高考數(shù)學(xué)大題專(zhuān)練之圓錐曲線(xiàn)

圓錐曲線(xiàn)專(zhuān)練

v-2

1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中。橢圓C:]+y2=i的右焦點(diǎn)為/，右準(zhǔn)線(xiàn)為/。

(1)求到點(diǎn)尸和直線(xiàn)/的距離相等的點(diǎn)G的軌跡方程。

(2)過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)交橢圓C于點(diǎn)A,3,又直線(xiàn)。4交/于點(diǎn)T,若麗=2宓，求線(xiàn)段A8的長(zhǎng)；

(3)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(入。,%),飛。0,直線(xiàn)0M交直線(xiàn)當(dāng)+y0y=l于點(diǎn)N,且和橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為

點(diǎn)、P,是否存在實(shí)數(shù)4,使得0P一=4。/ON?,若存在，求出實(shí)數(shù)4；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理山。

22

2、如圖，已知橢圓5+4=l(a>b>0)的長(zhǎng)軸為AB,過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)/與％軸垂直.直線(xiàn)

a~h

(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0(keR)所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率e=掾

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)P是橢圓上異于4、8的任意一點(diǎn)，軸，”為垂足，延長(zhǎng)到點(diǎn)。使得“尸=尸。，連結(jié)AQ

延長(zhǎng)交直線(xiàn)/于點(diǎn)M,N為MB的中點(diǎn).試判斷直線(xiàn)QN與以A8為直徑的圓。的位置關(guān)系.

3、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸匕離心率為券，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,1),直線(xiàn)/:y=x+加交橢圓于

不同的兩點(diǎn)A,B.(I)求橢圓的方程；(II)求機(jī)的取值范圍；

(III)若直線(xiàn)/不過(guò)點(diǎn)M,試問(wèn)々MA+AMB是否為定值？并說(shuō)明理由。

4、已知橢圓的焦點(diǎn)6(1,0),工(一1,0),過(guò)。作垂直于y軸的直線(xiàn)被橢圓所截線(xiàn)段長(zhǎng)為灰，過(guò)耳作直

線(xiàn)/與橢圓交于4、8兩點(diǎn).

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(H)是否存在實(shí)數(shù)f使兩+而=/麗，若存在，求f的值和直線(xiàn)/的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

5、設(shè)拋物線(xiàn)Cl：x2=4y的焦點(diǎn)為F,曲線(xiàn)C2與C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

(I)求曲線(xiàn)C2的方程；

(II)曲線(xiàn)C2上是否存在一點(diǎn)P(異于原點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P作C1的兩條切線(xiàn)PA,PB,切點(diǎn)A,B,滿(mǎn)足|AB|是

IFA|與|FB|的等差中項(xiàng)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3

6、已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)A。,］）,兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1,0）,（1,0）。

（1）求橢圓C的方程；

（2）E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如.果直線(xiàn)AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線(xiàn)EF的斜率為

定值，.并求出這個(gè)定值。

7、已知雙曲線(xiàn)E：土-匯=1的左焦點(diǎn)為尸，左準(zhǔn)線(xiàn)/與x軸的交點(diǎn)是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

2412

O,設(shè)G是圓C上任意一點(diǎn).

（I）求圓C的方程；

（H）若直線(xiàn)FG與直線(xiàn)/交于點(diǎn)T,且G為線(xiàn)段FT的中點(diǎn)，求直線(xiàn)FG被圓C所截得的弦長(zhǎng)；

在平面上是否存在定點(diǎn)P，使得對(duì)圓。上任意的點(diǎn)G有翳;？

(III)若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8、橢圓C：=1（。＞。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡、工，右頂點(diǎn)為A,尸為橢圓C上任意一點(diǎn).已

知PF}?PF2的最大值為3,最小值為2.

