高考導(dǎo)數(shù)大題必刷熱點(diǎn)題（含答案）

高考導(dǎo)數(shù)大題必刷熱點(diǎn)題型1．（2020?撫順模擬）已知函數(shù)．（1）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，上沒(méi)有零點(diǎn)，求的取值范圍．2．（2020?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)，，，時(shí)，證明：；（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．3．（2020?宣城二模）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在，處的切線(xiàn)方程；（2）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍．4．（2020春?東?？h期中）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．5．（2020?大興區(qū)一模）已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)，（1）處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）求證：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．6．（2020春?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，其中，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)，（1）處的切線(xiàn)方程；（2）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并分別指出極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)和極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．7．（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，．（1）若的切線(xiàn)過(guò)，求該切線(xiàn)方程；（2）討論與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．8．（2020春?浙江期中）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在處取得極大值．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程恰好有兩個(gè)不同的根，求的解析式．9．（2020?徐州模擬）如圖，某生態(tài)農(nóng)莊內(nèi)有一直角梯形區(qū)域，，，百米，百米．該區(qū)域內(nèi)原有道路，現(xiàn)新修一條直道（寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)在道路上（異于，兩點(diǎn)），，．（1）用表示直道的長(zhǎng)度；（2）計(jì)劃在區(qū)域內(nèi)修建健身廣場(chǎng)，在區(qū)域內(nèi)種植花草．已知修建健身廣場(chǎng)的成本為每平方百米4萬(wàn)元，種植花草的成本為每平方百米2萬(wàn)元，新建道路的成本為每百米4萬(wàn)元，求以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值（單位：萬(wàn)元）．10．（2020?東湖區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2020?榆林三模）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求的最小值；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．12．（2020?榆林三模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）若對(duì)存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．13．（2020?撫順模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．14．（2020?深圳一模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)，處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，．15．（2020?江西模擬）設(shè)函數(shù)．（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，記，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，，，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，試問(wèn)是否為的根？說(shuō)明理由．16．（2020?甘肅模擬）函數(shù)，且．（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方．17．（2020?全國(guó)Ⅱ卷模擬）已知：僅有1個(gè)零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．18．（2020春?濱海新區(qū)期中）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，，且，使得成立，求的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求證：．19．（2020?廈門(mén)一模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若在區(qū)間，內(nèi)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)的充要條件為，求證：．20．（2020?山東模擬）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．21．（2020?臺(tái)州模擬）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求證：存在唯一的實(shí)數(shù)，使得直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切；（Ⅱ）若，，，，求證：．（注為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．、22．（2020?宿遷模擬）某公司準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一個(gè)精美的心形巧克力盒子，它是由半圓、半圓和正方形組成的，且．設(shè)計(jì)人員想在心形盒子表面上設(shè)計(jì)一個(gè)矩形的標(biāo)簽，標(biāo)簽的其中兩個(gè)頂點(diǎn)，在上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)，在上，分別是，的中點(diǎn)）設(shè)的中點(diǎn)為，，矩形的面積為．（1）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，矩形的面積最大？23．（2020?合肥模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若函數(shù)，求證：函數(shù)存在極小值．24．（2020?鹽城三模）設(shè)函數(shù)，，其中恒不為0．（1）設(shè)，求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；（2）若是函數(shù)與的公共極值點(diǎn)，求證：存在且唯一；（3）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，，使得在上恒成立？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（2020?湖北模擬）已知函數(shù)，．（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)，處的切線(xiàn)方程；（2）若，求的取值范圍．26．（2020?武漢模擬）已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間，（2）若關(guān)于不等式對(duì)任意和正數(shù)恒成立，求的最小值．