定律不再適用的非靜電場(chǎng)）是普遍電磁理論的基本方程之一。第49頁/共111頁第49頁/共112頁三、高斯定理三、高斯定理+-++-s任意閉合曲面（簡(jiǎn)稱高斯面）q1q1iq3iq2iq2外外高斯1777-1855(德)的電通量s通過任意閉合曲面等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以e0注意:面ss內(nèi)、外ds合場(chǎng)強(qiáng)一切電荷的面元在處的s內(nèi)的電荷電量的代數(shù)和Edse01qiS內(nèi)ssef第50頁/共111頁第50頁/共112頁四、高斯定理的應(yīng)用—舉例四、高斯定理應(yīng)用EdsqiSe01sqcosdsEs內(nèi)se應(yīng)用高斯定理,可方便地求出某些帶電體具有某種特殊對(duì)稱性的電場(chǎng)分布.ss要領(lǐng):視場(chǎng)分布的對(duì)稱特點(diǎn),恰當(dāng)設(shè)計(jì)高斯面s均勻帶電長(zhǎng)直線s均勻帶電長(zhǎng)圓柱面s軸對(duì)稱ls舉例均勻帶電球體點(diǎn)電荷均勻帶電球面球?qū)ΨQsqoQossQo均勻帶電大平面ss面對(duì)稱第51頁/共111頁第51頁/共112頁例求點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)分布例設(shè)計(jì)高斯面以q為球心的球面s:+qqE方便在于:s面上各點(diǎn)的E大小相等與qcosEn同向1作常量Eqe04p2rqcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用Esdsqe01E4p2rqe01得osrronEr0Er182Er182第52頁/共111頁第52頁/共112頁例qcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用例求均勻帶電球面的場(chǎng)強(qiáng)分布rR帶電球面外大小必相等sE面上各點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)方向與正交s（與面元法線同向）作同心球面s由高斯定理EqiSdss1e0p4s2RE2p4rQ球面總電量?jī)?nèi)fes得E2p4r1e0p4s2R1e0QrsRs電荷面密度OEPOeE2rs2RQp4Oe2rrRqcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用第53頁/共111頁第53頁/共112頁續(xù)上qcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用例rR帶電球面內(nèi)求均勻帶電球面的場(chǎng)強(qiáng)分布rsRs電荷面密度OE0rR由高斯定理EqiSdss1e0E2p4r0內(nèi)iferR帶電球面外OeE2rs2RQp4Oe2rrR0RErE0Er182qcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用第54頁/共111頁第54頁/共112頁方法步驟概括步驟概括運(yùn)用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的方法分析場(chǎng)強(qiáng)的分布。由電荷的分布第一步運(yùn)算得結(jié)果。運(yùn)用定理公式第三步作相應(yīng)的高斯面。按場(chǎng)強(qiáng)分布（封閉面）第二步第55頁/共111頁第55頁/共112頁例qcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用例求“無限長(zhǎng)”均勻帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)分布s上、下底面的通量均為零EE圓柱側(cè)面各點(diǎn)E等值與ds法線同向,且線電荷密度lsqiSlh內(nèi)E呈軸對(duì)稱分布,s作同軸封閉圓柱面為高斯面qcosdsEssEcos0dsE2phr由高斯定理得E2phlhe0El2pe0rrshrr0rlEr18qcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用第56頁/共111頁第56頁/共112頁例—帶電長(zhǎng)圓柱面qcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用例求無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面的場(chǎng)強(qiáng)分布E2rph1e0phR2sEe0RrssrrhhssER電荷面密度s作同軸封閉圓柱面為高斯面由高斯定理得E2rph0E0Rr,Rr0RErEr18E0qcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用第57頁/共111頁第57頁/共112頁例qcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用例求“無限大”均