數(shù)列的概念與簡單表示法

數(shù)列的概念與簡單表示法第1頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六第2頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六4，5，6，7，8，9，10

從下往上鋼管的數(shù)目有什么規(guī)律？鋼管的總數(shù)是多少？如果增加鋼管的層數(shù)，有沒有更快捷的方法求出總數(shù)？1----2----3----4----5----6----7----想一想第3頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六15,5,16,16,28,32從1984到2004年金牌數(shù)

奧運

之光第4頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六

在本章我們將學(xué)習(xí)數(shù)列的知識，學(xué)完后解決這類問題那是小菜一碟，我們拭目以待。。。第5頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六2.1數(shù)列的概念與簡單

表示法第6頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六

教學(xué)目標

（1）理解數(shù)列的概念及數(shù)列的表示方法（列表法、圖象法、通項公式法）,能用函數(shù)的觀點認識數(shù)列;

（2）了解數(shù)列的通項公式和遞推公式的意義,會根據(jù)數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的任意一項;

（3）知道遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項.知識與能力第7頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六過程與方法（1）培養(yǎng)觀察能力，推理能力，發(fā)展有條理地邏輯能力；（2）經(jīng)歷探索數(shù)列的遞推公式的的過程，體會利用遞推公式獲得數(shù)列每一項的過程．第8頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六情感態(tài)度與價值觀（1）經(jīng)歷和體驗數(shù)學(xué)活動的過程以及數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心；（2）讓學(xué)生在民主、和諧的氛圍中感受學(xué)習(xí)的樂趣；（3）在探索求數(shù)列通項公式及其運用的過程中，培養(yǎng)一定的邏輯關(guān)系.第9頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六

重點：數(shù)列的概念及數(shù)列的通項公式，數(shù)列遞推公式的概念.教學(xué)重難點

難點：各項的特點找出規(guī)律寫出前n項的通項公式.根據(jù)遞推關(guān)系求通項公式.第10頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六

數(shù)列是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一個銜接點歷來是高考考察的重點，突出考察考生的思維能力、邏輯推理能力及解決問題的能力.有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常在數(shù)列知識、函數(shù)知識和不等式等知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點命題。學(xué)習(xí)中應(yīng)注意應(yīng)用“聯(lián)系”的思想、從特殊到一般的思想方法，也要掌握常用方法．考點分析及學(xué)法指導(dǎo)第11頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六

請觀察:(1)2,3,4,5,6,(2)

1，3，32

，33，34，…(3)0,10,20,30,…,1000(5)-1,1,-1,1,-1,…(4)….(6)66,56,34,21,11…第12頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六

向上面的例子中，按一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列.

數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.各項依次叫做這個數(shù)列的第1項，第2項，······，第n項，······

數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，…，an，…

其中an是數(shù)列的第n項。簡記為{an}.第13頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)列的分類(1)按項分類：可以分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列.有窮數(shù)列:項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列:項數(shù)無限的數(shù)列第14頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六(2)按的增減性分類：遞減數(shù)列:從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列.擺動數(shù)列;如果從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項，這樣的數(shù)列叫擺動數(shù)列.常數(shù)列:如果它的每一項都相等，這個數(shù)列叫做常數(shù)列.遞增數(shù)列:從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列.第15頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六

上述6個數(shù)列中的項與序號的關(guān)系有沒有規(guī)律？如何總結(jié)這些規(guī)律？

數(shù)列中的每一個數(shù)都對應(yīng)著一個序號，反過來，每個序號也都對應(yīng)著一個數(shù).如數(shù)列（1）序號12345項23456←←←←←

如果已知一個數(shù)列的通項公式，那么依次用1，2，3，….代替公式中的n，就可以求出這個數(shù)列的各項.第16頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六

從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N＊（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)自變量從小到大一次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，且數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.數(shù)列可以用圖像來表示：（見下頁）

注意:圖像上這些點都是孤立的！第17頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六anOn123456710987654321數(shù)列圖象是一些點an=n+1的圖象第18頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六

如果數(shù)列{an}中的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，則稱此公式為數(shù)列的通項公式.也滿足時，才是數(shù)列的通項公式.注意：只有當a1第19頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六注意:有些數(shù)列的通項公式并不唯一，如數(shù)列(5)并不是所有的數(shù)列都有通項公式，如數(shù)列(6)第20頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六

數(shù)列通項公式an=2n-1（n≤64),只要依次用n=1，2，3，4，…64代替公式中的n，就可以求出各項，也就是說，a1=1,a2=2=2a1

a3=4=2a2……a64=263=2a63即：a1=1,an=2an-1(2≤n≤64)遞推公式第21頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六

向上面那樣，如果已知數(shù)列{an}的第一項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.第22頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六題型1

根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式

解決本類問題關(guān)鍵是觀察歸納各項與對應(yīng)的項數(shù)之間的聯(lián)系．同時.要善于利用我們熟知的一些基本數(shù)列，建立合理的聯(lián)想，轉(zhuǎn)化而達到問題的解決．第23頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六例1

觀察下面數(shù)列的特點，用適當?shù)臄?shù)填空，并寫出每個數(shù)列的一個通項公式：（1）（）,（2）1，2，4，8，（），32第24頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六答案（1）括號內(nèi)填，通項公式為:an=（2）括號內(nèi)填16，通項公式為:an=2n-1分析

（1）根據(jù)觀察：分母的最小公倍數(shù)為12，把各項都改成以12為分母的分數(shù).