27．（2020?肇慶三模）設(shè)函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間：（2）若成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．28．（2020?濟(jì)寧模擬）已知兩個(gè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間，上的最大值；（Ⅱ）求證：對(duì)任意，不等式都成立．29．（2020?和平區(qū)校級(jí)二模）已知函數(shù)，，若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)．且在點(diǎn)處有相同的切線(xiàn)．（Ⅰ）求切線(xiàn)的方程；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．30．（2020?嘉興模擬）定義兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)，的定義域分別為，，若對(duì)任意的，總存在，使得，我們就稱(chēng)函數(shù)為的“子函數(shù)”．已知函數(shù)，，，．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為的一個(gè)“子函數(shù)”，求的最小值．

參考答案與試題解析1．（2020?撫順模擬）已知函數(shù)．（1）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，上沒(méi)有零點(diǎn)，求的取值范圍．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由（1）求得，代入導(dǎo)函數(shù)的解析式，再由導(dǎo)函數(shù)小于0求解減區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)大于0求解增區(qū)間；（2），得，把在，上沒(méi)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在，上滿(mǎn)足或．結(jié)合（1），只需證在，上滿(mǎn)足．對(duì)分類(lèi)討論可得在，上的單調(diào)性，求出最小值，由最小值大于0可得的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且．在處取得極值，（1），得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2），則．要使在，上沒(méi)有零點(diǎn)，只需在，上滿(mǎn)足或．又（1），只需證在，上滿(mǎn)足．①當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，則，解得，與矛盾；②當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，由，得，；③當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，，滿(mǎn)足題意．綜上，的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．2．（2020?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)，，，時(shí)，證明：；（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【分析】（Ⅰ）依題意，即證，換元令，則即證，令，又令二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，則利用導(dǎo)數(shù)可知在，上遞增，等價(jià)于證明（1），即證，再令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得其大于等于0恒成立，由此得證；（Ⅱ）根據(jù)題意，可求得，，，，構(gòu)造函數(shù)，可證，令，則，令，利用導(dǎo)數(shù)可知，即可得證．【解答】證明：（Ⅰ），即為，亦即，令，則，令，令對(duì)稱(chēng)軸，則，時(shí)，，時(shí)，，，時(shí)，，在上遞增，在，上遞減，且，在，上遞增，故只需證（1），即證，即證，令，則，在上遞減，而（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即成立，當(dāng)，，時(shí)，成立；（Ⅱ），有兩個(gè)極值點(diǎn)，，，，令，則，易知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，在上遞增，，故，即，由，可得，，則，，則，，由，得，下證，即證，即證，，等價(jià)于證，令，則，故，，即，令，則，令，則，在上遞減，，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及了變換主元法，分析法，消元法，換元法，構(gòu)造法等常見(jiàn)數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，培養(yǎng)了轉(zhuǎn)化思想，放縮思想等數(shù)學(xué)思想的建立，鍛煉了學(xué)生運(yùn)算化簡(jiǎn)，邏輯推理等數(shù)學(xué)能力，綜合性強(qiáng)，難度大．3．（2020?宣城二模）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在，處的切線(xiàn)方程；（2）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【分析】（1）把代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)函數(shù)，再求出與的值，利用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式得答案；（2）由，得，即．設(shè)，可得令，可得△，分，，三類(lèi)分析求解滿(mǎn)足題意的的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，．則，又，曲線(xiàn)在，處的切線(xiàn)方程為；（2）由，得，即．設(shè)，則．令，△．①若△，即，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，而，時(shí)，恒成立，滿(mǎn)足題意；②若，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，而，時(shí)，恒成立，滿(mǎn)足題意；③若，當(dāng)時(shí)，由，解得，．在上單調(diào)遞減，則，不滿(mǎn)足題意．綜上所述，的取值范圍是，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．4．（2020春?東?？h期中）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，分與可得導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在，上單調(diào)遞減，故的最大值；當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在，上單調(diào)遞減，的最大值；當(dāng)時(shí)，由（1）知，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．結(jié)合（1），得的最大值為；當(dāng)時(shí)，由（1）知，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．結(jié)合（1），知的最大值為（1）．【解答】解：（1），．由，解得．①當(dāng)時(shí)，若，可得，若，可得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；②當(dāng)時(shí)，若，可得，若，可得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)求得極大值．綜上，若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在，上是單調(diào)減函數(shù)，而，，，在，上單調(diào)遞減，故的最大值；當(dāng)時(shí)，，由（1）知，為，上的單調(diào)減函數(shù)，而，，，在，上單調(diào)遞減，故的最大值；當(dāng)時(shí)，由（1）知，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．