微分方程組求解方法

微分方程組求解方法第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六本節(jié)我們?nèi)钥紤]被稱為平面系統(tǒng)的二維自治系統(tǒng)(5.3.1)其中，在上連續(xù)且滿足解的存在唯一性條件。為了研究系統(tǒng)（5.3.1）的軌線的定性性態(tài)，第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六必須弄清其奇點及其鄰域內(nèi)的軌線分布。比如上節(jié)我們已知系統(tǒng)的任何出發(fā)于常點的軌線，不可能在任一有限時刻到達奇點。反過來如果系統(tǒng)的某一解，滿足：則點一定是系統(tǒng)的奇點。第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六一般來說，奇點及其附近軌線的性態(tài)是比較復(fù)雜的。又因為對于系統(tǒng)的任何奇點均可用變換(5.3.2)把（5.3.1）變?yōu)椋旱?頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六(5.3.3)且(5.3.3)的奇點即對應(yīng)于(5.3.1)的移變換，所以不改變奇點及鄰域軌線的性態(tài)。奇點。又因為變換(5.3.2)只是一個平因此，我們可假設(shè)是(5.3.1)的奇點，且第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六性態(tài)即可。所以設(shè)(5.3.1)中的右端函數(shù)滿足：(5.3.4)如果均是的線形函數(shù)。我們稱之為線性系統(tǒng)，即只須討論(5.3.1)的奇點及其鄰域的軌線(5.3.5)第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六5.3.1幾個線性系統(tǒng)的計算機相圖一個自治系統(tǒng)在奇點鄰域的相圖對奇點鄰域軌線的性態(tài)有很大的幫助。Maple可以方便地畫出其圖形，給我們一個直觀的形象。Maple畫軌線圖時候先要調(diào)入微分方程的軟件包，接著定義方程，給出變量及其范圍，指定第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六初值，再給出步長、顏色等。看幾個具體的例子。例5.3.1用Maple描出系統(tǒng)(5.3.6)在奇點附近軌線的相圖。解用Maple解得相圖5.7。第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六5.3.2平面線性系統(tǒng)的初等奇點考慮到一般的平面線性系統(tǒng)（5.3.5）其中系數(shù)矩陣為常數(shù)矩陣

。第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六如果，則是系統(tǒng)這時的奇點稱為系統(tǒng)的高階奇點。下邊討論系統(tǒng)（5.3.5）的初等奇點。根據(jù)線性代數(shù)的理論，必定存在非奇異實矩陣，使得成為的若當(dāng)?shù)奈┮坏钠纥c，這個奇點稱為孤立奇點.而則稱非為孤立奇點,而非孤立奇點充滿一條直線，第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)型，且若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的形式由的特征根的不同情況而具有以下幾種形式：因而對系統(tǒng)（5.3.5）作變換即，其中第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六是上邊所說的實可逆矩陣，則系統(tǒng)(5.3.5)變?yōu)?(5.3.10)從而變換的幾種形式就能容易的得出平面系統(tǒng)（5.3.10）的軌線結(jié)構(gòu)，至于第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六原方程組(5.3.5)的奇點及附近的軌線結(jié)構(gòu)只須用變換返回到就行了。由于變換不改變奇點的位置與類型，因此我們只對線性系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)方程組給出討論。第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六記設(shè)的特征方程為：則特征方程為，特征根為(5.3.11)第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六由特征根的不同情況分為四種情況來討論:1.特征根為不相等的同號實根此時對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.12)容易求出其通解為第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六（5.3.13）其中是任意常數(shù)，對應(yīng)于零解，對應(yīng)的軸正負(fù)半軸都是軌線；對應(yīng)的軸正負(fù)半軸是軌線；當(dāng)時候，再分兩種情況討論：（1），同號且均為負(fù)數(shù)

第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六這時消去得（5.3.14）所以軌線均為以頂點的拋物線，且當(dāng)時由第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六我們可知：當(dāng)時即切線切軸趨于點。當(dāng)時第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六即切線切軸趨于點。且由于(5.3.14)知此時原點是漸近穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)在原點及附近的相圖如下圖所示：圖5.11(a)圖5.11(b)我們把這樣的奇點稱為穩(wěn)定結(jié)點。（2），同號均為正數(shù)第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六這時關(guān)于(1)的討論在此適用只需將改為所以此時的奇點稱為不穩(wěn)定結(jié)點，軌線分布如圖5.11類似，僅是圖上的箭頭反向。2.

為異號實根

這時仍有(5.3.13)和(5.3.14)，所以兩個坐標(biāo)軸的正負(fù)半軸仍為軌線，但是由于，奇點附近第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六的軌線成為雙曲線的且若，則當(dāng)時，若，則當(dāng)時，軌線均以軸軸為漸近線，系統(tǒng)在原點及附近的軌線分布如:圖5.12(a)圖5.12(b)第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六這種奇點成為鞍點，它是不穩(wěn)定奇點。3.為重根

這時由Jordan塊的不同分為兩種：(1)標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.15)第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六且當(dāng)時，即是漸近穩(wěn)定的；反之，當(dāng)時為不穩(wěn)定的。此時的奇點稱為臨界結(jié)點（星形結(jié)點），第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六(2)若Jordan塊為二階時，標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.16)其通解為(5.3.17)第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六仍對應(yīng)的是零件即奇點對應(yīng)的是軸為軌線，但是軸不再是軌線，時消去得出：(5.3.18)由上式知：又因為第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六所以有因此所有軌線均切軸于點，這種奇點稱為退化結(jié)點。且當(dāng)時為穩(wěn)定的退化結(jié)點，當(dāng)時為不穩(wěn)定的退化結(jié)點。第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六4.這時系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.19)取極坐標(biāo)變換,(5.3.19)即化為:第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六(5.3.20)下邊分兩種情況:（1）此時解(5.3.20)得出第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六其中是任意常數(shù)，消去得這是一族對數(shù)螺線，這樣的奇點稱為焦點，且當(dāng)時是穩(wěn)定焦點，時是不穩(wěn)定焦點，的正負(fù)決定了增加時軌線是順時針還是逆時針繞原點旋轉(zhuǎn)的。第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六(2)這時特征值是一對純虛數(shù),于是系統(tǒng)在極坐標(biāo)下的通解為：為任意的常數(shù)且。顯然這是一族以原點為中心的同心圓，這樣的奇點稱為中心，第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六中心是穩(wěn)定奇點但不是漸近穩(wěn)定的。歸納上邊的討論得出，系統(tǒng)(5.3.5)的奇點是初等奇點時候根據(jù)它的系數(shù)矩陣的特征方程(5.3.11)有如下分類：1）當(dāng)時，為鞍點；2）當(dāng)且時是結(jié)點且是穩(wěn)第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六定的，不穩(wěn)定的；3)當(dāng)且時是臨界結(jié)點或退化結(jié)點,且是穩(wěn)定的，是不穩(wěn)定的；4)當(dāng)時是焦點且為穩(wěn)定的，為不穩(wěn)定的;5)當(dāng)且時，是中心。第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六由此知道參數(shù)平面，被軸，正軸別對應(yīng)于系統(tǒng)的鞍點區(qū)，焦點區(qū)，結(jié)點區(qū)，及曲線分成了幾個區(qū)域，分中心區(qū)，退化和臨界結(jié)點區(qū)等等，點。但是平面的軸對應(yīng)的是系統(tǒng)的高階奇第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六例5.3.6畫出下面的線性系統(tǒng)的奇點附近相圖解容易算出所以是系統(tǒng)的鞍點。第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期六我們求解如下：(當(dāng)時)得到.同樣的可以分