河北省泊頭市2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(X)滿足(1T)-_/(X)+X/(X)>0,若y=/(x+2)-/是奇函數(shù)，則不等式

叱/*)-26川<0的解集是()

A.(-oo,2)B.(-oo,l)C.(2,+oo)D.(1,+℃)

2,已知函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=e'+x,則。=/(_2可3，力=/(log29),c=/(逐L)的

大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

3.已知直線/:x+m2y=o與直線〃：x+y+機(jī)=0則，，〃/〃，，是，，加=i”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知a,"是兩平面，/,in,”是三條不同的直線，則不正確命題是()

A.若m_La,nila,則/?_L〃B.若機(jī)〃a,nila,則，”〃〃

C.若LLa,U/p,貝!|a_L//D.若a/〃，且〃/a,則〃小

5.已知{a“}為等比數(shù)列，%+。8=-3,a4ag=-18,貝!|4+4|=()

2121

A.9B.-9C.—D.——

24

6.拋物線V=2x的焦點(diǎn)為尸，則經(jīng)過點(diǎn)尸與點(diǎn)M(2,2)且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.0個(gè)D.無數(shù)個(gè)

7.集合A={-2,-1,1}乃={4,6,8},"={幻"=。+人力€氏》€(wěn)5},則集合加的真子集的個(gè)數(shù)是

A.1個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.7個(gè)

8.19+的2的展開式中d的系數(shù)是一10,則實(shí)數(shù)用=()

A.2B.1C.-1D.-2

—,x>0|

9.已知函數(shù)若函數(shù)g(x)=.f(x)-女(x+R在R上零點(diǎn)最多，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是()

-X2-2X,X<Q2

A.(0,y-)B.(-y-,0)C.(-2『，。)D.(0,2?)

3—x

10.已知集合4={162|------>0),8={yGN[y=x-LxGA),則AU8=()

x+2

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{x-l<r<2}

11.已知等差數(shù)列{an}的公差為2前〃項(xiàng)和為S“，若的，%，4為某三角形的三邊長,且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為120°,

則S”的最大值為（）

A.5B.11C.20D.25

=：，貝!Isine的值等于（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知復(fù)數(shù)z=（a+2i）（l+i）,其中i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)二為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值是一

a—\

14.若『=2,，?為虛數(shù)單位，則正實(shí)數(shù)。的值為____.

1+1

15.在（x+a）6的展開式中的/系數(shù)為160,則。=

16.已知實(shí)數(shù)滿足0+萬=嚴(yán)|9㈠為虛數(shù)單位），則。+力的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

Yv

17.（12分）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知橢圓.+方=1（。＞方＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,焦距為2,直

線/與橢圓交于C,。兩點(diǎn)（均異于橢圓的左、右頂點(diǎn)）.當(dāng)直線/過橢圓的右焦點(diǎn)尸且垂直于x軸時(shí)，四邊形ACBD的

面積為6.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線AC,8。的斜率分別為匕,也.

①若&=3勺，求證：直線/過定點(diǎn)；

②若直線,過橢圓的右焦點(diǎn)試判斷+是否為定值'并說明理由.

18.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知G：x2+y2-2y=Q,

C2：+y-6>：kx—y=.

(1)求G與的極坐標(biāo)方程

(2)若G與G交于點(diǎn)A，G與a交于點(diǎn)|。4|=川0卻，求之的最大值.

19.(12分)在AABC中，設(shè)。、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，記A4BC的面積為S,且25=通?蔗.

(1)求角A的大??；

4

(2)若c=7,cosB=—,求。的值.

20.(12分)已知。，〃均為正數(shù)，且燦=1.證明：

(1)y/a2+b2>—(-+

2a%

(2)Z+

ab

21.(12分)已知點(diǎn)P是拋物線。：丁=7*2-3的頂點(diǎn)，A,3是。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且麗.麗=-4.

(1)判斷點(diǎn)是否在直線A3上？說明理由；

(2)設(shè)點(diǎn)”是△Q鉆的外接圓的圓心，點(diǎn)M到x軸的距離為d,點(diǎn)N(l,0),求|MN|一。的最大值.