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)分布EE均勻，垂直于帶電平面指向呈平面對(duì)稱狀態(tài)電荷面密度sssEEss選封閉s母線與兩側(cè)圓平面面積均為s圓柱面，平行E通過圓柱曲面通量為零，E垂直通過EsssE+2sEsE本題s2e0E得2sEe01ss內(nèi)Se由高斯定理E1qiSdsse0fqcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用第58頁/共111頁第58頁/共112頁例ssXs2e0s2e0s2e0sss2e0Xs2e0s2e0獨(dú)立ssXss00se0疊加IIIIII第59頁/共111頁第59頁/共112頁常用公式無限長(zhǎng)帶電圓柱體、柱面，帶電球體、球面的場(chǎng)強(qiáng)分布也可用高斯定理求得。但有限長(zhǎng)帶電直線、有限大帶電圓面的場(chǎng)強(qiáng)分布公式需要用積分（疊加）法求得。上述三種分布都可用高斯定理求得。qr0e4p12EElr10e2pEs2e0三種最常用均勻帶電體的場(chǎng)強(qiáng)分布點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)無限長(zhǎng)帶電直線無限大帶電平面第60頁/共111頁第60頁/共112頁例qcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用例求均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)分布rREp42r1e0p433rrEe03rrR3p4e0QrsEPOOrrRR電荷體密度r電荷體密度rr作同心球面為高斯面s由高斯定理rREqiSdss1e0QEp42r1e0p43R3r球體總電荷Ee032rR3rp42re0Q內(nèi)Sfe0RErEr8Er182Er182qcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用第61頁/共111頁第61頁/共112頁求無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面的場(chǎng)強(qiáng)分布srrhhssER由高斯定理得E2rph1e0phR2sEe0Rr1s電荷面密度s作同軸封閉圓柱面為高斯面E2rph0E0Rr,Rr0REr（續(xù)）上例l柱面單位長(zhǎng)度帶電E2rph1e0hlEe0r12plqcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用例Er18Er18E0qcosdsEsEdssqiSe01內(nèi)se高斯定理的應(yīng)用第62頁/共111頁第62頁/共112頁本次課小結(jié)小結(jié)電通量sefEds高斯定理Edse01qiS內(nèi)ssef運(yùn)用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的方法分析場(chǎng)強(qiáng)的分布。由電荷的分布第一步運(yùn)算得結(jié)果。運(yùn)用定理公式第三步作相應(yīng)的高斯面。按場(chǎng)強(qiáng)分布（封閉面）第二步靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)元電通量ds通過面元的defqcosdsEdef第63頁/共111頁第63頁/共112頁第五節(jié)ss10-5靜電場(chǎng)的環(huán)路定理電勢(shì)circuitaltheoreminelectrostaticfieldelectricpotential第64頁/共111頁第64頁/共112頁一、靜電場(chǎng)力的功AdhFdlq0Ehdlq0Eqcosdlq0qr20e4p1qcosdlqr20e4p1q0rdA)abcdArabrqr20e4p1q0rdq0e4pq0()1rabr1電場(chǎng)力所作的功取決于移動(dòng)試驗(yàn)電荷的始、末位置，而與移動(dòng)路徑無關(guān)。q0qcFEdlr+rdrrd試驗(yàn)電荷點(diǎn)電荷的電場(chǎng)qdl無窮小brbara+q一、靜電場(chǎng)力的功一、靜電場(chǎng)力的功第65頁/共111頁第65頁/共112頁保守力閉合路線之功試驗(yàn)電荷沿任意閉合路線繞行一周，電場(chǎng)力所做的功為零。理論和實(shí)驗(yàn)都可以證明，在點(diǎn)電荷或點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)中，當(dāng)試驗(yàn)電荷在點(diǎn)電荷或點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)中，受電場(chǎng)力作用沿任意閉合路線繞行一周，電場(chǎng)力所做的功為零。