初中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖1-2023修改整理

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦初中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖1初中數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)圖

兩點(diǎn)說(shuō)明：

一、初中數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)總共包括代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)概率三部分。本資料亦根據(jù)這一架構(gòu)匯總。

二、背誦本資料請(qǐng)一定掌握以下三點(diǎn)：

1、背誦定義，不僅要背誦定義內(nèi)容，而且一定要銘記定義中的條件要素；

（注：大部分定義等同于公式，同樣可以用于解題。比如定義的條件就是挑選、填空甚至大題必考的考點(diǎn)。）

2、背誦公式，不僅要背誦公式內(nèi)容，而且一定要熟記書上的標(biāo)記例題，把握公式的運(yùn)用；

3、不管是背誦定義還是公式，頭腦中務(wù)須要時(shí)刻與平常所做的練習(xí)題尤其是錯(cuò)題結(jié)合起來(lái)，加深對(duì)有關(guān)公式

定義的理解。

（注：以上三條同樣適用于其他各學(xué)科。）

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1、代數(shù)（這部分主要包括實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程式、不等式、函數(shù)五個(gè)內(nèi)容。）

1.1實(shí)數(shù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。（實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。）

有理數(shù)：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。它是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)（帶循環(huán)節(jié)符號(hào)，如5.?

36?4）。1.1.1概念無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù)。（無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：①帶省略號(hào)；②與π有關(guān)；③帶根號(hào)且開(kāi)不盡。如5.63……；3π；3；33）

正整數(shù)：如1,2,3

整數(shù)零：0（0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)）

負(fù)整數(shù)：如-1，-2

①正分?jǐn)?shù)：如21，34，5.2

分?jǐn)?shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)：如-3.5，-65

有理數(shù)

（通常有正整數(shù)（正數(shù)“+”可省略不寫，“-”不可。但詳細(xì)生活題最好寫正號(hào)，如往東100米寫作“+100”）兩種分正有理數(shù)（我們經(jīng)常用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示一些具有相反意義的量。如往東計(jì)正，往西就計(jì)負(fù)）

類辦法）正分?jǐn)?shù)

②零：0

①負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)

1.1.2負(fù)分?jǐn)?shù)

實(shí)數(shù)正無(wú)理數(shù)

分類無(wú)理數(shù)

（通常負(fù)無(wú)理數(shù)

兩種）

正實(shí)數(shù)（包括正有理數(shù)和正無(wú)理數(shù)）

②零

負(fù)實(shí)數(shù)（包括負(fù)有理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù)）

1.1.3實(shí)數(shù)的幾個(gè)概念及關(guān)系（注：要深刻理解相反數(shù)、肯定值在數(shù)軸上的表述意義。重要?。?！把握好可迅速解有關(guān)方程式。）

①概念：畫一條水平直線，在直線上取一點(diǎn)表示0（這個(gè)點(diǎn)叫原點(diǎn)），選取某一長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，規(guī)定直線上向右的

方向?yàn)檎较?，就得到一條數(shù)軸。（注：數(shù)軸是一條直線。）

原點(diǎn)

②三要素正方向

A.數(shù)軸單位長(zhǎng)度

③意義：數(shù)軸將數(shù)與圖形完善結(jié)合起來(lái)，讓數(shù)的大小和方程的解集等在圖形上變得更直觀。（注：每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸

上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。但是說(shuō)數(shù)軸上的點(diǎn)都表示有理數(shù)是錯(cuò)誤的，由于還有無(wú)理數(shù)。可以說(shuō)每一個(gè)點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)是對(duì)的。）

④比較大?。簲?shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

①概念：假如兩個(gè)數(shù)惟獨(dú)符號(hào)不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。

（0的相反數(shù)是0）

②在數(shù)軸上的表述：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且它們到原點(diǎn)的距離相等。反之，在

數(shù)軸上，與原點(diǎn)等距離的點(diǎn)表示的數(shù)有兩個(gè)，即相反數(shù)。（重要！?。?/p>

B相反數(shù)ＡＢ

┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴

０

兩個(gè)相反數(shù)相加等于零：a，b互為相反數(shù)，則；反之，a+b=0則a、b互為相反數(shù)。

③性質(zhì)及數(shù)學(xué)表達(dá)式

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4/16零減去一個(gè)數(shù)等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)：0-b=a，則a、b互為相反數(shù)。

①概念：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離叫該數(shù)的肯定值。（注：距離不能是負(fù)數(shù)，所以肯定值都是非負(fù)數(shù)。）