（2）一看都是2的倍數(shù)，則要分析是2的幾次冪.第25頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六例2(1)3，8，15，24，…-1,3,-6,10,…1,0,0,0,…6，66，666，6666，…

寫出下面數(shù)列的通項公式，是它們的前四項分別是下列各數(shù)：第26頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六例2解析:(1)注意觀察各項與對應(yīng)序號的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6

所以an=n(n+2)。

本小題也可以與數(shù)列4，9，16，25，…(n+1)2比較，得出：an=(n+2)2-1=n(n+2).第27頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六(2)各項的公共特點是負正相間。觀察各項絕對值與對應(yīng)序號關(guān)系，初看找不到規(guī)律，可將各項絕對值試遲疑序號：=1===2==所以：=于是an=(-1)n●第28頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六

數(shù)列分子是1，0重復(fù)變化，可看成是數(shù)列1，-1，1，-1…對應(yīng)項和的組成的新數(shù)列，分母是自然數(shù)列的各項，故所給數(shù)列的通項公式是(3)所給數(shù)列可改寫為…an=第29頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六(4)

將題設(shè)數(shù)列與數(shù)列9，99，999，9999，99999，……an=10n-1總結(jié)評述

已知一個數(shù)列的前幾項，寫出這個數(shù)列的一個通項公式時，將這個數(shù)列向我們熟悉的數(shù)列劃歸，是一種重要的思路.相比較，可得an=(10n-1)第30頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六常見數(shù)列的通項公式：（1）-1，1，-1，1，-1，1…，an=(-1)n（2）1，2，3，4，5，…，an=n（3)2，4，6，8，10…，an=2n（4）1，3，5，7，9…，an=2n-1（5）1，4，9，16，25…，an=n2(6)9，99，999，9999…，an=10n-1第31頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六

此題型大致分兩類。一類是根據(jù)前幾項的特點歸納猜想出的表達式。然后用數(shù)學(xué)歸納法證明：另一類是將已知遞推關(guān)系式，用代數(shù)的一些變形技巧整理變形。然后采用累加法、累乘法、迭代法、換元法、或轉(zhuǎn)化基本數(shù)列(等差或差比)方法求算通項．題型2

已知數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項第32頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六例3

已知數(shù)列{an}滿足下列條件，寫出它的前5項，并歸納出數(shù)列的一個通項公式。a1=0，an+1=an+(2n-1)解:∵a1=0，an+1=an+(2n-1)∴a2=a1+(2×1-1)=1a3=a2+(2×2-1)=4a4=a3+(2×3-1)=9a5=a4+(2×4-1)=16∴數(shù)列{an}為：0，1，4，9，16，…∴an=(n-1)2第33頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六例4

已知數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=5，a4=23，且an+1=Xan+Y,求實數(shù)X、Y的值.分析：通過地推公式求出a2，a4，解方程組，即求出未知數(shù)X、Y.解：由已知可得a2=Xa1+Y即：5=2X+Ya3=Xa2+Y=5X+Ya4=Xa3+Y=X(5X+Y)+Y即：23=5a2+Xa+Y①②第34頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六聯(lián)立①、②得方程組2X+Y=55a2+Xa+Y=23解之得：X=2Y=1

或X=-3Y=11第35頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六1、數(shù)列的概念

數(shù)列是按照一定次序構(gòu)成的一列數(shù)，其中數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列的靈魂.2、數(shù)列的通項公式

并非每一個數(shù)列都可以寫出通項公式；有些數(shù)列的通項公式也并非是唯一的.課堂小結(jié)

如果數(shù)列{an}中的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，則稱此公式為數(shù)列的通項公式.第36頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六3、數(shù)列的分類按項分類：有窮數(shù)列：項數(shù)有限無窮數(shù)列：項數(shù)無限按的增減性分類：遞增數(shù)列：遞減數(shù)列：擺動數(shù)列：常數(shù)數(shù)列：第37頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六如何求數(shù)列{an}的通項公式an的最大值？﹖探索延拓創(chuàng)新一◆第38頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六思路一思路二

數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，我們可以利用函數(shù)求最值的方法去求解數(shù)列中的最值問題.利用數(shù)列的單調(diào)性求解.

判斷數(shù)列的單調(diào)性往往只需要比較相鄰兩項an和an+1的大小。這一點源于函數(shù)的單調(diào)性而有充分利用了數(shù)列的特殊性.第39頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六思路三利用an最大的一個必要條件

首先求得滿足條件的n的取值范圍，然后找出此范圍內(nèi)的正整數(shù)的值，最后比較它們對應(yīng)項的大小，其中最大的一項就是an的最大值.an≥an-1an≥an+1求解.第40頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六◆﹖數(shù)列的通項公式an與前n項和公式sn探索延拓創(chuàng)新二第41頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六an=S1

，n=1Sn-Sn-1

，n≥2an

與前n項和Sn之間的關(guān)系式為：值得注意的是，

由前n項和sn求通項公式an=f(n)時，要n=1與n≥2兩種情況分別進行運算，然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一式子表示。若不能，就用分段函數(shù)表示.第42頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六探索延拓創(chuàng)新三斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列：

1、1、2、3、5、8、13、21、……

“斐波那契數(shù)列”的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契（LeonardoFibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍貫大概是比薩）.第43頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六有趣的是：這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項公式居然是用無理數(shù)來表達的.

這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和.它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（又叫“比內(nèi)公式”，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例.）（√5表示根號5）

第44頁，共49頁，2023年，2月20日，星期六隨堂練習(xí)

一、根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)3，5，9，