（1）求橢圓。的方程；

（2）若直線(xiàn)/：y=+m與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)、（M、N不是左右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的

圓過(guò)點(diǎn)A.求證：直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

9、設(shè)拋物線(xiàn)M方程為/=2px(p>0),其焦點(diǎn)為F,P(a,b)(aA0)為直線(xiàn)y=x與拋物線(xiàn)M的

一個(gè)交點(diǎn)，IPFI=5

(1)求拋物線(xiàn)的方程;

(2)過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn)，試問(wèn)在拋物線(xiàn)M的準(zhǔn)線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)Q,使得AQAB為等

邊三角形，,若存在求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

10、已知拋物線(xiàn)。的頂點(diǎn)是橢圓工+工=1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.

43

(1)求拋物線(xiàn)。的方程；

(2)已知?jiǎng)又本€(xiàn)I過(guò)點(diǎn)P(4,0),交拋物線(xiàn)D于A、B兩點(diǎn).

(i)若直線(xiàn)/的斜率為1,求AB的長(zhǎng)；

(外是否存在垂直于x軸的直線(xiàn)機(jī)被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出團(tuán)的方

程；如果不存在，說(shuō)明理由.

11、如圖所示，F(xiàn)是拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(4,2)為拋物線(xiàn)內(nèi)…定點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，

|PA|+|PF|的最小值為8.

(1)求拋物線(xiàn)方程；

(2)若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在定點(diǎn)M,使過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于8,C兩點(diǎn)，且以BC為直徑的

圓恰過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:22的離心率2，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)QO2)

—7+F=1(6F>Z?>0)e

ab3

的距離的最大值為3.

(1)求橢圓C的方程

(2)在橢圓C上，是否存在點(diǎn)使得直線(xiàn)/:〃吠+〃丫=1與圓。:/+)/=1相交于不同的兩點(diǎn)4、8,

且A0A5的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的AO43的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13、已知橢圓G：，+y2=i,橢圓G以G的長(zhǎng)軸為短軸，且與G有相同的離心率?

(I)求橢圓G的方程;

(II)設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A,B分別在橢圓G和G上，OB=20A,求直線(xiàn)A3的方程.

14、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)G：2x2-y2=l.

（1）過(guò)G的左頂點(diǎn)引G的一條漸進(jìn)線(xiàn)的平行線(xiàn)，求該直線(xiàn)與另一條漸進(jìn)線(xiàn)及x軸圍成的三角形的面積；

（2）設(shè)斜率為1的直線(xiàn)/交G于2、。兩點(diǎn)，若/與圓》2+丁=1相切，求證：。尸，。。；

（3）設(shè)橢圓。2：4/+丁=1,若出、N分別是G、G上的動(dòng)點(diǎn)，且。加上ON，求證：。到直線(xiàn)MN

的距離是定值。

15、如圖，橢圓■+方=1（。>%>0）的左焦點(diǎn)為居，右焦點(diǎn)為工，離心率e=；。過(guò)6的直線(xiàn)交橢圓

于A,3兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8。

（I）求橢圓E的方程。

（II）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)/:y=H+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)尸，且與直線(xiàn)x=4相較于點(diǎn)Q。試探究：在坐

標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以P。為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明

理由。

16、已知點(diǎn)R(-3,0),點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)。在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線(xiàn)PQ上，且滿(mǎn)足

2~PM+3MQ=0,RPPM=0.

(I)當(dāng)點(diǎn)P在)?軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(II)設(shè)A(X|,y)、8(/,為)為軌跡。上兩點(diǎn)，且玉＞1,”＞0,N(l,0),求實(shí)數(shù)4,使而=%而，且

通=3.

22&

17、已知橢圓二+==13＞匕＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(士,后)，它的焦距為2,它的左、右頂點(diǎn)分別為A，A,,P\

a~b2

是該橢圓上的?個(gè)動(dòng)點(diǎn)(非頂點(diǎn))，點(diǎn)22是點(diǎn)片關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，直線(xiàn)4片與&尸2相交于點(diǎn)E.

(I)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(II)求點(diǎn)E的軌跡方程.

18、已知圓C的方程為/+(y—2/=1,定直線(xiàn)/的方程為y=—l.動(dòng)圓C與圓G外切，且與直線(xiàn)/相切.

.(I)求動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程；

(II)斜率為k的直線(xiàn)1與軌跡M相切于第一象限的點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)1的垂線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,6),

并交軌跡M于異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q,記S為AP0Q(0為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積，求S的值.

