數(shù)制及其轉(zhuǎn)換

數(shù)制及其轉(zhuǎn)換第1頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六1、定義：在采用進(jìn)位計(jì)數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)中，如果只用N個(gè)基本符號(hào)（如：0、1、2、…、N-1）表示數(shù)值，則稱為基N數(shù)制N稱為該數(shù)制的基數(shù)舉例：N=10舉例：N=2指常用的十進(jìn)制，符號(hào)0、1、2、3、4、5、6、7、8、9基本的符號(hào)為0和1，為二進(jìn)制一、進(jìn)位計(jì)數(shù)制第2頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六由0、1、2、…、N-1這N個(gè)數(shù)組成逢N進(jìn)一，基數(shù)為N如：十進(jìn)制數(shù)逢十進(jìn)一。二進(jìn)制數(shù)逢二進(jìn)一左移一位擴(kuò)大N倍（相當(dāng)于乘N），右移一位縮小N倍（相當(dāng)于除N）采用位權(quán)表示法。任意一位N進(jìn)制數(shù)M可表示為：2、進(jìn)位計(jì)數(shù)制有兩個(gè)基本特點(diǎn)：其中Di為數(shù)制采用的基本數(shù)符;Ni為權(quán)；N為基數(shù)第3頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六例：二進(jìn)制數(shù)10111.01可表示為：任何一種數(shù)制表示的數(shù)都可以寫成按位權(quán)展開的多項(xiàng)式之和。例：十進(jìn)制數(shù)，3058.72可表示為：3×103+0×102+5×101+8×100+7×10-1+2×10-21×24+0×23+1×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2第4頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六十進(jìn)制 二進(jìn)制 八進(jìn)制 十六進(jìn)制0 0 00 1 1 11 2 102 23 11 3 3 4 100 4 4 5 1015 5 6 110 66 7 111 7 7 8 1000 1089 1001 119 10 1010 12A 11 1011 13B 12 1100 14C 13 1101 15D 14 1110 16E 15 1111 17 F 16 10000 2010 3、幾種常用的進(jìn)位計(jì)數(shù)制第5頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六二、數(shù)制的相互轉(zhuǎn)換1、N進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制方法：將N進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開運(yùn)算后，可得到十進(jìn)制數(shù)注意：數(shù)位ｉ的確定不要弄錯(cuò)

例1：第6頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六例2：求（1100101.101）2的等值十進(jìn)制（1100101.101）2=1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3=64+32+0+0+4+0+1+0.5+0.125=（101.625）10即（1100101.101）2=（101.625）10第7頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六2、十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為N進(jìn)制1）、整數(shù)部分方法：除N取余法。余數(shù)依次從右到左排列，即得到所轉(zhuǎn)換的N進(jìn)制第一位余數(shù)是低位，最后一位余數(shù)是高位；一直除到商為0；舉例注意：第8頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六2、十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為N進(jìn)制二、數(shù)制的相互轉(zhuǎn)換2）、小數(shù)部分方法：乘N取整法。整數(shù)依次從左到右排列第一位整數(shù)是小數(shù)中的最高位；一直乘到小數(shù)部分為零；若遇乘N后，小數(shù)部分的積永不為零，則取有限位作為近似值；計(jì)算機(jī)中十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為N進(jìn)制小數(shù)時(shí)，有時(shí)會(huì)帶來誤差。注意：第9頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六

注意：十進(jìn)制小數(shù)乘2取整法，一般乘到積的小數(shù)部分為0，但有時(shí)乘2取整后，小數(shù)部分的乘積永不為0，此時(shí)可根據(jù)精度要求取有限位作為近似值，因此計(jì)算機(jī)中十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)有時(shí)會(huì)帶來誤差。

例如(0.1)10=(0.000110011001100..)2

取有限位(0.1)10=(0.000110011)2

第10頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六整數(shù)的轉(zhuǎn)換可采用除2取余法，即把要轉(zhuǎn)換的十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分不斷除以2，并記下每次除所得余數(shù)，直到商為0為止，將所得余數(shù)，從最后一次除得余數(shù)讀起，就是這個(gè)十進(jìn)制整數(shù)所對應(yīng)的二進(jìn)制整數(shù)。小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換采用乘2取整法，被轉(zhuǎn)換的小數(shù)部分，每次相乘后，所得乘積的整數(shù)部分就為對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，將所得小數(shù)從第一次乘得整數(shù)讀起，就是這個(gè)十進(jìn)制小數(shù)所對應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)。十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)第11頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六整數(shù)：除2取余小數(shù)：乘2取整