因?yàn)锳)abcdAdA)acadAraradAraraA閉寫為q0e4pq0(1ra1ra(0qr20e4p1q0rddAraraA閉rara而0A閉L0qhEdlLhdlF所以A)abcdArabrqr20e4p1q0rdq0e4pq0()1rabr1AdhFdlq0Ehdl第66頁/共111頁第66頁/共112頁電場(chǎng)力是保守力理論和實(shí)驗(yàn)都可以證明，在點(diǎn)電荷或點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)中，試驗(yàn)電荷沿任意閉合路線繞行一周，電場(chǎng)力所做的功為零。A0hLdl閉0qhLEdlFq+EFFldldq0q0在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中在點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)中LLqEldq0q0FldLLF+-q第67頁/共111頁第67頁/共112頁（續(xù)）電場(chǎng)力是保守力靜電場(chǎng)力是保守力，靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng)。AL閉L00qhEdlhdlF由于沿任一閉合回路做功為零是一切保守力的共同特征，因此場(chǎng)中，試驗(yàn)電荷沿任意閉合路線繞行一周，靜電場(chǎng)力理論和實(shí)驗(yàn)都表明：任意帶電體激發(fā)的電場(chǎng)均可看做是由點(diǎn)電荷系激發(fā)的電場(chǎng)。在任意帶電體的靜電所做的功為零。(任意帶電體實(shí)質(zhì)上就是點(diǎn)電荷連續(xù)分布的點(diǎn)電荷系；點(diǎn)電荷及點(diǎn)電荷系是任意帶電體的特例。）第68頁/共111頁第68頁/共112頁二、場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理—推導(dǎo)二、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理環(huán)路定理的推導(dǎo)當(dāng)路經(jīng)為閉合曲線時(shí)LA閉hdlF0LhFdr一方面A閉dAraraq0e4pq0(1ra1ra(0另一方面LA閉hdlE0q0qLhdrE0所以有L0hEdr或LhEdl0這就是環(huán)路定理第69頁/共111頁第69頁/共112頁環(huán)路定理則其中0q0A00qhLEdl閉即，靜電場(chǎng)是無旋場(chǎng)LhEdl積分稱為的環(huán)流E環(huán)流為零的矢量場(chǎng)稱為無旋場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)L0hEdl靜電場(chǎng)的環(huán)路定理在靜電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)沿任一閉合回路的線積分恒等于零。第70頁/共111頁第70頁/共112頁三、電勢(shì)能三、電勢(shì)能abmF任意路徑F重重回顧力學(xué)篇重力是保守力,在重力場(chǎng)中，AabWpaWpb重力所作的功重力勢(shì)能的減少量mgh重力勢(shì)能表達(dá)式Wp重靜電力是保守力,在靜電場(chǎng)中，靜電力所作的功靜電勢(shì)能的減少量AabWpaWpb0qhEdlab0q任意路徑abE試驗(yàn)電荷若Wpb0則a在0q處時(shí),系統(tǒng)的電勢(shì)能為Wpa0qhEdlab通常,選b在無窮遠(yuǎn)處Wpb0則Wpa0qhEdla8電荷在電場(chǎng)中某點(diǎn)從將點(diǎn)移到無窮遠(yuǎn)處電場(chǎng)力所作的功.0q處的電勢(shì)能在數(shù)值上等于a0qa第71頁/共111頁第71頁/共112頁四、電勢(shì)四、電勢(shì)Wpa0qhEdla8電勢(shì)能與0q有關(guān),Wpa0q與0q無關(guān),a只與可描述靜電場(chǎng)本身某點(diǎn)在靜電場(chǎng)中的位置有關(guān),a的性質(zhì).但定義:Wpa0qUahEdla8為點(diǎn)的電勢(shì)a電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì),等于單位正電荷在該點(diǎn)具有的電勢(shì)能,a或等于把單位正電荷從該點(diǎn)沿任意路徑移到無窮遠(yuǎn)電場(chǎng)力所作的功.電勢(shì)是相對(duì)的,任意ab、兩點(diǎn)之間的電勢(shì)之差,稱為電勢(shì)差hEdla8UabUaUbhEdl8hEdlabb電勢(shì)差與電勢(shì)零點(diǎn)的選擇無關(guān)電勢(shì)和電勢(shì)差的單位都是焦耳/庫(kù)侖JC((稱為伏特V((Aab0qUaUb((作功電場(chǎng)力對(duì)0q與電勢(shì)差的關(guān)系為0qU第72頁/共111頁第72頁/共112頁五、點(diǎn)電荷的電勢(shì)五、點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式是計(jì)算電勢(shì)具有標(biāo)量疊加性。其它帶電體系電勢(shì)的基礎(chǔ)。