22/y

19、已知橢圓E：與+4=1(a>6>o)的離心率片叱，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(幾，1),。為坐標(biāo)原點(diǎn)。

a2b-2

(I)求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(n)圓〃是以橢圓E的長(zhǎng)軸為直徑的圓，"是直線(xiàn)

下-4在X軸上方的一點(diǎn)，過(guò)材作圓。的兩條切線(xiàn)，

切點(diǎn)分別為只Q,當(dāng)/州份60°時(shí)，求直線(xiàn)掰的方程.

20、已知橢圓C：J+當(dāng)=1的短軸長(zhǎng)等于焦距，橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)E的最短距離為近-1.

ab

(I)求橢圓C的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)E(2,0)且斜率為女(女>0)的直線(xiàn)/與C交于M、N兩點(diǎn)，尸是點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),

證明：N、F、P三點(diǎn)共線(xiàn).

答案

v2

1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中。橢圓。：］+產(chǎn)=1的右焦點(diǎn)為/，右準(zhǔn)線(xiàn)為/。

(1)求到點(diǎn)F和直線(xiàn)/的距離相等的點(diǎn)G的軌跡方程。

(2)過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)交橢圓C于點(diǎn)A,3,又直線(xiàn)0A交/于點(diǎn)T,若的=2礪，求線(xiàn)段A8的長(zhǎng)；

(3)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,%),%*0,直線(xiàn)OM交直線(xiàn)當(dāng)+%y=l于點(diǎn)N,且和橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為

,.—2，.——

點(diǎn)P,是否存在實(shí)數(shù)4,使得OP=/lOM-ON?,若存在，求出實(shí)數(shù)4；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：(1)由橢圓方程為；■+:/=1

可得a?=2,b2=\,c=1.

F(l,0),l:x=2.

設(shè)G(x,y),則由題意可知J(x—l)2+y2Tx—21,

化簡(jiǎn)得點(diǎn)G的軌跡方程為/=-2x+3.......4分

(2)由題意可知冗｛二%尸=c=l

故將無(wú)A=1代入耳+y=1,

,,V2L

可得I為1=5，從而AB=母.8分

(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)力滿(mǎn)足題意.

由已知得。M：y=&x①

%

等+%y=i②

2

X1

橢圓G萬(wàn)+》2』③

2玉),2yo

由①②解得X”

222

x0+2y0'V+2y0

2x；,

由①③解得xj=12分

年+2%2'年+2%2-

2x；2y22(vy2)

OP-x2+yJ=0+0

Pxo+2y()2k+2yJ年+2姬

,2年一2)，1_2(1+%?

OMON=xx+yy

oNoNx222

<)+2%改；+2%2x0+2%2

故可得2=1滿(mǎn)足題意.16分

22

rv

2、如圖,已知橢圓的長(zhǎng)軸為.，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)/與％軸垂直.直線(xiàn)

(2-k)x-(\+2k)y+(1+2k)=OUGR)所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率e=1.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P是橢圓上異于4、B的任意一點(diǎn)，P”_Lx軸，H為垂足，延長(zhǎng)”尸到點(diǎn)。使得“尸=尸0,連結(jié)A。

延長(zhǎng)交直線(xiàn)/于點(diǎn)M,N為MB的中點(diǎn).試判斷直線(xiàn)QN與以4B為直徑的圓。的位置關(guān)系.

（1）將（2-左）》一（1+2左?+（1+2左）=0整理得（一8—23；+2）左+28一丁+1=0

\~x—2y+2=0

解方程組'得直線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)（0,1）,所以8=1.

\2x-y+}=0

由離心率6=且得a=2.

2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+/=1.

（2）設(shè)P（x。,%）,則當(dāng)+城=1.???HP=PQ,.?.20=&+（2城）=2

點(diǎn)在以。為圓心，2為半徑的的圓上.即。點(diǎn)在以AB為直徑的圓。上.……6分

又A（—2,0）,...直線(xiàn)4。的方程為y=0"（x+2）.

