完全平方公式

完全平方公式第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六學習目標1.理解并掌握完全平方公式的推導過程、結構特點、幾何解釋.（重點）2.靈活應用完全平方公式進行計算.（難點）第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六導入新課情境引入一塊邊長為a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加b

米.形成四塊實驗田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實驗田的總面積,并進行比較.aabb直接求：總面積=（a+b)(a+b)間接求：總面積=a2+ab+ab+b2你發(fā)現(xiàn)了什么？（a+b)2=a2+2ab+b2第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六講授新課完全平方公式一問題1

計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1（2）（m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4（3）（p-1)2=(p-1)(p-1)=

.p2-2p+1（4）（m-2)2=(m-2)(m-2)=

.m2-4m+4問題2

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出下列式子的答案嗎？（a+b)2=

.a2+2ab+b2（a-b)2=

.a2-2ab+b2合作探究第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六知識要點完全平方公式（a+b)2=

.a2+2ab+b2（a-b)2=

.a2-2ab+b2也就是說，兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式.簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六問題3

你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎?baabbaba

圖

1圖2第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六幾何解釋:aabb=+++a2ababb2（a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2a?ba?baaabb(a?b)bb(a?b)2幾何解釋:（a-b)2=

.a2-2ab+b2差的完全平方公式：第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=a2-2ab+b2.問題4

觀察下面兩個完全平方式，比一比，回答下列問題：1.說一說積的次數(shù)和項數(shù).2.兩個完全平方式的積有相同的項嗎？與a,b有什么關系？3.兩個完全平方式的積中不同的是哪一項？與a,b有什么關系？它的符號與什么有關？第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六

公式特征：4.公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項式和多項式.1.積為二次三項式；2.積中兩項為兩數(shù)的平方和；3.另一項是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號相同.第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六

想一想：下面各式的計算是否正確？如果不正確，應當怎樣改正？(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x-y)2=x2-y2(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2

(-x+y)2=x2-2xy+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六典例精析例1運用完全平方公式計算：解:(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2?(4m)?n+n2+8mn+n2；第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六(a-b)2=a2

-2ab+b2y2=y2-y+解：=+-2?y?(2)第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六利用完全平方公式計算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.針對訓練(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六(1)1022；解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=(100–1)2=10000-200+1=9801.

例2

運用完全平方公式計算：方法總結：運用完全平方公式進行簡便計算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉化為能利用完全平方公式的形式．第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六利用乘法公式計算：(1)982－101×99；(2)20162－2016×4030＋20152.針對訓練＝(2016－2015)2＝1.解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六例3已知x－y＝6，xy＝－8.求:(1)x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.＝36－16＝20；解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20－16＝4.第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六方法總結：本題要熟練掌握完全平方公式的變式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2－4xy.第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六添括號法則二a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b–c.a+b+c=a+(b+c);

a–b–c=a–(b+c).去括號把上面兩個等式的左右兩邊反過來，也就添括號：第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六

添括號時,如果括號前面是正號,括到括號里的各項都不變號;如果括號前面是負號,括到括號里的各項都改變符號（簡記為“負變正不變”）.知識要點添括號法則第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六例5

運用乘法公式計算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2.

原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]解:(1)典例精析(2)原式=[(a+b)+c]2=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六方法總結：第1小題選用平方差公式進行計算，需要分組.分組方法是“符號相同的為一組，符號相反的為另一組”.第2小題要把其中兩項看成一個整體，再按照完全平方公式進行計算.第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六計算：(1)(a－b＋c)2；(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．針對訓練＝1－4x2＋4xy－y2.解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc；(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]＝12－(－2x＋y)2第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六當堂練習2.下列計算結果為2ab－a2－b2的是()A．(a－b)2B．(－a－b)2C．－(a＋b)2D．－(a－b)21.運用乘法公式計算(a-2)2的結果是（）A．a(chǎn)2-4a+4B．a(chǎn)2-2a+4C．a(chǎn)2-4D．a(chǎn)2-4a-4AD第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六3.運用完全平方公式計算:(1)(6a+5b)2=_______________；(2)(4x-3y)2=_______________；(3)(2m-1)2=_______________；(4)(-2m-1)2=_______________.36a2+60ab+25b216x2-24xy+9y24m2+4m+1

4m2-4m+14.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，運用這一方法計算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．

25第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六5.計算(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；(2)(x－