的電勢(shì)為點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中某點(diǎn)處qPUhEdr8Pq0e4p1r8r2drq0e4pr+qrr8P(0(任意路徑PErqr20e4p10單位正電荷q0q0U0空間各點(diǎn)r越小處U越大;,U0空間各點(diǎn)r越小處U越小.,第73頁/共111頁第73頁/共112頁六、電勢(shì)疊加原理Uq0e4prSni1iiq12q++r12rP單位正電荷88六、電勢(shì)疊加原理1.點(diǎn)電荷系電場(chǎng)中的電勢(shì)P的電勢(shì)點(diǎn)電荷系電場(chǎng)中某點(diǎn)0e4prqdU+rP8qd單位正電荷qQL2.連續(xù)帶電體電場(chǎng)中的電勢(shì)P連續(xù)帶電體電場(chǎng)強(qiáng)中某點(diǎn)的電勢(shì)第74頁/共111頁第74頁/共112頁七、電勢(shì)計(jì)算法七、電勢(shì)的計(jì)算兩種方法:點(diǎn)電荷電勢(shì)疊加法公式或S0e4p1qriiU0e4pqrdU1.電勢(shì)定義的場(chǎng)強(qiáng)積分法hEdlU8P公式2.第75頁/共111頁第75頁/共112頁例例已知+a2ddq+-q至于具有連續(xù)點(diǎn)荷分布的帶電體，其電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)可用點(diǎn)電荷電勢(shì)積分法求解。求點(diǎn)處的電勢(shì)aa-q0e4p1d3q0e4p1d-6q0epdU解法提要電勢(shì)疊加法第76頁/共111頁第76頁/共112頁例例計(jì)算帶電量為Q的均勻帶電細(xì)圓環(huán)垂軸上的電勢(shì)分布電勢(shì)疊加法hdl0RxPXQdlldqR2pQdldqr+R22xPP0e4pdUqdr+R22xQdl0e8pR2Pd0UU+R22xQdl0e8pR2R2pP+R22x0e4pQP電勢(shì)定義法0RhPXx8QEx0e4p+R22x)(23Qx8EdxUP8xdx+R22x)(23xQ0e4pP8+R22x)(23xdxxPQ0e4p+R22x0e4p結(jié)果一致PQ第77頁/共111頁第77頁/共112頁（續(xù)）上例例計(jì)算帶電量為Q的均勻帶電細(xì)圓環(huán)垂軸上的電勢(shì)分布電勢(shì)定義法0RhPXx8電勢(shì)疊加法hdl0RxPXQdlldqR2pQdldqr+R22x0e4pdUqdr+R22xQdl0e8pR2d0UU+R22xQdl0e8pR2R2p+R22x0e4pQQEx0e4p+R22x)(23QPPPPPx8EdxUP8xdx+R22x)(23xQ0e4pP8+R22x)(23xdxxPQ0e4p+R22x0e4p結(jié)果一致PQ若RxPU0e4pQxP可看成點(diǎn)電荷電勢(shì)U0e4pQR若0xP得環(huán)心處的電勢(shì)為U0e4pQ+R22xP第78頁/共111頁第78頁/共112頁例外r外8hdr外Er外8r20e4pQdr0e4pQr外與成反比r外U例用電勢(shì)定義法求均勻帶電薄球殼內(nèi)、外空間的電勢(shì)分布r0RU08R+r20e4pQdr0e4pQR不變量?jī)?nèi)+E內(nèi)hdrr內(nèi)R8外EhdrRU外Er20e4pQ+RQ薄球殼880r內(nèi)r外E內(nèi)0PP第79頁/共111頁第79頁/共112頁例例計(jì)算兩帶電同心球面的電勢(shì)分布0rRaRRbQaQbIIIIIII區(qū)II區(qū)III區(qū)疊加IUUa+UbIIUUa+UbIIIUaU+Ub0e4pQaRa+QbRb1((0e4pQa+QbRb1((rQa+Qb0e4pr獨(dú)立I區(qū)I區(qū)IIIII區(qū)Ua0e4pQaRaUb0e4pQbRbUbIIIII區(qū)0e4prQaUarQb0e4pRaRRbr0U第80頁/共111頁第80頁/共112頁八、等勢(shì)面八、等勢(shì)面概念等勢(shì)面（亦稱等位面）在電場(chǎng)中電勢(shì)相同的點(diǎn)所構(gòu)成的曲面。性質(zhì)電場(chǎng)強(qiáng)度（或電場(chǎng)線）與等勢(shì)面處處正交。較密集；電場(chǎng)強(qiáng)度小的地方電場(chǎng)強(qiáng)度大的地方等勢(shì)面等勢(shì)面較稀疏。