正數(shù)的肯定值是它本身：a=a（a＞0）

②肯定值的性質(zhì)及負(fù)數(shù)的肯定值是它的相反數(shù)：a=-a（a＜0）

數(shù)學(xué)表達(dá)式0的肯定值是0：0=0

一個(gè)減法式子的肯定值等于大數(shù)減小數(shù)：ba-=b-a（b＞a）如π-14.3=-（3.14-π）=π-3.14

兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，肯定值大的反而小：a＜0，b＜0，a＜b，則a＞b

③肯定值的幾何意義：

（由于有數(shù)軸這個(gè)圖形，所以就是幾何）從肯定值的定義中，我們可以看出，肯定值就是數(shù)軸

上一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以a就是點(diǎn)a到原點(diǎn)的距離，而兩點(diǎn)之間的距離是兩個(gè)

數(shù)相減，所以a也可以表示成0-a，所以a=0-a。

推而廣之，數(shù)軸上點(diǎn)a到點(diǎn)b的距離就可以表示成ba-；

ba+就是點(diǎn)a到點(diǎn)-b的距離。由于ba+=)(ba--

如32-就是數(shù)軸上點(diǎn)2到3的距離；32+就是點(diǎn)2到點(diǎn)-3的距離。

④肯定值的幾何意義在解方程式和不等式中的應(yīng)用：C肯定值

解方程和不等式，一種辦法就是用傳統(tǒng)辦法，就是先推斷數(shù)的正負(fù)然后脫肯定值，這樣做比較棘手，尤

其是做挑選題和填空題，也簡(jiǎn)單出錯(cuò)；另一種辦法就是利用幾何意義解題。

例1、3+x=7解題辦法：①傳統(tǒng)做法（略）

②幾何意義解題：先畫數(shù)軸，然后標(biāo)出-3，再找左右兩邊哪個(gè)數(shù)與-3的距離是7。-3

┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴

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例2、3-x+4+x=9

-43

┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴071+x+3-x+4+x=9（思量題）

例3、3-x+4+x＞9

例4、求3-x+4+x最小值（注：當(dāng)x在兩點(diǎn)之間時(shí)，x到兩點(diǎn)之間的距離和最短。線段最短。最小值為前數(shù)減后數(shù)（兩

數(shù)都帶前邊的符號(hào)）的肯定值。即ax-+bx-的最小值是)(ba，x的取值范圍

在兩數(shù)之間。）

例5、求3-x-4+x最大值（注：當(dāng)x大于等于或小于等于被減數(shù)里邊的數(shù)的相反數(shù)時(shí)，值最大，最大值為前數(shù)減后數(shù)

（兩數(shù)都帶前邊的符號(hào)）的肯定值；當(dāng)x在兩點(diǎn)中間時(shí)，值最小，最小值是0。即

ax--

bx-最大值時(shí))(ba，x≤-(-b),b在數(shù)軸最左邊；x≥-(-b)，b在

數(shù)軸最右邊。ax--bx-最小值為零，x=2)(ba。）

例6、3-x-4+x≤a，求a的取值范圍；3-x+4+x≥a，求a的取值范圍。

概念：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。D倒數(shù)

不為零的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，乘積為1：a×a1

=1（a≠0）

性質(zhì)及數(shù)學(xué)表達(dá)式：

0沒(méi)有倒數(shù)，±1的倒數(shù)是它本身。

（注：相反數(shù)、肯定值、倒數(shù)同樣適用于代數(shù)式。不過(guò)有一點(diǎn)需要注重：代數(shù)式要表明不等于零才干有倒數(shù)。）

1.1.4實(shí)數(shù)的運(yùn)算

同號(hào)相加，取相同的符號(hào)，并把肯定值相加。

法則異號(hào)相加，取肯定值大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的肯定值減去較小的肯定值。

一個(gè)數(shù)同零相加，仍得找個(gè)數(shù)。

A加法

加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a

運(yùn)算律

加法結(jié)合律：多個(gè)數(shù)相加，先把前幾個(gè)數(shù)相加，或者先把后幾個(gè)數(shù)相加，和不變。

即（a+b）+（c+d）=（a+d）+（c+b）

B減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即a-b=a+（-b）（注：由此可見(jiàn)，減法可以轉(zhuǎn)換成加法。）

C加減混合運(yùn)算（要注重正負(fù)號(hào)的變化。）

兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，肯定值相乘。

任何數(shù)同0相乘，積仍為0

法則多個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)打算，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積的符號(hào)為負(fù)；是偶數(shù)時(shí)，

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積的符號(hào)為正。

D乘法多個(gè)數(shù)與0相乘，積就為0。

乘法交換律：axb=bxa

運(yùn)算律乘法結(jié)合律：（axb）xc=ax（bxc）

乘法分配律：（a+b）xc=axc+bxc(可參看六年級(jí)上冊(cè)第49頁(yè)例題3)

兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把肯定值相除。

E除法法則0除以任何數(shù)，都得0。（注：0不能作除數(shù)。）(0÷a=0，a≠0)

