西安中學2019-2020學年高二下學期期中考試理科數(shù)學試題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精陜西省西安中學2019-2020學年高二下學期期中考試理科數(shù)學試題含解析西安中學2019-2020學年度第二學期期中考試高二數(shù)學(理科)試題（時間:120分鐘滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，時間120分鐘；2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上；3．以下所有試題的答案均須書寫在答題卡的相應位置．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知,i是虛數(shù)單位,則（）A. B. C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則，即可求解。【詳解】根據(jù)復數(shù)的運算法則,可得。故選：D.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的運算法則，其中解答中熟記復數(shù)的乘法運算法則是解答的關鍵，考查了計算能力。2。定積分（）A。1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)定積分計算可得選項。【詳解】，故選:A?！军c睛】本題考查定積分的計算，屬于基礎題。3。已知函數(shù)，則的值為()A。1 B。 C.0 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)求導法則可求得，代入即可得到結果.【詳解】故選:【點睛】本題考查導數(shù)值的求解問題，關鍵是熟練掌握復合函數(shù)求導法則，屬于基礎題.4.三角形面積為，,，為三角形三邊長，為三角形內切圓半徑，利用類比推理,可以得出四面體的體積為（）A。B.C。（為四面體的高）D.（其中，，，分別為四面體四個面的面積，為四面體內切球的半徑，設四面體的內切球的球心為,則球心到四個面的距離都是)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面與空間的類比推理，由點類比直線，由直線類比平面，由內切圓類比內切球，由平面圖形的面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比四面體的體積計算方法，即可求解．【詳解】設四面體的內切球的球心為，則球心到四個面的距離都是,根據(jù)三角形的面積的求解方法：利用分割法,將與四個頂點連起來，可得四面體的體積等于以為頂點,分別以四個面為底面的4個三棱錐的體積之和，即，故選D．【點睛】本題主要考查了類比推理的應用，其中解答中類比推理是將已知的一類數(shù)學對象的性質類比到另一類數(shù)學對象上去，通常一般步驟：（1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質取推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題,本題屬于基礎題．5。用反證法證明某命題時,對結論：“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”正確的反設為（)A。中至少有兩個偶數(shù) B。中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)C.都是奇數(shù) D.都是偶數(shù)【答案】B【解析】【分析】用反證法證明某命題時，應先假設命題的反面成立,求出要證的命題的否定，即為所求。【詳解】解：用反證法證明某命題時，應先假設命題的反面成立，及要證的命題的否定成立,而命題:“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”的否定為“中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)”,故選：B【點睛】本題主要考查用反證法證明數(shù)學命題，求一個命題的否定，屬于中檔題。6.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為3，則實數(shù)m的值為（）A。5 B.4 C。3 D.2【答案】D【解析】【分析】據(jù)題意,求出函數(shù)在間上的平均變化率，進而可得,解可得的值，即可得答案．【詳解】解解：根據(jù)題意,函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為,則有，解可得:，故選：D【點睛】本題考查變化率的計算，注意變化率的計算公式,屬于基礎題．7。如果函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則以下關于函數(shù)的判斷：①在區(qū)間內單調遞增;②在區(qū)間內單調遞減；③在區(qū)間內單調遞增；④是極小值點；⑤是極大值點。其中正確的是（)A.③⑤ B.②③ C.①④⑤ D。