22.(10分)如圖，已知四棱錐P—ABC。的底面是等腰梯形，AD//BC,AD=2,3C=4,NABC=60。，^PAD

為等邊三角形，且點(diǎn)尸在底面ABC。上的射影為AZ)的中點(diǎn)G,點(diǎn)E在線段8C上，且CE:￡B=1:3.

(1)求證：￡>E_L平面PAD.

(2)求二面角A-PC—。的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)==/@,根據(jù)已知條件判斷出g(x)的單調(diào)性.根據(jù)y=/(x+2)-/是奇函數(shù)，求得“2)的值，

由此化簡不等式x-/?-2產(chǎn)”<0求得不等式的解集.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=r；g),依題意可知g'(x)=0止)>o,所以g(x)在R上遞增.由于

y=/(x+2)—e3是奇函數(shù)，所以當(dāng)x=0時(shí)，y^f(2)-e3^Q,所以〃2)=e3,所以g⑵=岑_=2e.

e

由x/x)-2e，“<0得g(x)=2?D<2e=g⑵，所以x<2,故不等式的解集為(，》,2).

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔

題.

2.C

【解析】

333

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得〃=/(_28=/(25)，再比較6,2?,log,9的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng).

【詳解】

333

依題意得4=/(_23)=/(25)，：逐<次=2夜=25<3=log28<log,9?

當(dāng)工?0時(shí)，/(x)=e'+x,因?yàn)閑>l,所以y=e，在R上單調(diào)遞增，又>=x在R上單調(diào)遞增，所以f(x)在［0,+8)

上單調(diào)遞增，

3

/(log29)>F⑵)>以后),即8>a>c，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、幕、指、對(duì)的大小比較，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

3.B

【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系.

【詳解】

若〃/〃，則lxl=〃/xl,故加=1或〃2=-1,

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，直線/：x+y=O,直線〃：x+y+l=O,此時(shí)兩條直線平行；

當(dāng)m=一1時(shí)，直線/：x+y=O,直線〃：x+y-l=O,此時(shí)兩條直線平行.

所以當(dāng)〃/〃時(shí)，推不出〃2=1,故“”是“〃2=1”的不充分條件，

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，可以推出〃/〃，故“〃/九”是“6=1”的必要條件，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷，前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來考慮，后者依據(jù)兩個(gè)條件之間的推

出關(guān)系，本題屬于中檔題.

4.B

【解析】

根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識(shí)，判斷A選項(xiàng)的正確性.由線面平行有關(guān)知識(shí)判斷B選項(xiàng)的正確性.根據(jù)面面

垂直的判定定理，判斷C選項(xiàng)的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項(xiàng)的正確性.

【詳解】

A.若〃//。，則在a中存在一條直線/,使得///〃，m±a,lua，則m_L/,又///〃，那么m_L〃，故正確；

B.若mlla,n!la,則〃〃或相交或異面，故不正確；

C.若〃/￡,則存在。＜=4，使///a,又:.a±a,則。，尸，故正確.

D.若a//〃，且〃/a,則/u尸或〃/4,又由/二尸，.-.////?,故正確.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間線線、線面和面面有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出火，。8,便可得出等比數(shù)列的公比，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出生+?！?/p>

【詳解】

[a.=-6[a=3

V4+9=5+8,二=。5%=T8,又名+6=-3,可解得〈°或〈?s

=3[4=—6

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，則

33

當(dāng)[%I時(shí)，7=—=-2,.-.a2+a?=-^-+a8^=^-+(-6)x(-2)=^-.

ag=-6a5q-22

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

圓心在尸例的中垂線上，經(jīng)過點(diǎn)口，M且與/相切的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)戶的距離相等，圓心在拋物線

上，直線與拋物線交于2個(gè)點(diǎn)，得到2個(gè)圓.

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)M(2,2)在拋物線)，2=2x上，

又焦點(diǎn)尸(；，0),

由拋物線的定義知，過點(diǎn)尸、加且與/相切的圓的圓心即為線段的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，

這樣的交點(diǎn)共有2個(gè)，

故過點(diǎn)尸、M且與/相切的圓的不同情況種數(shù)是2種.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置，看出圓心必須在拋物線上，且在垂直平分線上.