又滿(mǎn)足（1），故的最大值為；當(dāng)時(shí)，由（1）知，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．又滿(mǎn)足（1），故的最大值為（1）．綜上，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查邏輯思維能力與推理論證能力，是中檔題．5．（2020?大興區(qū)一模）已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)，（1）處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）求證：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分別求出時(shí)的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值，利用點(diǎn)斜式即可求切線(xiàn)方程；（Ⅱ）函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為在上只有一個(gè)零點(diǎn)，可通過(guò)研究的單調(diào)性、極值的符號(hào)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求解．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，所以，，，所以函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線(xiàn)方程是．（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?，要使函?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，只需方程有且只有一個(gè)根，即只需關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)解．設(shè)函數(shù)，則，令，則，由，得．10單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由于（1），所以，所以在上單調(diào)遞增，又（1），，①當(dāng)時(shí)，（1），函數(shù)在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，由于，所以存在唯一零點(diǎn)．綜上所述，對(duì)任意的函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判斷方法，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值中的應(yīng)用．同時(shí)考查學(xué)生利用函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想解決問(wèn)題的能力，同時(shí)考查了學(xué)生的運(yùn)算能力．屬于中檔題．6．（2020春?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，其中，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)，（1）處的切線(xiàn)方程；（2）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并分別指出極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)和極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求出導(dǎo)數(shù)，求出切線(xiàn)的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線(xiàn)方程．（2）因?yàn)?，通過(guò)①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值．（3）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，，，是方程兩個(gè)根．利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解，令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，推出即可．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，（1），又因?yàn)椋?），所以切線(xiàn)方程為：．（2）因?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，令，解得，0極大值函數(shù)僅有1個(gè)極大值點(diǎn)，沒(méi)有極小值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，與同正負(fù)，又因?yàn)椤鳎栽谏洗嬖趦蓚€(gè)不相等的根，，又，，所以，，不妨設(shè)，，，00極大值極小值函數(shù)恰有2個(gè)極值點(diǎn)，它們是1個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)．（3）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，由（2）可知，并且，是方程兩個(gè)根．，．令，恒成立，在上單調(diào)遞增，（1）成立．即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查切線(xiàn)方程的求法，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值的求法，考查分類(lèi)討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是難題．7．（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，．（1）若的切線(xiàn)過(guò)，求該切線(xiàn)方程；（2）討論與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【分析】（1）求得的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩點(diǎn)的斜率公式，求得切點(diǎn)，可得切線(xiàn)的斜率，進(jìn)而得到所求切線(xiàn)的方程；（2）設(shè)，即討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．求得的導(dǎo)數(shù)，分別討論，，，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)定義和零點(diǎn)存在定理，以及函數(shù)的單調(diào)性、極值，可得所求零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，，則，化簡(jiǎn)得，所以，，切線(xiàn)方程為；（2）設(shè)，即討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．，時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，在，，，，時(shí)，均，此時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，由得，，若時(shí)，在上遞增，只有一個(gè)零點(diǎn)；若時(shí)，，，極大值、極小值均小于0，從而也只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，時(shí)，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的方程和單調(diào)性、極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，主要考查分類(lèi)討論思想和方程思想，化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．8．（2020春?浙江期中）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在處取得極大值．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程恰好有兩個(gè)不同的根，求的解析式．