%+2

令x=2,得又B（2,0）,N為M8的中點(diǎn)，；.N（2.&-1.……8分

IXo+2）Vx0+2）

.?.麗=(%,2%),而=

'。。欣=與（/-2）+2=第=%（%-2）+署片與優(yōu)-2）+[+；）

=%（%-2）+%（2-%）=0..?.而,而.直線(xiàn)QV與圓。相切.

3、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為三，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4,l）,直線(xiàn)/:y=x+加交橢圓于

不同的兩點(diǎn)A,B.

（I）求橢圓的方程；

（II）求加的取值范圍；

（III）若直線(xiàn)I不過(guò)點(diǎn)M,試問(wèn)kMA+kMB是否為定值？并說(shuō)明理由。

（I）依題意設(shè)橢圓方程為：

a2a2

2222

東+樂(lè)=1,把點(diǎn)（4,1）代入，得/=5.1橢圓方程為|^+q>=l.

(II)把y=x+m代入橢圓方程得：5x?+8/nx+4"/-20=0,由△>€),可得—5<〃z<5.

（HI）設(shè)4（不,）,8（%,%），A,B與M不重合,%+々=-■^■，》也=4m$

_%一1*%-1_(%一1)，(》2-4)+(%-1>(國(guó)-4)

-I——

玉一4X2-4(X1-4)-(X2-4)

+“2—1),(4-4)+(x,+加一1)?(百一4)2XJX9+—5)(X]+x,)—8(〃？-1)

=0,

(X]-4>(%-4)

(X,-4).(X2-4)

**,后MA+%MB為定值0?

4、已知橢圓的焦點(diǎn)6（1,0）,鳥(niǎo)（一1,0）,過(guò)作垂直于y軸的直線(xiàn)被橢圓所截線(xiàn)段長(zhǎng)為灰,過(guò)片作直

線(xiàn)/與橢圓交于48兩點(diǎn).

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）是否存在實(shí)數(shù)，使西+麗=，西，若存在，求f的值和直線(xiàn)/的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

（1）設(shè)橢圓方程為與+==1,由題意點(diǎn)（如一］在橢圓上，a2=h2+l

a2b2（22）

61Y2

所以正而加=1,解得了+/=1

（II）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，易求A（1理@］,所以西=（1,叵。），麗=（1,一亞里），麗=（1,一工）

I2JI2J222

由西+方=，所得，=2,直線(xiàn)/的方程為x=l.

當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，所以而=（占，必_；）,而所=（1廠3）

由西+而=/所得

%)+x=r

2即|

11t

y-------Fy---=--->1+為=1

12-222

因?yàn)?+為=人（%+々一2）,所以上=一;此時(shí)，直線(xiàn)/的方程為y=—g（x—l）

5、設(shè)拋物線(xiàn)Cl：x2=4y的焦點(diǎn)為F,曲線(xiàn)C2與C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

（I）求曲線(xiàn)C2的方程；

（IJ）曲線(xiàn)C2上是否存在一點(diǎn)P（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作C1的兩條切線(xiàn)PA,PB,切點(diǎn)A,B,滿(mǎn)足|AB|是

IFA|與|FB|的等差中項(xiàng)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（I）解；因?yàn)榍€(xiàn)q與G關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又G的方程V=4y,所以G方程為K=-4y.

（H）解：設(shè)「（%,一?），A（X］，M）,B（x2,y2）,xtx2.y=；/的導(dǎo)數(shù)為y'=gx,

則切線(xiàn)PA的方程y—必=gx|（x_xj,又得,=；七了一%，

—

因點(diǎn)P在切線(xiàn)P4上，故—=5%］豌）—M.同片里，—x0~=——y,.

2

所以直線(xiàn)—：x02=g-y經(jīng)過(guò)A,8兩點(diǎn)，即直線(xiàn)A8方程為一合=J入胚一y,即y=；+；x0,

12

代入x=4y得x-2XQX—x；=0,則玉+x?=2%0,x,x2=r；,

所以IAB1=Jl?5（芯+馬）2—4占々=J（8+2x；）.x；,由拋物線(xiàn)定義得IE41=弘+1,1月S1=為+1?