除以一個(gè)數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。（a÷b=a×b1）

①概念：求n個(gè)相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫做乘方（an）。

乘方的結(jié)果an叫做冪，a叫底數(shù)，n叫指數(shù)，an讀作a的n次冪或a的n次方。

②數(shù)學(xué)表達(dá)式：an=axaxa…xa

n個(gè)a

F乘方

⑴正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)。（a＞0，an＞0）

⑵負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，奇次冪是負(fù)數(shù)。（a＜0，a2n＞0；a2n+1＜0）

⑶指數(shù)相同，底數(shù)越大，冪越大；底數(shù)相同，指數(shù)越大，冪不一定越大。如(-3)2＞（-3）3

③法則⑷1的任何次冪都是1。（1n=1）

⑸任何數(shù)（0除外）的0次冪都是1。（a0=1，a≠0）

⑹0的正整數(shù)次冪是0，0的0次冪和負(fù)次冪不存在。（n＞0，0n=0）

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⑺-1的奇次冪是它本身-1；偶次冪是1。[(-1)2n=1;(-1)2n+1=-1]（參看六年級(jí)上冊(cè)53頁(yè)例1、55頁(yè)例3）G混合運(yùn)算法則：先算乘方，再算乘除，最后算加減，假如有括號(hào)，先算括號(hào)里面的。

平方根：假如一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么x叫做a的平方根。記作±a，讀作“正

負(fù)根號(hào)a”。

①概念：算術(shù)平方根：兩個(gè)平方根中正的平方根叫做算術(shù)平方根。記作a。

如叫做9的平方根，3叫做9的算術(shù)平方根。

開(kāi)平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方。a叫做“被開(kāi)方數(shù)”。

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)。(如64的平方根64=±8)

0惟獨(dú)一個(gè)平方根，平方根和算術(shù)平方根都是0本身。

②性質(zhì)0和1的算術(shù)平方根分離是0和1本身（1的平方根不是它本身，是±1）

①開(kāi)平方

負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。（如9有平方根，即±9=±3。但-9卻沒(méi)有。）

0=0

（±a）2=a（a≥0）

③運(yùn)算

(±1)2=1;(±10)2=100;(±11)2=121;(±12)2=144;(±13)2=169;(±14)2=196;(±15)2=225;(±16)2=256;(±17)2=289;(±18)2=324;(±19)2=361;(±20)2=400;

H開(kāi)方

（注：開(kāi)平方時(shí)，先大約估算一下哪個(gè)數(shù)的平方等于被開(kāi)方數(shù)，然后驗(yàn)算一下。開(kāi)立方也是先估算一下哪個(gè)數(shù)的立方等于被開(kāi)方數(shù)，然后驗(yàn)算一下。）

立方根：一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根，也叫做a的三次方根。記

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①概念作3a（其中3是指數(shù)，a是被開(kāi)方數(shù)），讀作“三次根號(hào)a”。

開(kāi)立方：求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立方。

每個(gè)數(shù)都有一個(gè)立方根。

②開(kāi)立方

②性質(zhì)正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。

立方根等于它本身的是0、1、-1。

30=0；31=1；31=-1

③運(yùn)算

(3a)3=a；3a3=a

23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；83=512；93=729；103=1000（注：本節(jié)還有一節(jié)方根的估算。先看看哪兩個(gè)數(shù)的立方最臨近，然后通過(guò)驗(yàn)算，終于確定近似值。七年級(jí)上冊(cè)52頁(yè)做一做和例1）二次根式：形如a（a≥0）的式子，也就是算術(shù)平方根，叫做二次根式。ba（即bxa）也是二次根式。

最簡(jiǎn)二次根式：①被開(kāi)方數(shù)都不含分母，②并且被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。（注：為做題速度快，

也要嫻熟把握一些數(shù)的平方，然后化簡(jiǎn)時(shí)，用被開(kāi)方數(shù)除以這些數(shù)。

⑴概念參看八年級(jí)上冊(cè)130頁(yè)例5、例6以及自記的一些平方數(shù)。）

同類二次根式：幾個(gè)二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式后，假如被開(kāi)方數(shù)相同，就叫做同類二次根式。

①二次根式（即算術(shù)平方根）大于等于0。a≥0（a≥0）

②二次根式的平方等于它的被開(kāi)方數(shù)。(a)2=a（a≥0）

a(a≥0)

⑵性質(zhì)③一個(gè)數(shù)的平方的二次根式等于這個(gè)數(shù)或其相反數(shù)。2a=a=

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10/16-a(a＜0)

④積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。ab=a·b（a≥0，b≥0）（注：當(dāng)a、b都小于0時(shí)，先去掉負(fù)號(hào)。如)9()4(-?-=94?=4x9）

⑤商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根。ba=ba（a≥0，b≥0）（注同上）

I二次根