體積與表面積（練習(xí)）（含解析）2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

考點(diǎn)7-3體積與表面積1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120°的扇形，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出母線長(zhǎng)，再由圓錐的表面積公式求解即可.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，解得，則該圓錐的表面積為.故選：C.2．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，一個(gè)四分之一球形狀的玩具儲(chǔ)物盒，若放入一個(gè)玩具小球，合上盒蓋，可放小球的最大半徑為.若是放入一個(gè)正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長(zhǎng)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫(huà)出截面圖，設(shè)儲(chǔ)物盒所在球的半徑為，從而利用表達(dá)出小球最大半徑和正方體棱長(zhǎng)，進(jìn)而求出比值.【詳解】設(shè)儲(chǔ)物盒所在球的半徑為，如圖，小球最大半徑滿足，所以，正方體的最大棱長(zhǎng)滿足，解得：，∴，故選：D.4.（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E是側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為_(kāi)________.【答案】【分析】根據(jù)三棱錐的體積公式可求出結(jié)果.【詳解】點(diǎn)E到平面的距離為2，所以.故答案為：.5．（2022·遼寧·二模）市面上出現(xiàn)某種如圖所示的冰激凌，它的下方可以看作一個(gè)圓臺(tái)，上方可以看作一個(gè)圓錐，對(duì)該組合體進(jìn)行測(cè)量，圓臺(tái)下底面半徑為，上底面半徑為，高為，上方的圓錐高為，則此冰激凌的體積為_(kāi)______．【答案】【分析】先計(jì)算圓臺(tái)的體積，再計(jì)算圓錐的體積，二者相加即可.【詳解】圓臺(tái)的體積，圓錐的體積，總體積為，故答案為：

.6.（2022·天津·高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，因?yàn)椋?，因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，則,由可得平面，設(shè)重疊后的EG與交點(diǎn)為則則該幾何體的體積為.故選：D.7．（2022·全國(guó)·高考真題（理））甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.8．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.9.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，垂直底面，，，若三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則此三棱錐的側(cè)面積為_(kāi)__________.【答案】【分析】設(shè)三棱錐內(nèi)切球圓心為，以為頂點(diǎn)將三棱錐分為四個(gè)小三棱錐，通過(guò)三棱錐體積不變即可求出三棱錐的表面積進(jìn)而可求得三棱錐的側(cè)面積.【詳解】設(shè)三棱錐內(nèi)切球圓心為，以為頂點(diǎn)將三棱錐分為四個(gè)小三棱錐，則三棱錐的體積，垂直底面，三棱錐的體積，則通過(guò)三棱錐體積不變可知，.故答案為：.10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)古代的“牟合方蓋”可以看作是兩個(gè)圓柱垂直相交的公共部分，計(jì)算其體積所用的“冪勢(shì)即同，則積不容異”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的研究成果，根據(jù)此原理，取牟合方蓋的一半，其體積等于與其同底等高的正四棱柱中，去掉一個(gè)同底等高的正四棱錐之后剩余部分的體積（如圖1所示）．現(xiàn)將三個(gè)直徑為4的圓柱放于同一水平面上，三個(gè)圓柱的軸所在的直線兩兩成角都相等，三個(gè)圓柱的公共部分為如圖2所示的幾何體，該幾何體中間截面三角形邊長(zhǎng)為，則該幾何體的體積為_(kāi)__________．【答案】##【分析】由題設(shè)求出中間截面三角形的面積，再類比體積公式求解即可【詳解】根據(jù)題意，圖2立體圖形的一半，其體積等于與其同底等高的正三棱柱中，去掉一個(gè)與其同底等高正三棱錐之后的體積，因?yàn)樵搸缀误w中間截面三角形邊長(zhǎng)為，所以該底面積，因?yàn)閳A柱的直徑為4，所以該幾何體一半的高為2，所以對(duì)應(yīng)正三棱柱及三棱錐的高均為2，所以對(duì)應(yīng)正三棱柱的體積，正三棱錐的體積，所以該幾何體的體積為.故答案為：11.（2022·浙江·三模）在四棱錐中，．記三棱錐的體積分別為，四棱錐的體積分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由得即可判斷A，B選項(xiàng)；設(shè)三棱錐的體積分別為，同理得，則即可判斷C，D選項(xiàng).【詳解】由題意知：，設(shè)到平面的距離分別為，易得，則，，則，即，則A，B錯(cuò)誤；設(shè)三棱錐的體積分別為，設(shè)到平面的距離分別為，易得，則，，則，即，又，即，又，則C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知球O的體積為，高為1的圓錐內(nèi)接于球O，經(jīng)過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出球O半徑，平面截球O所得截面小圓半徑，圓錐底面圓半徑，再求出平面截圓錐所得的截面等腰三角形底邊長(zhǎng)及高即可計(jì)算作答.【詳解】球O半徑為R，由得，平面截球O所得截面小圓半徑，由得，因此，球心O到平面的距離，而球心O在圓錐的軸上，則圓錐的軸與平面所成的角為，因圓錐的高為1，則球心O到圓錐底面圓的距離為，于是得圓錐底面圓半徑，令平面截圓錐所得截面為等腰，線段AB為圓錐底面圓的弦，點(diǎn)C為弦AB中點(diǎn)，如圖，依題意，，，，弦，所以.故選：C13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知某正四棱錐的體積是，該幾何體的表面積最小值是，我們?cè)诶L畫(huà)該表面積最小的幾何體的直觀圖時(shí)所畫(huà)的底面積大小是，則和的值分別是（

）A．3； B．4； C．4； D．3；【答案】C【分析】設(shè)該正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，高為，由體積得到，再算出側(cè)面積和底面積，進(jìn)而得到該四棱錐的表面積，然后通過(guò)基本不等式求得答案.【詳解】如圖，O為底面ABCD的中心，E為BC的中點(diǎn)，連接PO，OE，設(shè)該正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，高為，且，由題意，.易有，，則，所以，，將代入并化簡(jiǎn)得：，于是，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”.易知，此時(shí)底面ABCD直觀圖的面積.故選：C.14．（2022·江西·新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））以為底的兩個(gè)正三棱錐和內(nèi)接于同一個(gè)球，并且正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為45°，記正三棱錐和正三棱錐的體積分別為和，則__________【答案】##【分析】作圖后由二面角的定義與勾股定理，列方程求出正三棱錐高與球的半徑之比，再得兩個(gè)三棱錐的高之比【詳解】如圖，正三棱錐和正三棱錐內(nèi)接于同一個(gè)球，設(shè)到底面的距離為，到底面的距離為，則，取的中點(diǎn)，連接，，，記與平面的交點(diǎn)為，由兩個(gè)正三棱錐和內(nèi)接于同一個(gè)球，故一定為球的直徑，記其中點(diǎn)為，且由題意可知，為正三角形的中心，因此，，分別為正三棱錐和正三棱錐的高，，由，，，且為的中點(diǎn)，可得，，，則為正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，，，記球的半徑為，于是，在中，由勾股定理可得，，解得，于是，則．故答案為：15．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，頂點(diǎn)P在底面的投影為O，點(diǎn)O到側(cè)面，側(cè)面，側(cè)面的距離均為d，若，．，且是銳角三角形，則三棱錐體積的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【分析】根