110

所以IFAI+I/81=（），］+%）+2=5%（再+々）+2*+2，由題設(shè)知，

3

\FA\+\FB\=2\AB\,BP（|x^+2）2=4x^（8+2x^）,

相殂232百-52113-8百

解得/=---萬(wàn)一，從而方=---^>2=一萬(wàn)—?

左右占?電斯-及DS加**2/3（8」—13）13-873.?.2、3（8鳳13）13-8月、

綜上，存在點(diǎn)P?兩足題思，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（=---------------,-----------）或（——------------,---------）.

23232323

3

6、已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)A。,］）,兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1,0）,（1,0）?

（1）求橢圓C的方程；

（2）E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如.果直線(xiàn)AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線(xiàn)EF的斜率為

定值，.并求出這個(gè)定值。

1QQ

解：（I）由題意，c=l,可設(shè)橢圓方程為‘■丁+心v=l,解得/=3,b2=--（舍去）

l+h24b24

所以橢圓方程為二+二=1。..........4分

43

3x1x1

（II）設(shè)直線(xiàn)AE方程為：y=Mx—1）+二，代入一+—=1得

243

（3+4二）*2+4乂3—2A）x+4（3—幻2-12=0

設(shè)七就小丫-）,夕3-,"）,因?yàn)辄c(diǎn)A（l,1）在橢圓上，所以

3,

4（萬(wàn)一女）“一123

x,.=----------------.y=kx+--k

F3+叱加FFE2

又直線(xiàn)AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以一K代K,可得

4（|+62—123

X"3+4-+”

所以直線(xiàn)EF的斜率心="一九=-"⑸f〃=￡

xF-xExF-xE2

即直線(xiàn)EF的斜率為定值，其值為工。

2

T2v2

7、已知雙曲線(xiàn)E：±-L=l的左焦點(diǎn)為尸，左準(zhǔn)線(xiàn)/與x軸的交點(diǎn)是圓C的圓心，圓。恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

2412

0,設(shè)G是圓C上任意一點(diǎn).

(I)求圓C的方程；

(Il)若直線(xiàn)bG與直線(xiàn)/交于點(diǎn)T,且G為線(xiàn)段尸T的中點(diǎn)，求直線(xiàn)bG被圓C所截得的弦長(zhǎng);

(III)在平面上是否存在定點(diǎn)P,使得對(duì)圓。上任意的點(diǎn)G有/J=,？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存

\GP\2

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(I)由雙曲線(xiàn)區(qū)三一二=1,得/：x=-4,C(-4,0),產(chǎn)(—6,0).……2分

2412

又圓，過(guò)原點(diǎn)，所以圓，的方程為(x+4)2+y2=i6.................4分

(II)由題意，設(shè)G(—5,y。)，代入(X+4)2+V=16,得加=±岳，.......5分

所以EG的斜率為k=±JF,bG的方程為》=士岳(x+6)............6分

所以C(—4,0)到/G的距離為4=巫，.............................7分

2

直線(xiàn)FG被圓C截得的弦長(zhǎng)為2』6-(號(hào)＞=7......................9分

(ID)設(shè)/(S,t),G(X0,y。)，則由"1j_,得J(x()+6)2+y：1

222

\GP\\l(x0-s)+(y0-t)2

整理得3(x02+yo2)+(48+2s)xo+2tyo+144-s2-t2=0.①............11分

22

又G(x0,yo)在圓C:(x+4)2+y』6上，所以xj)+yo+8xo=O②

②代入①，得(2s+24)xo+2tyo+144-s2-t2=0..............................13分

2s+24=0

又由G(xo,yo)為圓C上一任意一點(diǎn)可知，,2/=o....................14分

144-5-2=0

解得：s=-12,t=0.....................................................15分

所以在平面上存在一定點(diǎn)P,其坐標(biāo)為(-12,0).