2|237

10.6252|118

0

取×22|59

1

11.2502|29

1

值0.252|14

0

×22|7

1

方00.502|3

1

×22|1

1

向

11.00第12頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)制間轉(zhuǎn)換進(jìn)位計(jì)數(shù)制8|237|29|3

0整數(shù)：除8取余余數(shù)5

5388低位高位小數(shù)：乘8取整0.625×85.000

5第13頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六題目：1、（25）10=（？）2110012、（101A）16=（？）1041223、（0.3125）１０＝（？）２0.0101第14頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六3、非十進(jìn)制數(shù)間的轉(zhuǎn)換下面看一下二、八、十六進(jìn)制間的特殊轉(zhuǎn)換方法：方法：一般采用上述方法的結(jié)合。N1進(jìn)制十進(jìn)制N2進(jìn)制按權(quán)展開整：除N2取余?。撼薔2取整原因：存在特殊關(guān)系：81=23；161=24第15頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六3、非十進(jìn)制數(shù)間的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制→八進(jìn)制、十六進(jìn)制(收縮法)3位二進(jìn)制=1位八進(jìn)制；

4位二進(jìn)制=1位十六進(jìn)制；二進(jìn)制、八進(jìn)制與十六進(jìn)制之間的互換第16頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六3、非十進(jìn)制數(shù)間的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制、八進(jìn)制與十六進(jìn)制之間的互換八進(jìn)制、十六進(jìn)制→二進(jìn)制(擴(kuò)展法)1位八進(jìn)制=3位二進(jìn)制1位十六進(jìn)制=4位二進(jìn)制;第17頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六3、非十進(jìn)制數(shù)間的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制、八進(jìn)制與十六進(jìn)制之間的互換八進(jìn)制→十六進(jìn)制(通過二進(jìn)制轉(zhuǎn)換)

1位八進(jìn)制=3位二進(jìn)制1位十六進(jìn)制=4位二進(jìn)制方法：通過擴(kuò)展法，把八進(jìn)制→二進(jìn)制再通過收縮法，把二進(jìn)制→十六進(jìn)制第18頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六3、非十進(jìn)制數(shù)間的轉(zhuǎn)換

在整數(shù)轉(zhuǎn)換中，是從小數(shù)點(diǎn)開始，由右往左確定二進(jìn)制的三位（或四位），取后不夠，則在數(shù)碼前補(bǔ)0，添足位數(shù)。注意：

在小數(shù)轉(zhuǎn)換中，是從小數(shù)點(diǎn)開始，由左往右確定二進(jìn)制的位數(shù)，取后不夠，在末位補(bǔ)0，添足位數(shù)。第19頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六

例5

將（741.566）8轉(zhuǎn)換成為二進(jìn)制數(shù)解

（741.566）8=數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換例6將（1011010.10111）2轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)解

（1011010.10111）2（111100001.101110110）2=（01011010.10111000）2

=（5A.B8）16即

（1011010.10111）=（5A.B8）16第20頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六各種數(shù)制都有算術(shù)運(yùn)算規(guī)則(加、減、乘、除)；二進(jìn)制數(shù)獨(dú)有邏輯運(yùn)算，又是計(jì)算機(jī)唯一識(shí)別和處理的數(shù)，所以，我們選取二進(jìn)制數(shù)作為講解的主要對象。三、數(shù)制運(yùn)算第21頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則(有進(jìn)位和借位)

加法1101減法1101+1011—1011

—————

—————

110000010

乘法1101除法×1011(略)

———

110111010000110110001111第22頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六

邏輯值只有兩個(gè)“T”與“F”或“Y”與“N”；我們知道，二進(jìn)制數(shù)也只有兩個(gè)值“1”與“0”，所以可用二進(jìn)制數(shù)表示邏輯值，并充分利用邏輯運(yùn)算的特點(diǎn)，快速地進(jìn)行信息的處理。二進(jìn)制數(shù)的邏輯運(yùn)算注意：運(yùn)算按位進(jìn)行，沒有進(jìn)位和借位。第23頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六邏輯加法+或∨（或運(yùn)算）例如：0+0=00+1=11+0=11+1=1

