2019-20浙江省嘉興市第一高三期中考試數(shù)學試題

2021屆浙江省嘉興市第一高三上學期期中數(shù)學試題一、單項選擇題1．集合，，那么〔〕.A． B． C． D．【答案】C【解析】解出集合，求出集合的補集，再利用交集運算即可.【詳解】集合，，，，那么.應選：.【點睛】此題主要考查的是集合的補集、交集的運算，理解交集的含義是解題的關鍵，同時考查的是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的不等式的求法，是根底題.2．橢圓的離心率為，那么其焦距為〔〕.A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)離心率可以求出，由即可，即可得焦距.【詳解】根據(jù)題意得，解得，因此，所以焦距為.應選：B.【點睛】此題主要考查的是橢圓的幾何性質，熟知離心率公式，以及是解決此題的關鍵，考查計算能力，是根底題.3．設為復數(shù)，為其共軛復數(shù)，那么“〞是“〞的〔〕.A．充分必要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】結合共軛復數(shù)的概念，將兩個條件互相推導，根據(jù)結果判定充分、必要條件即可.【詳解】設，，而，那么，為充分條件；得不到，為不必要條件.“〞是“〞的充分不必要條件.應選：C.【點睛】此題主要考查的是共軛復數(shù)的概念，考查充分性、必要性的判斷，是根底題.4．平面且，是平面內一點，，是異于且不重合的兩條直線，那么以下說法中錯誤的選項是〔〕.A．假設且，那么 B．假設且，那么C．假設且，那么 D．假設且，那么【答案】D【解析】根據(jù)條件和線面位置關系一一進行判斷即可.【詳解】選項A：一條直線平行于兩個相交平面，必平行于兩個面交線，故A正確；選項B：垂直于兩垂直面的兩條直線相互垂直，故B正確；選項C：且得且，故C正確；選項D：且不一定得到，所以可以異面，不一定得到.應選：D.【點睛】此題主要考查的是空間點、線、面的位置關系的判定，掌握線面、線線之間的判定定理和性質定理是解決此題的關鍵，是根底題.5．設，滿足不等式組，假設的最大值為，最小值為，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕.A． B． C． D．【答案】B【解析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合確定z的最大值.【詳解】作出不等式組對應的平面區(qū)域〔如圖陰影局部〕，目標函數(shù)的幾何意義表示直線的縱截距，即，〔1〕當時，直線的斜率為正，要使得的最大值、最小值分別在處取得，那么直線的斜率不大于直線的斜率，即，.〔2〕當時，直線的斜率為負，易知最小值在處取得，要使得的最大值在處取得，那么直線的斜率不小于直線的斜率，.〔3〕當時，顯然滿足題意.綜上：.應選：B.【點睛】此題主要考查線性規(guī)劃的應用，結合目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的根本方法，確定目標函數(shù)的斜率關系是解決此題的關鍵.6．將編號為1，2，3，4，5，6，7的小球放入編號為1，2，3，4，5，6，7的七個盒子中，每盒放一球，假設有且只有三個盒子的編號與放入的小球的編號相同，那么不同的放法種數(shù)為〔〕.A．5040 B．24 C．315 D．840【答案】C【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：先在七個盒子中任選3個，放入與其編號相同的小球，由組合數(shù)公式可得放法數(shù)目，再假設剩下的4個盒子的編號為4、5、6、7，依次分析4、5、6、7號小球的放法數(shù)目即可，進而由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】第一步，任選球與盒編號相同的三個數(shù)字，有種情況；第二步，余下放入盒子的四個球的編號與盒子編號均不相同，也即四個元素的錯排問題.不妨設，剩下的4個盒子的編號為4、5、6、7，剩下的小球為4、5、6、7根據(jù)題意有，，，，，，，共9種情況，根據(jù)乘法原理，共種放法，應選：C.【點睛】此題主要考查的是分步計數(shù)原理，以及組合數(shù)公式的應用，理解分步計數(shù)原理是解題的關鍵，是根底題.7．，隨機變量滿足，其中，假設，那么〔〕.A． B． C．1 D．【答案】B【解析】根據(jù)分布列的性質計算，再根據(jù)方差公式計算，即可得出答案.