【分析】（1）先通過(guò)求出，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令（1），可得，將其代入中，令，則或，由于在取得最大值，所以，解之即可得解；（2）通過(guò)列表、隨的變化情況可知，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，若方程恰好有兩個(gè)不同的根，則使其極小值等于，求出的值即可得解．【解答】解：（1）函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，有，（1），，，令，則或，當(dāng)時(shí)，取得極大值，，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）、隨的變換情況如下表，100單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極小值．方程恰好有兩個(gè)不同的根，，解得，．故的解析式為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，考查學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．9．（2020?徐州模擬）如圖，某生態(tài)農(nóng)莊內(nèi)有一直角梯形區(qū)域，，，百米，百米．該區(qū)域內(nèi)原有道路，現(xiàn)新修一條直道（寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)在道路上（異于，兩點(diǎn)），，．（1）用表示直道的長(zhǎng)度；（2）計(jì)劃在區(qū)域內(nèi)修建健身廣場(chǎng)，在區(qū)域內(nèi)種植花草．已知修建健身廣場(chǎng)的成本為每平方百米4萬(wàn)元，種植花草的成本為每平方百米2萬(wàn)元，新建道路的成本為每百米4萬(wàn)元，求以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值（單位：萬(wàn)元）．【分析】（1）根據(jù)解三角形和正弦定理可得，，（2）分別求出，，可得，設(shè)三項(xiàng)費(fèi)用之和為，可得，，利用導(dǎo)數(shù)求出最值．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在中，，，，，在中，，，，，，，，在中，由正弦定理可得，，；（2）在中，由正弦定理可得，，，又，，設(shè)三項(xiàng)費(fèi)用之和為，則，，，令，解得，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，答：三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值為萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)解析式的求解，解三角形，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．10．（2020?東湖區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）將代入，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)顯然不成立，當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在性定理可得出結(jié)論；（2）分析可知（1）是函數(shù)的最大值，也是函數(shù)的極大值，故（1），，而當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可知恒成立，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，令，解得，進(jìn)而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，依題意有，，解得，又（1），且，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而由零點(diǎn)存在性定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)，下先證恒成立，令，則，易得在上單減，在上單增，進(jìn)而（e），，，，若，得，，，即當(dāng)時(shí)，取，有，即存在，使得，進(jìn)而由零點(diǎn)存在性定理可知在上存在唯一零點(diǎn)．綜上可得，；（2）當(dāng)時(shí)，存在，使得不等式恒成立，證明如下：當(dāng)時(shí)，設(shè)，依題意，恒成立，又（1），進(jìn)而條件轉(zhuǎn)化為不等式（1）對(duì)任意恒成立，（1）是函數(shù)的最大值，也是函數(shù)的極大值，故（1），，又當(dāng)時(shí)，，令可得，令可得，故在上遞增，在上遞減，（1），即恒成立，綜上，存在且的取值集合為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，不等式的恒成立問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于較難題目．11．（2020?榆林三模）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求的最小值；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1），．．根據(jù)是函數(shù)的極值點(diǎn)．可得，解得．進(jìn)而得出的最小值．（2）對(duì)任意，存在，使得對(duì)，，．由（1）可得：．對(duì)分類(lèi)討論利用單調(diào)性即可得出．【解答】解：（1），．．是函數(shù)的極值點(diǎn)．，解得．可得時(shí)函數(shù)取得進(jìn)極小值即最小值．，．的最小值為：．（2）對(duì)任意，存在，使得對(duì)，，．由（1）可得：．①時(shí)，，，不適合題意，舍去．②若，，滿(mǎn)足，適合題意．③若，，可得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，（1）．，解得．綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、分類(lèi)討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12．（2020?榆林三模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）若對(duì)存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1），由，可得時(shí)，；時(shí)，．即可得出單調(diào)性．（2）對(duì)分類(lèi)討論：若，則，容易判斷出結(jié)論．若，可得．若，由（1）可知：函數(shù)的最小值為（1），只要，解得范圍即可得出．【解答】解：（1），，時(shí)，；時(shí)，．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值（1）．（2）對(duì)分類(lèi)討論：若，則，不存在，使得成立．若，則，滿(mǎn)足題意．若，由（1）可知：函數(shù)的最小值為（1），，解得．綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、方程與不等式的解法、分類(lèi)討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13．（2020?撫順模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分別求出處的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值，利用點(diǎn)斜式求直線(xiàn)方程；（2）分離參數(shù)，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)處函數(shù)值的情況即可．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，，故所求切線(xiàn)方程為．（2）令，得，設(shè)，則，令，得；令，得或，則在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，，，．?dāng)或時(shí)，無(wú)解，即在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)或或時(shí)，有且僅有一個(gè)實(shí)解，即在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩解，即在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)或時(shí)，在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)或或時(shí)，在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的概念與應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題等，要注意轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，同時(shí)考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．