或表示成0∨0=00∨1=11∨0=11∨1=1邏輯乘法×或∧（與運(yùn)算）例如：0×0=00×1=01×0=01×1=1

或表示成0∧0=00∧1=01∧0=01∧1=1邏輯非運(yùn)算ˉ對0取非，則為1；對1取非，則為0；

邏輯異或運(yùn)算若兩個(gè)數(shù)相同，值為0；不同，則為1；即00=0；01=1；11=0。二進(jìn)制數(shù)的邏輯運(yùn)算第24頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六二進(jìn)制數(shù)的邏輯運(yùn)算例：若A=（1011）2，B=（1101）2，求A∨B；A∧B；ā；的值。1011∨

11011011∧

110111111001A∨B=（1111）2；A∧B=（1001）2；第25頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六四、二進(jìn)制數(shù)在計(jì)算機(jī)中的表示1、真值和機(jī)器數(shù)2）、真值數(shù)1）、機(jī)器數(shù)3）、溢出4）、數(shù)的范圍機(jī)器數(shù)表示的范圍受到字長和數(shù)據(jù)類型的限定用八位字長表示一個(gè)整數(shù)，則最大正數(shù)為01111111，即127。若超出127，則溢出。第26頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六計(jì)算機(jī)中的數(shù)是用二進(jìn)制來表示的，數(shù)的符號(hào)也是用二進(jìn)制表示的，把一個(gè)數(shù)連同其符號(hào)在機(jī)器中的表示加以數(shù)值化，這樣的數(shù)稱為機(jī)器數(shù)。一般用最高位來表示符號(hào).正數(shù)用0表示，負(fù)數(shù)用1表示。例：第27頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六2、數(shù)的定點(diǎn)和浮點(diǎn)表示2）、定點(diǎn)整數(shù)1）、定點(diǎn)小數(shù)計(jì)算機(jī)內(nèi)表示的數(shù)，主要分為定點(diǎn)小數(shù)、定點(diǎn)整數(shù)、與浮點(diǎn)數(shù)。定點(diǎn)數(shù)為小數(shù)點(diǎn)位置固定的數(shù)；浮點(diǎn)數(shù)為小數(shù)點(diǎn)位置不固定的數(shù)；第28頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六假設(shè)機(jī)器字長為16位，符號(hào)位為1位+1101101的存放形式為0000000001101101-0.1101101的存放形式為1110110100000000第29頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六它包括兩個(gè)部分：一是階碼（表示指數(shù)，記作E）；另一部分是尾數(shù)（表示有效數(shù)字，記作Ｍ）。設(shè)有任意數(shù)Ｎ可以表示為：Ｎ＝2ＥＭ，具體表示形式為：3）、浮點(diǎn)數(shù)第30頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六2、數(shù)的定點(diǎn)和浮點(diǎn)表示對于浮點(diǎn)數(shù)往往要進(jìn)行規(guī)格化處理：尾數(shù)部分的最高位必須不為零，數(shù)的實(shí)際大小可以通過移動(dòng)階碼進(jìn)行調(diào)整。例:（110.011）２＝1.10011×2+10=11001.1×2-10=0.110011×2+11浮點(diǎn)數(shù)表示形式0110

110011如一個(gè)32位浮點(diǎn)數(shù)，階碼用8位表示，尾數(shù)用24位規(guī)格化補(bǔ)碼表示00000011011001100000000000000000第31頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六例：假設(shè)機(jī)器字長為16位，符號(hào)位為1位，階碼4位，尾數(shù)12位+101.1101=0.1011101×211，

其浮點(diǎn)數(shù)存放形式為0011010111010000階碼的位數(shù)決定了表示數(shù)的范圍；尾數(shù)的位數(shù)決定了所表示數(shù)的精度；第32頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六在計(jì)算機(jī)中對帶符號(hào)數(shù)的表示方法有原碼、補(bǔ)碼和反碼三種形式。1）原碼規(guī)定符號(hào)位用數(shù)碼0表示正號(hào)，用數(shù)碼1表示負(fù)號(hào)，數(shù)值部分按一般二進(jìn)制形式表示數(shù)的絕對值。＋7:00000111＋0:00000000－7:10000111－0:10000000３、機(jī)器數(shù)的表示零有兩種表示方法第33頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六在計(jì)算機(jī)中對帶符號(hào)數(shù)的表示方法有原碼、補(bǔ)碼和反碼三種形式。＋7:00000111＋0:00000000－7:11111000－0:11111111２）反碼規(guī)定正數(shù)的反碼和原碼相同，負(fù)數(shù)反碼是對該數(shù)的原碼除符號(hào)位外各位求反３、機(jī)器數(shù)的表示零有兩種表示方法第34頁，共38頁，2023年，2月20日，星期六則[N1]原=01000100 [N2]原=1100