西安市鄠邑中學2020屆高三下學期第9次質(zhì)量檢測理科數(shù)學試題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精陜西省西安市鄠邑中學2020屆高三下學期第9次質(zhì)量檢測理科數(shù)學試題含解析2020年高三年級第9次質(zhì)量檢測理科數(shù)學試題一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則集合的子集個數(shù)為(）A。2 B.3 C.4 D.【答案】C【解析】因為，所以,故其子集的個數(shù)是，應選答案C．2。已知為虛數(shù)單位，若，則（）A。1 B。 C. D。【答案】D【解析】【分析】求出的共軛復數(shù)和模，得到答案。【詳解】由，則，,則。故選:D。【點睛】本題考查了求復數(shù)的共軛復數(shù)，復數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題。3.已知變量與正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測的數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是（)A. B.C. D?！敬鸢浮緼【解析】試題分析：因為與正相關(guān)，排除選項C、D，又因為線性回歸方程恒過樣本點的中心,故排除選項B;故選A．考點：線性回歸直線。4.已知在等差數(shù)列中，，，則（）A。30 B.32 C。34 D。36【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，先求出,即得的值?！驹斀狻吭O(shè)等差數(shù)列的公差為，由題得，,兩式相減得。所以.故選：B【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù),則下列說法正確的是（）A.的最大值為2 B。的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對稱 D。為奇函數(shù)【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式化簡后可得的最值、最小正周期、對稱軸方程和奇偶性?！驹斀狻?，的最大值為,A錯；的最小正周期為，B錯；時,,取得最小值，的圖象關(guān)于直線對稱，C對;，不為奇函數(shù)，D錯,故選：C．【點睛】本題主要考查輔助角公式的應用,考查了正弦函數(shù)的最值、周期性、奇偶性與對稱性,屬于中檔題．6.2020年初，我國突發(fā)新冠肺炎疫情。面對“突發(fā)災難",舉國上下一心，繼解放軍醫(yī)療隊于除夕夜飛抵武漢,各省醫(yī)療隊也陸續(xù)增援，紛紛投身疫情防控與病人救治之中.為分擔“逆行者”的后顧之憂，某校教師志愿者團隊開展“愛心輔學"活動，為抗疫前線工作者子女在線輔導功課。今欲隨機安排甲、乙2位志愿者為1位小學生輔導功課共4次，每位志愿者至少輔導1次，每次由1位志愿者輔導,則甲恰好輔導2次的概率為(）A. B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意一共有種選擇,甲恰好輔導2次有種選擇，得到概率?！驹斀狻扛鶕?jù)題意:一共有種選擇，甲恰好輔導2次有種選擇.故。故選：?！军c睛】本題考查了古典概率，意在考查學生的計算能力和應用能力.7。在等比數(shù)列中,是關(guān)于的方程的兩個實根，則（）A B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)等比中項滿足的性質(zhì)，計算，代入，計算式子，即可．【詳解】是關(guān)于x的方程的兩實根，所以，由得，所以，即，所以.故選B【點睛】本道題考查了等比中項的性質(zhì),關(guān)鍵利用好該性質(zhì)，計算結(jié)果,即可，難度中等．8。函數(shù)的圖象大致為(）A。 B.C. D.【答案】A【解析】【分析】確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，計算時的函數(shù)值可排除三個選項．【詳解】時,函數(shù)為減函數(shù)，排除B，時，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D，又時,，排除C，只有A可滿足．故選:A?！军c睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等等排除，可通過特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負,函數(shù)值的變化趨勢排除，最后剩下的一個即為正確選項．9。已知中,角的對邊為，且，，的面積為3，則A。 B。 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由三角形面積公式可求b,再根據(jù)余弦定理可求c?！驹斀狻恳驗?所以，由,可得，根據(jù)余弦定理，，所以,故選C。【點睛】本題主要考查了正弦定理,余弦定理，三角形面積公式,屬于中檔題.10。棱長為的正四面體的頂點都在同一球面上,則該球面的表面積為（）A。 B。 C。 D。【答案】A【解析】【分析】把正四面體補成正方體，兩者的外接球是同一個，求出正方體的棱長,然后求出正方體的對角線長,就是球的直徑，即可得到答案．【詳解】如圖，將正四面體補成正方體，設(shè)正方體的棱長為，則.所以正方體的棱長是2，正方體的對角線長為。棱長都為的四面體的四個頂點在同一球面上，則正方體的八個頂點也在同一球面上，正方體的對角線就是球的直徑．則球的半徑球的表面積為，故選：A【點睛】本題主要考查幾何體外接球的表面積的計算，解題的關(guān)鍵是求出幾何體外接球的半徑，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平。11。