①②④【答案】A【解析】【分析】利用使f′（x)＞0的區(qū)間是增區(qū)間,使f′(x）＜0的區(qū)間是減區(qū)間，分別對①②③進行逐一判定，導數(shù)等于零的值是極值，先增后減是極大值，先減后增是極小值，再對④⑤進行判定．【詳解】對于①，f′(x）在區(qū)間(—2，2）內有正有負,故函數(shù)y＝f(x）在區(qū)間(-2,2）內有增有減,故①不正確；對于②,在區(qū)間（2，4),f′（x）＞0，故f(x)單增，故②不正確；對于③，在區(qū)間（2,3),f′（x）＞0，故f（x）單增，故③正確；對于④，當x＝時，函數(shù)f′(x），故④不正確；對于⑤，當x時，f′（x)=0，且f′（x)先正后負，x=4為極大值點故⑤正確．故選A．【點睛】本題考查了通過導函數(shù)圖象判定原函數(shù)的單調性，以及極值問題，屬于易錯題．8。已知不等式對一切恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用絕對值三角不等式求出的最小值，m小于等于最小值即可?！驹斀狻?，根據(jù)題意可得.故選:A【點睛】本題考查絕對值三角不等式,屬于基礎題.9。已知，則的最小值是（)A。 B。 C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】由條件利用柯西不等式得,，由此求得的最小值．【詳解】解：因，根據(jù)柯西不等式，可得，，故,當且僅當時取等號，故的最小值為，所以選D．【點睛】本題主要考查柯西不等式的簡單應用．10.用數(shù)學歸納法證明不等式時，從到不等式左邊增添的項數(shù)是（）A。 B. C. D。【答案】C【解析】當時，不等式左邊為，共有項，當時，不等式坐左邊為，共有項，∴增添的項數(shù)。故答案為C.11。在等比數(shù)列中，，，函數(shù)，則（）A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，按導數(shù)的運算法則求導，令代入相應值即可得解.【詳解】，，,，.故選：B【點睛】本題考查等比數(shù)列的基本量求解、導數(shù)運算法則，屬于基礎題.12。已知函數(shù)是上的單調增函數(shù)，則的取值范圍是（)A. B.或 C. D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調性可知在上恒成立,分別在和兩種情況下，結合二次函數(shù)的性質求得結果?！驹斀狻坑深}意得：在上恒成立當時，,滿足題意當時，則需,解得：綜上所述：故選：【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調性求解參數(shù)范圍的問題,關鍵是能夠將問題轉化為導函數(shù)在實數(shù)范圍內恒大于等于零的問題；易錯點是在求解時，忽略對二次項系數(shù)是否為零的討論.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.計算：________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)定積分的幾何意義,表示以為圓心，以2為半徑的圓的面積的四分之一.【詳解】表示直線與曲線和軸圍成的圖形的面積。如圖.圖形中陰影部分的面積是以為圓心,以2為半徑的圓的面積的四分之一。所以故答案為：【點睛】本題考查了定積分的幾何意義，屬于基礎題．14。比較大?。篲___．（用,或填空）【答案】【解析】【分析】利用作差法比較大小;【詳解】解：即故答案為:【點睛】本題考查作差法比較大小，屬于基礎題。15。將正整數(shù)有規(guī)律地排列如下：……………則在此表中第行第列出現(xiàn)的數(shù)字是___________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)等差數(shù)列的求和求解前行的數(shù)字個數(shù),再分析第行第列出現(xiàn)的數(shù)字即可.【詳解】依題意可知第行有個數(shù)字，前行的數(shù)字個數(shù)為個,可得前行共個，∵,即第行最后一個數(shù)為，∴第行第列出現(xiàn)的數(shù)字是,故答案為：。【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的運用,屬于中檔題。16.已知，函數(shù)．①當時，函數(shù)的最小值為______；②若在區(qū)間上的最大值是5,則實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】(1）。4(2）。【解析】【分析】①分，進行討論,結合基本不等式,即可求出函數(shù)的最小值。②求出,從而分成，，三種情況，去掉絕對值號，結合已知函數(shù)的最大值,求出實數(shù)a的取值范圍。【詳解】①解:當時，.當時，，當且僅當,即時等號成立，即；當時,，，當且僅當，即時等號成立，即；綜上所述,函數(shù)的最小值為4。②解：當時，，當且僅當，即時等號成立，當時，；當時,，所以.（1)當時,,所以，即（舍）;(2)當時，成立；（3）當時,，則或,解得或;綜上所述，.故答案為:4;?！军c睛】本題考查了基本不等式，考查了函數(shù)最值的求解，考查了分類的數(shù)學思想。