Xy2

8、橢圓C：—+=1(。＞〃＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為片、三，右頂點(diǎn)為A，P為橢圓C上任意一點(diǎn).已

ab1

知所?成的最大值為3,最小值為2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線(xiàn)/：y=履+加與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)(M、N不是左右頂點(diǎn))，且以為直徑的

圓過(guò)點(diǎn)A.求證：直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

解析:(1)?.?產(chǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，.?.1尸耳1+1/＞每1=24且/一(:3尸耳144+。,

y=西?玩T西I\PF21cosZF,PF2

222

=-[\PF]I+1PF21-4c]

222

=|[lPF]I+(1267-1^I)-4c]

=(lPF,\-a)2+a2-lc2..............2分

當(dāng)IP耳l=a時(shí)，y有最小值a2-2c\當(dāng)1尸工l=a-c或a+c時(shí)，，y有最大值小一c?.

a2—c2—3[a2—4,,,,

\,b-=?2-2=3.

[a2-2c2=2[c2=1c

22

橢圓方程為二+乙=1。................4分

43

(2)設(shè)M(為，M),N(x2,y2),將y=H+m代入橢圓方程得

(4k2+3)/+Skmx+4m2-12=0.

2

—8km4m-12八

x,+x,=—,x,x,=---...............6分

1-4/+3124公+3

,/=fcr,+m,y2=kx2+m,y2=k~xxx2+(km-2)(^+x2)+m~,

???MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A.'.AM?AN=Q,/.Im2+16km+4k2=0,

2

:.m=——上或加=-2%都滿(mǎn)足△>0,..............9分

7

若加=-2左直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)(2,0)不合題意舍去，

222

若m=一,左直線(xiàn)/：y=k(x-])恒過(guò)定點(diǎn)(于0)。

9、設(shè)拋物線(xiàn)M方程為y2=2px(p>0),其焦點(diǎn)為F,P(a,b)(aH0)為直線(xiàn)y=x與拋物線(xiàn)M的

一個(gè)交點(diǎn)，IPF1=5

(1)求拋物線(xiàn)的方程；

(2)過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn)，試問(wèn)在拋物線(xiàn)M的準(zhǔn)我上是否存在?點(diǎn)Q,使得AQAB為等

邊三角形，,若存在求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：⑴

y=xfx=2〃_Jx=0

<,=>\'或〈(舍去)

y-2px[y=2p[x=0

P(2p,2p)vlPF1=5/.2p+-^=5.-./?=2.?.拋物線(xiàn)的方程為：/=4x—5分

(2)若直線(xiàn)/的斜率不存在，則Q只可能為(-1,0),此時(shí)AQAB不是等邊三角形，舍去，一7分

若直線(xiàn)/的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=A(x-l)(攵。0),設(shè)直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x”M)、B

(x2,y2)

y-k(x-l),,,,?4

=>k"x'-(2k~+4)x+k~=0,x.+x,=2+—r-

y2=4xk2

7o

設(shè)存在。(-l,m),AB的中點(diǎn)為"(1+%■1),設(shè)Q到直線(xiàn)/的距離為d由題意可知:

2

----m.

1=①

2k

—+2K

k2—10分

d^—\AB\=>與*^等⑶+總……②

2

2

由①可存：機(jī)=彳+/^八、、^\/n24、,,■>316(A~+1)~

4/4------③將③代入②得：(2女+-7+—)2=(上+1)--------4

kkk4k

化簡(jiǎn)得：")4=12空

14分，/.m=±8A/2

422

/.e(-l,±8V2)為所求點(diǎn)----15分

10、已知拋物線(xiàn)。的頂點(diǎn)是橢圓二+匚=1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.

43

(1)求拋物線(xiàn)。的方程；

(2)已知?jiǎng)又本€(xiàn)I過(guò)點(diǎn)尸(4,0),交拋物線(xiàn)。于A、8兩點(diǎn).

(i)若直線(xiàn)/的斜率為1,求A3的長(zhǎng)；

(")是否存在垂直于x軸的直線(xiàn)機(jī)被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出用的方

程；如果不存在，說(shuō)明理由.