已知函數(shù)滿足和，且在時,，則關(guān)于的方程在上解的個數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由題意可得，函數(shù)為偶函數(shù)，且是周期為2的周期函數(shù),即求函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在,上的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．【詳解】由題意可得，函數(shù)為偶函數(shù)，且是周期為2的周期函數(shù)．方程在，上解的個數(shù),即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在,上的交點個數(shù),再根據(jù)當，時，，設(shè)。因為，數(shù)形結(jié)合可得，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在，內(nèi)存在兩個交點，畫出函數(shù)在，上的圖象,如圖，故函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在，上的交點個數(shù)為5。（在內(nèi)有2個，在有1個,在有2個)故選：D．【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的應用，考查函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．12。已知P為雙曲線上一點，為雙曲線C的左、右焦點，若,且直線與以C的實軸為直徑的圓相切,則C的漸近線方程為(）A。 B。 C。 D?！敬鸢浮緼【解析】分析】依據(jù)題意作出圖象，由雙曲線定義可得，又直線PF2與以C的實軸為直徑的圓相切，可得，對在兩個三角形中分別用余弦定理及余弦定義列方程，即可求得，聯(lián)立,即可求得，問題得解．【詳解】依據(jù)題意作出圖象，如下：則,，又直線PF2與以C的實軸為直徑的圓相切，所以所以由雙曲線定義可得：，所以，所以整理得:，即：將代入，整理得：，所以C的漸近線方程為故選A【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義及圓的曲線性質(zhì)，還考查了三角函數(shù)定義及余弦定理，考查計算能力及方程思想,屬于難題．二、填空題13。在某項測量中，測量結(jié)果，若在內(nèi)取值的概率為0。4，則在內(nèi)取值的概率為______.【答案】0。8【解析】【分析】根據(jù)變量符合正態(tài)分布和在內(nèi)的概率為0。4，由正態(tài)分布的對稱性可知在內(nèi)的取值概率也為0.4，根據(jù)互斥事件的概率得到要求的區(qū)間上的概率．【詳解】服從正態(tài)分布，在內(nèi)的概率為0.4，由正態(tài)分布的對稱性可知在內(nèi)的取值概率也為0.4，故答案為：0。8【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義,考查概率的基本性質(zhì)，考查互斥事件的概率公式．14。已知，，且,則的取值范圍是_____。【答案】【解析】試題分析：，所以當時，取最大值1；當時，取最小值。因此的取值范圍為.【名師點睛】本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力，除了像本題的方法，即轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求取值范圍,也可以轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系求取值范圍，即,表示線段，那么的幾何意義就是線段上的點到原點距離的平方，這樣會更加簡單.15。已知平面向量，滿足，，則在方向上的投影為______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥吭O(shè)的夾角為，化簡已知得，即得解?！驹斀狻吭O(shè)的夾角為，由題得所以。所以在方向上的投影為.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運算，考查向量在方向上的投影，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16.若，則的值為______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥苛畹?1=；再令，化簡即得解.【詳解】令得，1=；令中得，，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,考查利用二項式定理求系數(shù)和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平。三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一）必考題17.已知函數(shù)(1）求函數(shù)的最小正周期；(2）當時，求的值域。【答案】（1）;（2)?！窘馕觥俊痉治觥?1）先化簡得到，即得函數(shù)的最小正周期;（2）逐步求出的范圍，再利用三角函數(shù)的圖象求出函數(shù)的值域.【詳解】(1）由題得，所以函數(shù)的最小正周期為;（2)由題得，所以，所以。所以函數(shù)的值域為.【點睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平。18.如圖，在直四棱柱中，底面是矩形，與交于點，。（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值。【答案】（1）證明見解析；(2）?！窘馕觥俊痉治觥?1）先通過直四棱柱的幾何性質(zhì),證得,由此證得平面，從而有，根據(jù)四邊形是正方形得到,從而證得平面.(2）建立空間直角坐標系，運用線面角的向量的求解方法可求得答案.【詳解】（1)證明：因為四棱柱是直四棱柱，所以平面，則。