屬于中檔題．14．（2020?深圳一模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)，處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，．【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和的幾何意義，即可求出切線(xiàn)方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性及最值，即可求出．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，切線(xiàn)的斜率，，曲線(xiàn)在點(diǎn)，處的切線(xiàn)方程為，即．證明：（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，則，，，在，上恒成立，在，上單調(diào)遞增，（2），故對(duì)任意的，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)和幾何意義和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題．15．（2020?江西模擬）設(shè)函數(shù)．（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，記，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，，，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，試問(wèn)是否為的根？說(shuō)明理由．【分析】（1）求導(dǎo)可得，然后分，及分類(lèi)討論即可得出單調(diào)性；（2）假設(shè)，則只需證明，而，則進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知，，由此假設(shè)不成立，即不是的根．【解答】解：（1）由可知，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以①若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；②若時(shí)，則在恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增；③若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；（2）證明：由題可知，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，欲證，只需證明，設(shè)，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)，則，兩式相減并整理得，從而，故只需證明，即，式可轉(zhuǎn)化為，即，因?yàn)椋裕环亮?，即證成立，記，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，在上單調(diào)遞增，又（1），，，故，即不成立，故不是的根．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想以及推理論證能力，運(yùn)算求解能力，屬于中檔偏上題目．16．（2020?甘肅模擬）函數(shù)，且．（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方．【分析】（1）直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后判斷導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)的符號(hào)；（2）只需要證明恒成立即可，然后求的單調(diào)性、極值以及最大值即可．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，．，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為，．（2）令，．，由得，由得，所以在上遞增，在上遞減．故（1），又因?yàn)椋院愠闪?，即?dāng)時(shí)，的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值以及不等式恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查學(xué)生運(yùn)用方程思想、轉(zhuǎn)化思想的解題意識(shí)以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力．屬于中檔題．17．（2020?全國(guó)Ⅱ卷模擬）已知：僅有1個(gè)零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理，判斷是否為符合題意的的范圍即可；（2）將不等式的左邊可變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，由（1）可得不等式右邊有，利用放縮法證明原不等式成立即可，在放縮過(guò)程中需要注意等號(hào)成立的條件．【解答】解：（1），定義域?yàn)?，，，?dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，而，僅有一個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，，①當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，此時(shí)僅有一個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足題意；②當(dāng)，即時(shí)，，在上，單調(diào)遞增，，有一個(gè)零點(diǎn)，，在上，單調(diào)遞減，而，由零點(diǎn)存在性定理可得在上也有一個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；③當(dāng)，即時(shí)，在上，單調(diào)遞減，，有一個(gè)零點(diǎn)，，在上，單調(diào)遞增，由①值，，，即，，，由零點(diǎn)存在性定理可得在也有一個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，；（2）證明：，令，則，令，則，即在上單調(diào)遞增，又，在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，，則，即，，的最小值為，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，可得，而以上兩式不同時(shí)取等，故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式以及放縮法在不等式證明中的應(yīng)用，考查了分類(lèi)討論的思想，屬于較難題．18．（2020春?濱海新區(qū)期中）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，，且，使得成立，求的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求證：．【分析】（Ⅰ）研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，然后確定原函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）要滿(mǎn)足題意，只需函數(shù)在內(nèi)有增有減，即存在極值點(diǎn)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在內(nèi)存在變號(hào)根即可；（Ⅲ）先求出的兩個(gè)極值點(diǎn)，然后對(duì)兩個(gè)極值點(diǎn)的函數(shù)值結(jié)合單調(diào)性作比較來(lái)證明結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ），，當(dāng)，，時(shí)，，的增區(qū)間是，；當(dāng)時(shí)，，所以的減區(qū)間是．