7.B

【解析】

由題意，結(jié)合集合A8,求得集合“，得到集合“中元素的個(gè)數(shù)，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，集合A={-2,-l,l},8={4,6,8},xwA,

則A/={x|x=a+Z7TxeA力e及xe3}={4,6},

所以集合M的真子集的個(gè)數(shù)為2?-1=3個(gè)，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解，其中作出集合的運(yùn)算，得到集合再由真子集個(gè)數(shù)

的公式2"-1作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

8.C

【解析】

利用通項(xiàng)公式找到Y(jié)的系數(shù)，令其等于-1（）即可.

【詳解】

I5555

二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為&?=6（/5）5-，（加/丫=令5=5，得r=3，

貝?。?；=，或/=一10/，所以加3《=—10,解得加=—1.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.

9.D

【解析】

將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/U）與直線y=-x+g）的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，畫出函數(shù)y=/（%）的圖象，易知

直線y=過定點(diǎn)（-g,0）,故與/（x）在x<0時(shí)的圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，故只需與/（刈在x〉0時(shí)的圖象有兩個(gè)

交點(diǎn)，再與切線問題相結(jié)合，即可求解.

【詳解】

由圖知y=/（x）與y=A：（x+；）有4個(gè)公共點(diǎn)即可，

即Zw（O,A切），當(dāng)設(shè)切點(diǎn)（事,先）,

1

%=5

則.

以/+萬)=興k一1

2五

..入(0,奈).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，曲線的切線問題，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于較難的壓軸題.

10.A

【解析】

解出集合4和8即可求得兩個(gè)集合的并集.

【詳解】

3—x

,集合A={xeZ|---->0}={xGZ|-2<x<3}={-1,0,1,2,3},

x+2

B={yeN\y=x-1,x€A}={-2,-1,0,1,2),

.*.AUB={-2,-1,0,1,2,3}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查求集合的并集，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解不等式，根據(jù)描述法表示的集合，準(zhǔn)確寫出集合中的元素.

11.D

【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減，再由余弦定理結(jié)合通項(xiàng)可求得首項(xiàng)，即可求出前n項(xiàng)和，從而得到最值.

【詳解】

等差數(shù)列{4}的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減，則外,%，%中的最大，為最小，

又生，的，包為三角形的三邊長，且最大內(nèi)角為120。，

由余弦定理得謚=a；+裙+a3a4,設(shè)首項(xiàng)為,

即(4—2)2=出—4)2+(a「6)2+(a「4)N-6)=0得(4—4)(%-9)=0,

所以4=4或4=9,又%=a]-6>0,即a1>6,q=4舍去，故q=9,d=-2

前〃項(xiàng)和S“=9n+^-^x(-2)=-(?-5)2+25.

故5〃的最大值為§5=25.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查求前n項(xiàng)和的最值問題，同時(shí)還考查了余弦定理的應(yīng)用.

12.A

【解析】

a7t7

由余弦公式的二倍角可得，cos(a+^)=l-2sin2=§,再由誘導(dǎo)公式有

24

cos(a+—)=-sin?,所以sina=——

29

【詳解】

a7i

Vsin

243

?,?由余弦公式的二倍角展開式有

cos(a+-^)=l-2sin2a九_(tái)7

24-9

又?:cos(tz+—)=-sinfZ

2

..7

??sma=——

9

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了學(xué)生對(duì)二倍角公式的應(yīng)用，要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，屬于簡單題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

【解析】

由題，得z=(a+2i)(l+i)=a—2+(a+2)i,然后根據(jù)純虛數(shù)的定義，即可得到本題答案.

【詳解】

由題，得z=(a+2i)(l+i)=a-2+(a+2)i,又復(fù)數(shù)二為純虛數(shù)，

所以a-2=0,解得a=2.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

14.百

【解析】

利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，即可得答案.

【詳解】

由已知可得：也^1=2,。>0,解得a=0.

V2

故答案為：幣.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.2

【解析】

首先求出（x+a）”的展開項(xiàng)中x3的系數(shù)，然后根據(jù)1系數(shù)為160即可求出a的取值.

【詳解】

由題知

當(dāng)r=3時(shí)有7；=C>3/=]60/nC^a3=160,

解得a=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二項(xiàng)式展開項(xiàng)的系數(shù)，屬于簡單題.