解：(1)由題意，可設(shè)拋物線(xiàn)方程為儼=2px(p>0)...............1分

由a?—/=4—3=1,得c=1...............2分

.?.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(1,0),二2二？.........3分

拋物線(xiàn)D的方程為y2=4x...............4分

(2)設(shè)4(修，%)，8(%2，為)-........5分

(。直線(xiàn)/的方程為：y=x—4,..............6分

y=x-4,

聯(lián)立《)，整理得：/-12X+16=0..............7分

廠=4x

/.AB=++/)2-4X|-2=4A/10.................9分

(ii)設(shè)存在直線(xiàn)m:x=。滿(mǎn)足題意,則圓心M|乜,過(guò)M作直線(xiàn)x=。的垂線(xiàn),垂足為E，設(shè)直線(xiàn)

I22)

團(tuán)與圓M的一個(gè)交點(diǎn)為G.可得：........10分

|EG|2=\MG\2-\ME\2,........11分

即|￡G|2=\MAf-|ME|2=(*'一?+X---a

J2(X|-4『-(X|+4)2()2

--yi+-----------------+a[x]+4)-a

=X]—4x(+a(x]+4)—a2=(a-3)X[+4a-a2........13分

當(dāng)。=3時(shí)，|EG「=3,此時(shí)直線(xiàn)用被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值2g.

........14分

因此存在直線(xiàn)加：x=3滿(mǎn)足題意........15分

11>如圖所示，F(xiàn)是拋物線(xiàn)y2=2px(p〉0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)4(4,2)為拋物線(xiàn)內(nèi)?定點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，

|PA|+|PE|的最小值為8.

(1)求拋物線(xiàn)方程；

(2)若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在定點(diǎn)M,使過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于8,C兩點(diǎn)，且以為直徑的

圓恰過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為/，過(guò)尸作于3,過(guò)A作40_1,于。,

(1)由拋物線(xiàn)定義知所=陽(yáng)

=>|尸?+|PF|=|尸4|+|PB|>Uclz+cz4iPn-l--r-rZj>pn.\出口EB

1111111111(折線(xiàn)段大于垂線(xiàn)段)，當(dāng)且僅

C

當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線(xiàn)取等號(hào).由題意知|AC|=8,即

4+"=8np-82_IA

2n拋物線(xiàn)的方程為：)’二母“5分

(2)假設(shè)存在點(diǎn)“，設(shè)過(guò)點(diǎn)”的直線(xiàn)方程為丁二日+沙，

顯然攵WO,b。。,設(shè)8(的，必)，C(x2,y2))由以8C為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo)

原點(diǎn)有=°=>》環(huán)2=°①6分

把y=kx+b代人=16x得女，2+2(bk-S)x+b2=0

L+r_2(尿-8)

&+x2-----——

K

<

b2

X|X2=TT

由韋達(dá)定理I%②7分

2

乂yiJ2-(^i+b)(kx2+b)=kxlx2+bk(xl+x2)+b~③

16b

月力-~r~

②代人③得k④

16b/八,1/,

----F—=0=>Z?=-\6k

②④代人①得kk

二動(dòng)直線(xiàn)方程為y=履一164=-16)必過(guò)定點(diǎn)(16,0)I。分

當(dāng)ABC不存在時(shí)，直線(xiàn)X=16交拋物線(xiàn)于B(l6,-l6),C(l6,l6),仍然有08OC=0,

綜上：存在點(diǎn)M(16,0)滿(mǎn)足條件12分

注：若設(shè)直線(xiàn)BC的方程為x=my+b可避免討論.

12、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：72的離心率/,且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,2)

X-,K

/+官=1(。>6>0)

的距離的最大值為3.

(3)求橢圓C的方程

(4)在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M使得直線(xiàn)/:?“x+〃y=1與圓。:/+;/=1相交于不同的兩點(diǎn)A、8,

且ACMB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的A0A8的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理山.

(1)由6=。得1=3/,橢圓方程為

橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離d=商+㈠/=j3"3/+(y_2)2

=J-2y2—4y+4+3.2(~b<y<b)

當(dāng)①一bW—l即Z?21，4nax=?+3七=3得匕=1

當(dāng)②/>一1即1〈［dm”=：62+劭+4=3得匕=1(舍)b=l

2

橢圓方程為土+)，=1

3

(2)SMOB=^\OA\-|(?B|sinZAOB=|sinNAOB

當(dāng)408=90。，取最大值1，點(diǎn)。到直線(xiàn)/距離>=/1=立

2府772

m2+n2=2X'/^—+n2=1解得：機(jī)2=2,〃：=！

322

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為

A4O8的面積為工

2

13、已知橢圓G：1+>2=1,橢圓。2以G的長(zhǎng)軸為短軸，且與G有相同的離心率-

（I）求橢圓G的方程;

（H）設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A,B分別在橢圓G和G上，。8=2。4,求直線(xiàn)AB的方程.