（Ⅱ）依題意，函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)槭沁B續(xù)函數(shù)，所以在上需有極值，由于，即在內(nèi)有變號(hào)根，令，顯然該函數(shù)在上遞增，故需，即，解得．所以的范圍是．（Ⅲ），設(shè)方程的兩個(gè)不等實(shí)根是，，則首先滿(mǎn)足△，即：．又由解得，，此時(shí)，．隨著的變化，，的變化如下：，，00遞增極大值遞減極小值遞增所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)．所以是極大值，是極小值．，又因?yàn)?，所以．所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，即利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及不等式問(wèn)題．同時(shí)考查學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等，屬于較難的題目．19．（2020?廈門(mén)一模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若在區(qū)間，內(nèi)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)的充要條件為，求證：．【分析】（1）將代入，可得，，則在上單調(diào)遞增，又，則易得函數(shù)的單調(diào)性情況，進(jìn)而求得極值點(diǎn)；（2）依題意，等價(jià)于，，令，求導(dǎo)可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而為偶函數(shù)，故只需函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，由，接下來(lái)估計(jì)的范圍，可得，由此即可得證．【解答】解：（1），，，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，故等價(jià)于，，令，則，①當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，②當(dāng)時(shí)，令，則，單調(diào)遞減，又，故存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，，單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；綜上在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由于為偶函數(shù)，只需函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，，，，，以下估計(jì)的范圍：，，，又，，，，，結(jié)論得證．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想等，屬于較難題目．20．（2020?山東模擬）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)分情況討論，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）由已知得，，，對(duì)的范圍分情況討論，分別討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得到在，上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．【解答】解：（1）由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由已知得，，，則，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以在，上單調(diào)遞減，所以，所以在，上無(wú)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞減，且，所以，又因?yàn)椋?，所以在，上存在一個(gè)零點(diǎn)，所以在，上有兩個(gè)零點(diǎn)，③當(dāng)，時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在，上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，在，上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，是中檔題．21．（2020?臺(tái)州模擬）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求證：存在唯一的實(shí)數(shù)，使得直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切；（Ⅱ）若，，，，求證：．（注為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．、【分析】（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)在點(diǎn)，處的切線(xiàn)為，依題意，，則，則，設(shè)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，可知在單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可知，有唯一零點(diǎn)，即有唯一解，故也只有唯一解，即得證；（Ⅱ）要證，即證，變換主元令（a），則（a）是一次函數(shù)，故只需證明，同時(shí)注意到對(duì)于同一，，（1）（2），所以只要證明，接下來(lái)只需分別證明①②成立即可．【解答】證明：（Ⅰ）由知，在，處的切線(xiàn)為，當(dāng)該直線(xiàn)為時(shí)，可得，，故，令，則當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，而（1），（2），由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，相應(yīng)的也是唯一的，即存在唯一的實(shí)數(shù)，使得直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切；（Ⅱ）要證，即證，令（a），對(duì)于確定的，（a）是一次函數(shù)，只需證明，注意到對(duì)于同一，，（1）（2），所以只要證明，先證明①：記（1），則，令，由得，由此可知在區(qū)間，遞減，在，遞增，又因?yàn)?，，?），在區(qū)間，上存在唯一實(shí)數(shù)，使得，故在區(qū)間，，遞減，在區(qū)間，，遞增，于是，①得證；再證明②：記（2），當(dāng)，時(shí)，利用不等式得；當(dāng)，時(shí)，利用不等式得，于是，其中二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)，時(shí)，有最小值為，（2），；綜上，不等式①②均成立，，當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意，，總有，即得證．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，變換主元思想，函數(shù)與方程思想等，考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，掌握常見(jiàn)不等式，能提高解題效率，平時(shí)應(yīng)多總結(jié)歸納，此題屬于難題．22．（2020?宿遷模擬）某公司準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一個(gè)精美的心形巧克力盒子，它是由半圓、半圓和正方形組成的，且．設(shè)計(jì)人員想在心形盒子表面上設(shè)計(jì)一個(gè)矩形的標(biāo)簽，標(biāo)簽的其中兩個(gè)頂點(diǎn)，在上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)，在上，分別是，的中點(diǎn)）設(shè)的中點(diǎn)為，，矩形的面積為．（1）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，矩形的面積最大？【分析】（1）依題意，可得，，則，；（2）由于恒成立，故當(dāng)時(shí)，．【解答】解：（1）由題意知，（2分），，（4分）則，即，．（6分）（2）（8分）因?yàn)?