+++++++E電場(chǎng)線等勢(shì)面帶電體第81頁/共111頁第81頁/共112頁點(diǎn)電荷勢(shì)場(chǎng)+等勢(shì)面等勢(shì)面場(chǎng)電線電場(chǎng)線第82頁/共111頁第82頁/共112頁電偶極勢(shì)場(chǎng)+-電場(chǎng)線電場(chǎng)線等勢(shì)面等勢(shì)面第83頁/共111頁第83頁/共112頁電容器勢(shì)場(chǎng)++++++++++++++++++電場(chǎng)線等勢(shì)面第84頁/共111頁第84頁/共112頁電導(dǎo)塊勢(shì)場(chǎng)等勢(shì)面等勢(shì)面++++++++++++++++++++++++++++++++++電場(chǎng)線電場(chǎng)線第85頁/共111頁第85頁/共112頁綜合勢(shì)場(chǎng)圖+等勢(shì)面等勢(shì)面場(chǎng)電線電場(chǎng)線++++++++++++++++++電場(chǎng)線等勢(shì)面+-電場(chǎng)線電場(chǎng)線等勢(shì)面等勢(shì)面++++++++++++++++++++++++++++++等勢(shì)面等勢(shì)面電場(chǎng)線電場(chǎng)線++++第86頁/共111頁第86頁/共112頁例PrOrl+先用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)分布,得2pe0lrE電勢(shì)零點(diǎn)不可選在無限遠(yuǎn).對(duì)于電荷分布伸展至無限遠(yuǎn)的問題,處的B點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn).可任選一點(diǎn)有限遠(yuǎn)為BrPUdr2pe0rlrBrEdrrBr再用電勢(shì)定義法求點(diǎn)的電勢(shì)P例計(jì)算無限長(zhǎng)帶電直線電場(chǎng)中P點(diǎn)的電勢(shì)BBrln2pe0lBrr2pe0l(lnBrlnr(因若設(shè)1ln0Brm1得PU2pe0llnrrm1PU為負(fù)值rm1PU為正值場(chǎng)中各點(diǎn)電勢(shì)只有相對(duì)意義.只有兩點(diǎn)間的電勢(shì)差才有絕對(duì)意義第87頁/共111頁第87頁/共112頁例：兩柱面間電勢(shì)差I(lǐng)IIIIIR12R2Rl1l2R1hhhS1rS2rS3r例求兩同軸帶電長(zhǎng)圓柱面的電場(chǎng)分布及內(nèi)外筒間的電勢(shì)差R12R12UUdrEIIe0r2pl1R12Rdrln2pe02RR1l1內(nèi)外筒間的電勢(shì)差EIhr2p0e01EIIhr2pl1e01hI區(qū)II區(qū)III區(qū)EIIIhr2pe01h+l2l1((EI0e0r2pl1EIIe0r2p+l2l1((EIII用高斯定理求電場(chǎng)分布l為柱面單位長(zhǎng)度帶電量第88頁/共111頁第88頁/共112頁本次課小結(jié)小結(jié)疊加法求電勢(shì)電勢(shì)差（兩點(diǎn)之間的電勢(shì)之差）UabUaUbhEdlab電勢(shì)定義式Wpa0qUahEdla8UphEdl8p定義法求電勢(shì)點(diǎn)電荷的電勢(shì)U0e4prq連續(xù)帶電體的電勢(shì)0e4pqrdU點(diǎn)電荷系的電勢(shì)S0e4p1qriiUi1nq0e4pq0()1rabr1A)abcdAq0Ehdlrbra一、靜電場(chǎng)力的功靜電場(chǎng)力的功場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理LhEdl0靜電場(chǎng)是無旋場(chǎng)第89頁/共111頁第89頁/共112頁完第90頁/共111頁第90頁/共112頁又一次課大學(xué)物理第91頁/共111頁第91頁/共112頁習(xí)題課

習(xí)題課

大學(xué)物理第92頁/共111頁第92頁/共112頁習(xí)題課習(xí)題課真空中的靜電場(chǎng)第93頁/共111頁第93頁/共112頁目的；內(nèi)容概念與方法習(xí)題課真空中的靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)的基本規(guī)律與性質(zhì)。理論基礎(chǔ)1.內(nèi)容。（知識(shí)結(jié)構(gòu)）二、內(nèi)容、概念與方法。一、目的。掌握的概念與計(jì)算方法EU、高斯定理庫(kù)侖定律（保守力場(chǎng)）有源場(chǎng)e01qiS內(nèi)sEdss場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理疊加原理無旋場(chǎng)LhEdl0第94頁/共111頁第94頁/共112頁（續(xù)）上頁三、例題。2.基本概念與方法。電通量sefEdsq0e4pq0()1rabr1A)abcdAq0Ehdlrbra一、靜電場(chǎng)力的功靜電場(chǎng)力的功qlpe方向由并規(guī)定l+電偶極子的電矩Wpa0qUaEFq0場(chǎng)強(qiáng)電勢(shì)（力性質(zhì)）（作功性質(zhì)）電勢(shì)差UabUaUbhEdlab疊加法U0e4prq0e4pqrdUS0e4p1qriiUi1nEq10e4pr2r0iS1niiE10e4pr2qdr0Err0e4p12Q0疊加法e01qiS內(nèi)sEdssUphEdl8p定義法高斯定理法庫(kù)侖定律Fq12q0e4pr2r0r施受r0（點(diǎn)電荷的靜電場(chǎng)力）第95頁/共112頁例例求電偶極子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中受的力和力矩解法提要F+qEF--qEFF++F-0+q-qF+F-EOr-r+tr+F++r-F-qr+E+((-qr-Eq(r+-r-(EqlEq又因電偶極矩qlp得tpEsinqtpE第96頁/共112頁例：求電通量如圖所示，一電量為的點(diǎn)電荷，置于一正立方體的一個(gè)頂角上，則通過圖中側(cè)面的通量Aq例AqEfEAAqfEA461qe01q2e04若用8個(gè)相同的立方體組成一大立方體，在中心處，則通過大立方體六個(gè)側(cè)q面組成的封閉面的總通量為，則qe0解法提要在正立方體的六個(gè)側(cè)面中，與相連的三個(gè)側(cè)面通量為零；其它三個(gè)側(cè)面與的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，通量相等。