16.-1

【解析】

由虛數(shù)單位i的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件列式求得。，〃的值，則答案可求.

【詳解】

解：由3=，，/=_],[31,j4=i

所以4+為=嚴(yán)收=?4）504“3=7,

得。=0,Z?=—1.

:.a+b=-1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查虛數(shù)單位i的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22人1

17.（1）工+二=1；⑵①證明見解析；②

43&3

【解析】

22/2

（1）由題意焦距為2,設(shè)點(diǎn)C（l,%）,代入橢圓;"+2r=1（。＞。＞0）,解得方=±生，從而四邊形ACBO的面積

aba

6=25?叱=2。衛(wèi)=2凡由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?

a

22

（2）①由題意AC:y=K（x+2）,聯(lián)立直線與橢圓的方程土+匕=1,得（3+41）/+16父-12=0,推導(dǎo)出

431

C（一算U，富3），。（等I*，一苦^），由此猜想：直線/過定點(diǎn)P（LO），從而能證明P，C,D三點(diǎn)共

3+4占3+4占3+4f3+4右一

線，直線/過定點(diǎn)尸（1,。）.

②由題意設(shè)C（x?M）,D（x,,必），直線/：x=〃?y+l,代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：—+^-=1,得(3m2+4)丁+6my-9=0,

43

6m9由此推導(dǎo)出勾=9=生凸=型鱉二（定

推導(dǎo)出凹+必=一

x%=一2

2>trr+43m+4k2%%a+2）%（町|+3）即訪+3%3

—2

值）.

【詳解】

（1）由題意焦距為2,可設(shè)點(diǎn)c（l,%）,代入橢圓Af+/￡=1（?！怠ā?）,

得5■+=1'解得％=±—'

2

四邊形ACBZ)的面積6=2sA48c=2。2~=2/?,

Z?2=3,/=4,

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+二=1.

43

（2）①由題意AC：y=K（x+2）,

22

聯(lián)立直線與橢圓的方程L+2=1,得(3+必：得+16k：-12=0,

43'

c16V-125出6-8婷12k

從而=匕（芯+

'=3+4好'解得用=3+4左：'x1）=—H-,

.V-鱉舟),同理可得以8k,~—612k2

）,

3+44'3+4《T

猜想：直線/過定點(diǎn)。(1,0),下證之:

12年12k2

,3+4k.23+4《

???k=3kl,kzpc-kpD=■-....-----

28匕一68^-6

-374V-3T4V-

=▲+22^=一秋+364.

1-4婷4&2_91-4A；36$-91-4^「1-4乂'

,.P,C,。三點(diǎn)共線，，直線/過定點(diǎn)尸(L0).

②力為定值,理由如下:

由題意設(shè)C(x，y),D(/,y2),直線/：元=沖+1,

22

代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：土+匕=1,得(3/+4)丁+672一9=0,

43

-6/n±y]36m2+36（3ZH2+4）

幾22（3加2+4）

6m9

.k\x,+2y,（x2-2）y,（my2-l）myly2-yi

2

k?）1%（X+）丫2（段+3）股y2+3y2

X）—2

9/H6m3m

+43療+43，7+4-

9m_9m_

-w74+3y2石*3%

3/72

3巾。4**=1（定值）.

4+3%

3/+42

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法，考查橢

圓、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18.(1)G的極坐標(biāo)方程為〃=2sin8；C2的極坐標(biāo)方程為：GpcosO+psin6=6(2)；

【解析】

fx=QCOS。

(D根據(jù).八，代入即可轉(zhuǎn)化.

[y=

(2)由G：區(qū)一〉=0(攵>0),可得0=a,代入G與的極坐標(biāo)方程求出|04|，|0同，從而可得

。=粵*"+2產(chǎn)sincosa,再利用二倍角公式、輔助角公式，借助三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

\OB\6

【詳解】

(1),「G：x2+y2-2y=0,p1=2psin^,

...G的極坐標(biāo)方程為夕=2sin6

/C2：V§x+y=6,V3pcos^+psin^=6,

:Cz的極坐標(biāo)方程為：石pcosg+psine=6,

(2)QC3：kx-y=0(k>0),則8=。(。為銳角)，

.*.IGAI=2sina,\OB\=-------------,

sina+，3cosa

_|OA|_2sin2a+2V3sincoscir

"f5fij=6

_V3sin2a-cos2a+1_2sin("1，當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào).