【詳解】0，解得，從而，那么.應選：B.【點睛】此題考查離散型隨機變量的期望和方差，由題意得熟記離散型隨機變量的期望和方差的計算公式是解題的關鍵，是中檔題.8．實數(shù)，滿足，且，那么的最小值為〔〕.A． B． C． D．【答案】B【解析】令，用表示出，根據(jù)題意知，利用的代換后根據(jù)根本不等式即可得的最小值.【詳解】，令，解得，那么，，當且僅當，即，即即時取等號.應選：B.【點睛】此題主要考查的是利用根本不等式求最值的問題，換元后根據(jù)1的代換是解題的關鍵，考查學生的計算能力，是中檔題.9．可導函數(shù)的導函數(shù)為，假設對任意的，都有，且為奇函數(shù)，那么不等式的解集為〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】設，由得故函數(shù)在上遞減，由為奇函數(shù)，得，即不等式，即綜合函數(shù)的單調性得故不等式的解集是故答案選點睛：這類問題需要構造新函數(shù)，遇到減法時〔如〕構造除法〔〕，或由問題出發(fā)，別離出2021，然后求導，利用函數(shù)單調性求不等式。10．數(shù)列滿足，，那么使的正整數(shù)n的最小值是〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．2021【答案】C【解析】令，利用累加法求解的表達式，再設當時，，當時，，所以當時，，然后求出的范圍，從而根據(jù)范圍求解正整數(shù)n的最小值即可.【詳解】令，那么，兩邊取倒數(shù)可得，，，，…，以上式子相加可得，又，，因為，所以數(shù)列單調遞增，設當時，，當時，，所以當時，，那么，，從而，那么，因此，，又，，使an>1的正整數(shù)n的最小值是2021.應選C.【點睛】此題考查累加法求數(shù)列的通項公式，考查構造數(shù)列的方法，訓練學生的邏輯推理能能力和計算求解能力，此題關鍵在于構造數(shù)列并求出其范圍，綜合性較強，屬難題.二、填空題11．我國古代數(shù)學著作?算法統(tǒng)宗?中記載了這樣一道題：“以繩測井，假設將繩三折測之，繩多四尺：假設將繩四折測之，繩多一尺.繩長，井深各幾何？〞其大意為：“用繩子測量井的深度，假設將繩三等分，那么繩比井的深度長四尺：假設將繩四等分，那么繩比井的深度長一尺.〞那么繩長________尺，井深________尺.【答案】368【解析】利用等量關系，列方程解之即可.【詳解】設繩長為x尺，井深為h尺，依題意有：，解得，所以繩長為36尺，井深為8尺.故答案為：；.【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，不變的是井深，用代數(shù)式表示井深是此題的關鍵，是根底題.12．一個幾何體的三視圖如下圖，其中，正視圖中是邊長為2的正三角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何體的體積為________，外表積為________.【答案】【解析】幾何體是正六棱錐，根據(jù)正視圖中是邊長為2的正三角形求得正六棱錐的底面邊長、側棱長及斜高，把數(shù)據(jù)代入體積、外表積公式計算.【詳解】由三視圖可知幾何體是正六棱錐，底面邊長為1，側棱長為2，六棱錐的高為，側面的斜高為，該幾何體的體積為.該幾何體的外表積為.故答案為：；.【點睛】此題考查空間圖形的三視圖，考查由三視圖復原直觀圖，考查棱錐的的外表積公式、體積公式，是根底題.13．，那么項的二項式系數(shù)是________；________.【答案】1564【解析】項的二項式系數(shù)是,點睛：賦值法研究二項式的系數(shù)和問題“賦值法〞普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可.14．在中，，，為上一點且滿足，那么當最大時，________，的面積為________.【答案】【解析】根據(jù)題意找出直角三角形，找出點的位置，利用正切求出最大時和的面積即可.【詳解】取的中點為，設，那么，，當且僅當時最大，即最大，此時，.故答案為：；.【點睛】此題主要考查的是兩角差的正切公式的應用，根本不等式的應用，以及三角形面積公式的應用，考查學生的分析問題和解決問題的能力，是中檔題.15．點是雙曲線右支上的一點，，分別為其左右焦點，線段交的左支于點，那么________.【答案】【解析】將代入雙曲線求出，再利用雙曲線定義可得，轉化為后即可求出結果.【詳解】點是雙曲線右支上的一點，可知，，，解得.，根據(jù)雙曲線可得，且，.故答案為：.