EqqE第97頁/共112頁例：疊加法求EdEydExdEqqdEr例均勻帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)xyPaOL電荷線密度l求點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)Pdxxqldd線元帶電dxx在點(diǎn)產(chǎn)生元場(chǎng)強(qiáng)為PdEr20e4p1ldxsinqxdEydEdEdEcosq換元ddqxtgarasin()pqsinq()pqtgqxctg2ra2sinq2a2cscq2aq,dacscq2dqxxdE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得第98頁/共112頁（續(xù)）上例2q1qdEydExdEqqdEr例均勻帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)xyPaOL電荷線密度l求點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)Pdxxqldd線元帶電dxx在點(diǎn)產(chǎn)生元場(chǎng)強(qiáng)為PdEr20e4p1ldxsinqxdEydEdEdEcosq換元ddqxtgarasin()pqsinq()pqtgqlctg2ra2sinq2a2cscq2aq,dacscq2dqlldE0e4p1la2cscq20e4p1alacscq2dqdq得dE0e4p1aldq得xdExE0e4pal1q2qqdqcos0e4pal1q2q()sinsincos0e4pal1q2q()cos0e4pal1q2qsinqdqydEyE第99頁/共112頁（續(xù)）上例dEydExdEqqdEr例均勻帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)xyPaOL電荷線密度l求點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)Pdxxqldd線元帶電dll在點(diǎn)產(chǎn)生元場(chǎng)強(qiáng)為PdEr20e4p1ldlsinqxdEydEdEdEcosq換元ddqldE0e4p1aldq得xdExE0e4pal1q2qqdqcos0e4pal1q2q()sinsincos0e4pal1q2q()cos0e4pal1q2qsinqdqydEyExE0e4pal1q2q()sinsinyEcos0e4pal1q2q()cosjixE+EyEE2xE+yE22q1q（此式可用高斯定理簡(jiǎn)便得到,教材P19。）若L為無限長(zhǎng)l0epa2EyE01q2qp此時(shí)xE0則第100頁/共112頁例XqaOxxE？圓環(huán)軸上點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)P各線元的成對(duì)相消Ed線元的電量為dldq2paqdl對(duì)應(yīng)的元場(chǎng)強(qiáng)為Ed10e4p2dqrxEdcosqEdsinEdEdq圓周上各線元在點(diǎn)的元場(chǎng)強(qiáng)的矢量和PE則xEdcosqEd02pa10e4p2dqrxr()10e4pqxxa2+2322pa102padl()0e4pqxxa2+232dlrqEdxEdEdPEd成對(duì)抵消E例均勻帶電圓環(huán)軸上點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)回顧：第101頁/共112頁例E？ss例均勻帶電薄圓盤軸上點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)圓盤在點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)P各同心環(huán)帶元在點(diǎn)的元場(chǎng)強(qiáng)的矢量和PRROOXxrEdadadaaP電荷面密度sada某圓環(huán)半徑，環(huán)帶寬dq該環(huán)帶電為2psaadEx()423pe0q+2ax2運(yùn)用帶電圓環(huán)軸上場(chǎng)強(qiáng)公式Edx()423pe0+2ax2dq對(duì)應(yīng)于本題為4pe0()23+2ax2x2psaadE則Ed2e0sxR0a()23