，所以，所以，?0分）故當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，（12分）故當(dāng)時(shí)，．答：當(dāng)為時(shí)，矩形的面積最大，最大值為64．（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查三角函數(shù)恒等變換及余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．23．（2020?合肥模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若函數(shù)，求證：函數(shù)存在極小值．【分析】（1）求導(dǎo)可知，由此函數(shù)在上單調(diào)遞減，進(jìn)而得證；（2），求導(dǎo)，再令，可知導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，使得，進(jìn)而得到函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由此求得函數(shù)的極小值．【解答】證明：（1）依題意，，因?yàn)?，且，故，故函?shù)在上單調(diào)遞減，故．（2）依題意，，，令，則；而，可知當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，而，又，故，使得，故，，使得，即函數(shù)單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增；故當(dāng)，時(shí)，，故函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查推理論證能力以及函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．24．（2020?鹽城三模）設(shè)函數(shù)，，其中恒不為0．（1）設(shè)，求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；（2）若是函數(shù)與的公共極值點(diǎn)，求證：存在且唯一；（3）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，，使得在上恒成立？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；（2）先求出導(dǎo)函數(shù)和，依題意，構(gòu)造函數(shù)，，則是的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的零點(diǎn)存在且唯一；（3）先求出導(dǎo)函數(shù)和，記，，對(duì)，的值分情況討論，分別分析導(dǎo)函數(shù)和的符號(hào)即可．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以，，?），又（1），函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為，即；（2）因?yàn)?，所以，又，所以，是函?shù)與的公共極值點(diǎn)，，，即，，，，令，，則是的零點(diǎn)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，又（1），（e），且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)存在且唯一；（3）因?yàn)?，由?）得，，記，，①當(dāng)時(shí)，，，若，則，此時(shí)，不符合題意（舍去）；若，與符號(hào)相反，此時(shí)，滿(mǎn)足題意，②當(dāng)時(shí)，若，則，若，當(dāng)時(shí)，則，由，得，所以，所以，1，時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)與，，不符合題意（舍去），若，則，由，得，所以，所以，時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)與，，不符合題意（舍去），③當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，由，得，所以，所以，時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)與，，不符合題意（舍去），若，當(dāng)時(shí)，則，由，得，所以，1，時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)與，，不符合題意（舍去），綜上所述，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)與滿(mǎn)足在上恒成立．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是中檔題．25．（2020?湖北模擬）已知函數(shù)，．（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)，處的切線(xiàn)方程；（2）若，求的取值范圍．【分析】（1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)方程；（2）先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系即可求出的范圍，需要分類(lèi)討論．【解答】解：（1）若時(shí)，，則，斜率，，曲線(xiàn)在點(diǎn)，處的切線(xiàn)方程為，即．（2），為偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，，，令，，①當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，，即，在，上單調(diào)遞增，，滿(mǎn)足條件，②當(dāng)時(shí)，，顯然不滿(mǎn)足條件，③當(dāng)時(shí)，若，令，解得，存在，使得當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，即，即，在上單調(diào)遞減，即，所以不滿(mǎn)足條件，綜上所述的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了曲線(xiàn)的切線(xiàn)，函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的推理論證能力，抽象概括能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論的思想．26．（2020?武漢模擬）已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間，（2）若關(guān)于不等式對(duì)任意和正數(shù)恒成立，求的最小值．【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類(lèi)討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出；（2）先根據(jù)（1）利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系求出，可得，設(shè)（a），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可．【解答】解：（1），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，若時(shí)，令，，在時(shí)，，為增函數(shù)，在時(shí)，，為減函數(shù)．（2），由題意，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，無(wú)最小值，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)（a），則（a），，，（a）；，，（a），（a）（1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及和最值的關(guān)系，考查了函數(shù)恒成立的問(wèn)題，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．27．（2020?肇慶三模）設(shè)函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間：（2）若成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】（1）函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．，對(duì)分類(lèi)討論即可得出單調(diào)性．（