=-----------------------------G--]-”-W—3

662

【點(diǎn)睛】

本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、二倍角公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7C

19.(1)-；(2)a=5

4

【解析】

(1)由三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得從sinA=bccosA,結(jié)合范圍Ae(0,?)，可求tanA=l,進(jìn)而

可求A的值.

3

（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin3=不，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值，由正弦定理可求得“

的值.

【詳解】

解：(1)由2S=A^?ACS得比sinA=6ccosA,

因?yàn)锳G（O,乃）,

所以tanA=l,

可得：A=f.

4

4

（2）AABC中，cosB=-,

3

所以sin8=《,

7A

所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=—,

a7

ac___=____

由正弦定理「■=—=，得&7&,解得a=5,

sinAsinC-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦

定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

20.（1）見解析（2）見解析

【解析】

（，+■￡）,兩邊開方并化簡，證得不等式成立.

（1）由進(jìn)行變換，得到2（/+/）2

（2）將3+絲竹化為（4+03）+2（。2+02）+（0+6）,然后利用基本不等式，證得不等式成立.

b

【詳解】

2

（1）a2+b2>2ah,兩邊力口上/+/得2（/+/）2（。+人）2=I,當(dāng)且僅當(dāng)

,即2(/+/)21+1

ah)ba

。=人=1時(shí)取等號(hào),

.,.Va2+^2>—（-+-）.

2ab

（2）

皿+-/+竺+L4+生+L-+*+S+d+3=（/+⑹+

abaaabbbababab'7

2（a[+〃2）+（a+h）?2“方+4ah+2\[ab=8.

當(dāng)且僅當(dāng)。=8=1時(shí)取等號(hào).

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

21.（1）不在，證明見詳解；（2）而+1

8

【解析】

（1）假設(shè)直線方程丫=區(qū)+。，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，計(jì)算西.麗=T，可得人=-1，然后驗(yàn)證可

得結(jié)果.

（2）分別計(jì)算線段PAPB中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點(diǎn)M的軌跡方程y=2/,然后可得焦

點(diǎn)F,結(jié)合拋物線定義可得|MN|-d?|N@+：,計(jì)算可得結(jié)果.

O

【詳解】

（1）設(shè)直線方程y=^+。，A（^,y,）,B（x2,y2）

根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，P（0,-3）

y=kx+h

則<1=>x2-4Ax-4（3+Z?）=0

y=—x-3

r4

XyXy=-4（3+人）,玉+/=4女

△=（5）2+160+48

麗=（%,%+3）,而=（與,必+3）

則P4.尸5=%%+（弘+3）（%+3）

PAPB=芭々+NM+3（X+%）+9

22

X%=（依+。）（如+b）-kx]x2+kb（4+x2）+b

y,+y2=kxy+h+kx2+h=k^xx+x^+2b

2

PA-PB={jc+1卜]/+（3Z+妨）（玉+x2）+Z?+6Z>+9

由PAPB=-4

2

所以（左2+1）玉々+（3Z+妨）（內(nèi)+x2^+b+6b+9=-4

將玉W=T（3+/?）,X]+x2=4k代入上式

化簡可得。2+2。+1=0,所以〃=—1

則直線方程為丁=丘-1,

所以直線過定點(diǎn)（0,—1）,A=（-4Z:）2+16/?+48>0

所以可知點(diǎn)。（0,1）不在直線上.

⑵設(shè)〃（5,加）

線段外的中點(diǎn)為

線段P8的中點(diǎn)為G,2U）

則直線%的斜率為七,=/v一+3，

西

直線PB的斜率為kpB=吆史

可知線段PA的中垂線的方程為V-三口=-一三「-g

2X+312

14X2

由乂=二%2-3,所以上式化簡為丁=一一rx+-^-l

4x}8

4x2

即線段抬的中垂線的方程為y=--

X；8

同理可得：

4x2

線段號(hào)的中垂線的方程為y=--1

x08

4-,XX(%1+%2)

戶一下”+吉一1t2

則《32

2

4?人x11Xj~+x)~+Xj%2—8

V=——一IXw=

X；8