解（I）由已知可設(shè)橢圓Q的方程為J=1U>2）,

a4

其離心率為故返三3=則。=4,

2a2

故橢圓G的方程為冬+。=L

104

（n）解法一A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為（孫，）A）,GTB,”）,

由西=2醇及（I）知，o.A,B三點(diǎn)共線(xiàn)且點(diǎn)A,8不在y軸上，

因此可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=丘.

將y=丘代入（=1中，得（1+4萬(wàn)）8=4,所以皿2=T-rni，

q1十

將，=任代入W+4=1中，得（4+/）"=］6,所以=7^.

1b44+F

又由國(guó)02審,得工『=41/,即74rn=TZ7i??

4十左1十伏

解得A=士］，故直線(xiàn)AB的方程為）=工或y=一工

解法二A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為GA,yA）,（xB,y?）,

由國(guó)=26及（I）知，0,A,B三點(diǎn)共線(xiàn)且點(diǎn)A,B不在》軸上，

因此可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為3=kx.

將y=丘代入§=】中，得（1+4"）1=4,所以工/=TT&II，

41+4A

由8=2前,得工/=］；:叢,城=］黑/.

2

將NJ?yo代人改+Y=1中，得=】，即4+/=1+4/,

1041+44

解得A=士1,故直線(xiàn)AB的方程為y=z或）=一工

14、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)G：2x2-y2=1.

（1）過(guò)G的左頂點(diǎn)引G的一條漸進(jìn)線(xiàn)的平行線(xiàn)，求該直線(xiàn)與另一條漸進(jìn)線(xiàn)及x軸圍成的三角形的面積；

（2）設(shè)斜率為1的直線(xiàn)/交G于P、。兩點(diǎn)，若/與圓，+y2=1相切，求證：。?，。。；

（3）設(shè)橢圓。2：4/+y2=i,若M、N分別是G、。2上的動(dòng)點(diǎn)，且。MJLON，求證：0到直線(xiàn)MN

的距離是定值。

【分析】（1）求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，求出直線(xiàn)與另一條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)，然后求出三角形的面積.

（2）設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為丫=1^+卜通過(guò)直線(xiàn)PQ與已知圓相切，得到b2=2,通過(guò)求解K?詬=0.

證明PO_LOQ.

（3）當(dāng)直線(xiàn)ON垂直x軸時(shí)，直接求出0到直線(xiàn)MN的距離為當(dāng)直線(xiàn)ON不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)ON的方

3

F1（y=^x

程為：y=kx,（顯然|k|>￥）,推出直線(xiàn)0M的方程為y=-9,利用《0.，求出

22

2比[4x+y=l

|CW|2=LUg,|。M2=上耳_,設(shè)0到直線(xiàn)MN的距離為d,通過(guò)（|OM|2+|ON|2

4+k22V-1

）d2=|OM|2|ON|2,求出d=g.推出0到直線(xiàn)MN的距離是定值.

【解答】X22歷

解：（1）雙曲線(xiàn)C.丁士=1左頂點(diǎn)A（-半，0）,

212

漸近線(xiàn)方程為：y=土必.

過(guò)A與漸近線(xiàn)丫=必平行的直線(xiàn)方程為y=p（x+孝），即丫=用工+1,

所以（,y—一L產(chǎn)，解得[4.

I尸必+i尸L

2

所以所求三角形的面積為S=；QA||y|=g.

2O

（2）設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=kx+b,

因直線(xiàn)PQ與已知圓相切,1,

y=kx+b

即b2=2,由<

2x2-y2=i

得J-Zbx-b2-1=0,

肛+燈=2>

設(shè)P(xi,y])，Q(又2，y2)，貝人【

町町=7一乂

Xyiy2=(xi+b)(x2+b).

所以O(shè)P*OQ=x1X2+