又，，所以平面,所以?！?，是正方形，∴。又,∴平面.（2)以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系，與交于點,,，，，,所以，，，，設(shè)平面的一個法向量為,則，即,不妨取，直線與平面所成角的正弦值為：.所以直線與平面所成角的正弦值為?！军c睛】本題主要考查線面垂直證明，利用空間向量的求解方法求線面角，屬于中檔題。19.已知中,，，，點在上,且。（1）求點的軌跡的方程；（2）若，過點的直線與交于，兩點,與直線交于點，記,，的斜率分別為，，，求證：為定值.【答案】(1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由橢圓的定義可得軌跡為橢圓（不包含實軸的端點），進而可得軌跡方程.(2)如圖,設(shè)，，顯然存在斜率，由題意可設(shè)直線方程為:，則，聯(lián)立直線和橢圓方程,韋達定理可得,,進而求出,化簡，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）在三角形中,因為，所以，所以,所以點軌跡是以,為焦點,長軸為4的橢圓(不包含實軸的端點），所以點的軌跡的方程為.（2）如圖，設(shè)，，顯然存在斜率,由題意可設(shè)直線方程為：

，則，聯(lián)立，∴，,∴，，,∴,，因為，所以為定值.【點睛】本題考查了橢圓的定義和直線和橢圓的位置關(guān)系，考查了計算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題目.20。在傳染病學中,通常把從致病刺激物侵人機體或者對機體發(fā)生作用起,到機體出現(xiàn)反應或開始呈現(xiàn)該疾病對應的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期。一研究團隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛伏期(單位:天）人數(shù)（1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣,從上述1000名患者中抽取200人,得到如下列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95％的把握認為潛伏期與患者年齡有關(guān)；潛伏期天潛伏期天總計歲以上（含歲）歲以下總計(3）以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立，為了深入研究，該研究團隊隨機調(diào)查了20名患者,其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能（即概率最大)是多少？附：,其中。【答案】（1）天；（2)見解析，沒有；（3)人。【解析】【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算平均數(shù)即可;（2）根據(jù)題意補充完整的列聯(lián)表,計算，對照臨界值表得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意知隨機變量,計算概率，列不等式組并結(jié)合題意求出的值.【詳解】（1)天；（2）根據(jù)題意補充完整的列聯(lián)表如下：潛伏期天潛伏期天總計歲以上（含歲）歲以下總計則，，所以沒有95％的把握認為潛伏期與患者年齡有關(guān);（3）由題可得該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率為，設(shè)調(diào)查的20名患者中潛伏期超過6天的人數(shù)為,則，，，由,即，化簡得解得，又，所以，即這20名患者中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能時8人?！军c睛】本題主要考查獨立性檢驗的應用問題，以及二項分布，考查學生的計算能力，屬于中檔題。21.已知函數(shù).（1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2)當時，如果方程有兩個不等實根，求實數(shù)t的取值范圍，并證明.【答案】（1）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）,證明見解析?！窘馕觥俊痉治觥浚?）求出，對分類討論，分別求出的解，即可得出結(jié)論;(2）由（1）得出有兩解時的范圍，以及關(guān)系，將，等價轉(zhuǎn)化為證明,不妨設(shè),令，則，即證，構(gòu)造函數(shù)，只要證明對于任意恒成立即可?！驹斀狻浚?）的定義域為R，且.由，得;由，得。故當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由(1）知當時，，且。當時，;當時,.當時，直線與的圖像有兩個交點，實數(shù)t的取值范圍是。方程有兩個不等實根，，，，,，即。要證，只需證,即證，不妨設(shè)。令，則，則要證，即證.令，則.令,則，在上單調(diào)遞增,。，在上單調(diào)遞增，，即成立，即成立..【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用,涉及到函數(shù)單調(diào)性、極值、零點、不等式證明，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于較難題.（二）選考題：請考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做,則按所做的第一題記分.【選修4-4:坐標系與參數(shù)方程】22。在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為，以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程;(2