求函數(shù)的最值時,可以結合函數(shù)的單調性求解，可以結合函數(shù)的圖像進行求解，可以結合導數(shù)求解,也可以結合基本不等式求解。運用基本不等式求最值時,注意一正二定三相等。三、解答題:共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知復數(shù)，．（Ⅰ）若為純虛數(shù),求m的值；（Ⅱ)若對應的點在直線上，求m的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）將復數(shù)整理成代數(shù)形式，根據(jù)實部為0，虛部不為0，列式可解得結果;（Ⅱ）根據(jù)復數(shù)的幾何意義得到復數(shù)所對應的點，再代入直線方程可解得結果.【詳解】解：由題意，復數(shù)，則，（Ⅰ）若為純虛數(shù)，則有,解得：．（Ⅱ)根據(jù)對應的點在上，可得，解得：．【點睛】本題考查了復數(shù)的概念，考查了復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題。18.設函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間.（2)求函數(shù)的極值。【答案】（1）增區(qū)間為和，減區(qū)間為；(2)極大值為，極小值為【解析】【分析】(1）求導后，根據(jù)導函數(shù)的正負可確定原函數(shù)的單調區(qū)間；（2）根據(jù)單調性可確定極值點,代入原函數(shù)求得極值?！驹斀狻浚?）當時，；當時，的單調遞增區(qū)間為和；單調遞減區(qū)間為（2)由（1）可知在處取得極大值，在處取得極小值極大值為，極小值為【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的單調性和極值的問題；關鍵是明確函數(shù)單調性與導函數(shù)正負之間的關系、極值的定義，屬于基礎應用.19。設函數(shù)點處有極值.（1）求常數(shù)的值；（2）求曲線與軸所圍成的圖形的面積?！敬鸢浮?1）;(2)?！窘馕觥俊痉治觥浚?）求出導函數(shù),利用函數(shù)在處有極值，由且,解方程組，即可求得的值；（2）利用定積分的幾何意義，先確定確定函數(shù)的積分區(qū)間,被積函數(shù)，再求出原函數(shù),利用微積分基本定理,結合函數(shù)的對稱性即可得結論?！驹斀狻?1)由題意知，且，即,解得。（2)如圖，由1問知。作出曲線的草圖,所求面積為陰影部分的面積。

由得曲線與軸的交點坐標是，和,而是上的奇函數(shù),函數(shù)圖象關于原點中心對稱。所以軸右側陰影面積與軸左側陰影面積相等.所以所求圖形的面積為.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、定積分的幾何意義以及微積分基本定理的應用,屬于中檔題。已知函數(shù)的極值求參數(shù)的一般步驟是:（1）列方程求參數(shù)；（2）檢驗方程的解的兩邊導函數(shù)符號是否相反。20.已知函數(shù)，．（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1)；（2）?！窘馕觥俊痉治觥浚á瘢┊敃r，,分類討論，即可求得不等式的解集；(Ⅱ）根據(jù)分段函數(shù)的解析式,結合函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，得出，即可求解實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）當時，，由,可得，或，或，解得，所以不等式的解集為．(Ⅱ）由題意，函數(shù)，因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,且函數(shù)是連續(xù)不間斷的，所以，解得，故所求實數(shù)a的取值范圍是．【點睛】本題主要考查了含絕對值不等式的求解，以及分段函數(shù)的性質的應用，其中解答中熟記含絕對值的不等式的解法是解答的關鍵，著重考查分類討論思想，以及運算與求解能力。21。已知，且。（1）求的取值范圍；（2）求證:。【答案】(1）；（2)證明見解析【解析】分析】(1)由條件等式將用表示，再從，進一步求出的范圍，將問題轉化為求二次函數(shù)的取值范圍,二次函數(shù)配方,即可求解；(2）根據(jù)已知條件轉化證明，利用基本不等式即可得證?！驹斀狻?1）依題意，，故。所以，所以,即的取值范圍為.（2）因為，所以,當且僅當時,等號成立，又因為，所以。【點睛】本題主要考查配方法、基本不等式和不等式證明等基礎知識，解題中注意應用條件等式，屬于中檔題。22.已知函數(shù).(Ⅰ）若在區(qū)間上為單調遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍;（Ⅱ）若,,設直線為函數(shù)的圖像在處的切線,求證：．【答案】(1）(2）見解析【解析】【分析】（Ⅰ）由在區(qū)間上為單調遞增函數(shù)，轉化為對恒成立,即對恒成立求解。(Ⅱ）當時,，先求得函數(shù)的圖像在處的切線方程:，構造函數(shù)，，用導數(shù)證明即可.【詳解】