【點睛】此題主要考查的是雙曲線的定義的應用，考查雙曲線的幾何性質，考查學生的分析和解決問題的能力，屬于中檔題.16．AD是直角三角形ABC的斜邊BC上的高，點P在DA的延長線上，且滿足.假設AD＝，那么的值為________．【答案】2【解析】由AD為高，運用向量的數(shù)量積可得，結合AD＝，可求得，再由，即可求值.【詳解】如圖，由AD為高，得因為,所以,即,即,所以，，.故答案為：2【點睛】此題主要考查向量的數(shù)量積的運算，考查向量的轉化，意在考查學生對這些知識的理解能力掌握水平和分析推理能力.17．如圖，在中，，，.過的中點的動直線與線段交于點.將沿直線向上翻折至，使得點在平面內的投影落在線段的軌跡長度為________.【答案】【解析】建立空間坐標系，求出的軌跡，根據(jù)折疊過程中量之間的關系的，可得的取值范圍，進而得到圓心角，從而弧長即點的軌跡長度.【詳解】因為翻折前后長度不變，所以點可以在空間中看做以為球心，AC為直徑的球面上，又因為的投影始終在上，所以點所在的面垂直于底面，故點軌跡為垂直于底面ABC的豎直面去截球所得圓面的圓弧，這個圓弧的直徑為時，的長度〔由余弦定理可得，所以此時〕，如圖，以底面點B為空間原點建系，根據(jù)底面幾何關系，得點，點，設點，翻折后點的投影在軸上，所以點縱坐標為0，即由，，根據(jù)空間兩點之間距離公式可得軌跡：，又因為動點要符合空間面翻折結論：，即，其中，又動點N在線段AB上動，設，故，且，由，可計算得橫坐標范圍為，且點在上方，由，計算可得圓弧所在扇形圓心角為，所以弧長為.故答案為：.【點睛】此題主要考查的是圖形翻折問題，注意翻折前和翻折后變的量和不變的量，以及線的關系，建立空間直角坐標系，找出的軌跡，以及求出的范圍是解決此題的關鍵，考查學生的空間想象能力，是難題.三、解答題18．角，的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，點，分別在，的終邊上.〔1〕求的值；〔2〕設函數(shù)，求的最小正周期和單調遞減區(qū)間.【答案】〔1〕；〔2〕的最小正周期為，單調遞減區(qū)間【解析】〔1〕根據(jù)三角函數(shù)定義，以及二倍角公式和兩角差的余弦公式即可得的值；〔2〕根據(jù)題意化簡函數(shù)后利用周期公式，正弦函數(shù)的單調區(qū)間即可求得的最小正周期和單調遞減區(qū)間.【詳解】〔1〕由得，，所以，.〔2〕由，得，所以，最小正周期為.由，解得.的單調遞減區(qū)間為.【點睛】此題主要考查的是三角函數(shù)的定義，余弦的二倍角公式的應用，兩角和差的余弦公式的應用，考查的是正弦函數(shù)圖像和性質，考查學生的分析問題和解決問題的能力，是中檔題.19．如圖，四邊形是正方形，四邊形為矩形，，為的中點.〔1〕求證：平面；〔2〕二面角的大小可以為嗎？假設可以求出此時的值，假設不可以，請說明理由.【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕可以，【解析】〔1〕利用線面垂直的判定定理證明即可；〔2〕假設可以，建立空間直角坐標系，根據(jù)法向量求出二面角的大小，同時可以求出的值.【詳解】〔1〕證明：四邊形ABCD是正方形，四邊形BDEF為矩形，，又為平面ABCD內兩條相交直線，平面ABCD.〔2〕假設二面角C-BG-D的大小可以為60°，由〔1〕知BF⊥平面ABCD，以A為原點，分別以AB，AD為x軸，y軸建立空間直角坐標系，如下圖，不妨設AB=AD=2，，那么，，，，EF的中點，，，設平面BCG的法向量為，那么，即，取.由于，平面BDG,平面BDG,平面BDG的法向量為.由題意得，解得，此時.當時，二面角的大小為60°.【點睛】此題主要考查的是線面垂直的證明，利用線面垂直的判定定理證明是解此題的關鍵，以及向量法面與面所成角的求法，考查學生的邏輯推理能力，是中檔題.20．數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足，是數(shù)列的前項和，且，.〔1〕求，的通項公式；〔2〕設，是數(shù)列的前，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】〔1〕；；〔2〕【解析】〔1〕根據(jù)題意求出等比數(shù)列是數(shù)列的公比，即可求出的通項公式，再根據(jù)，先求出的通項，再求的通項公式即可；〔2〕用待定系數(shù)法將列項，求出其前前項和，再根據(jù)，即可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】〔1〕，，又，，，，，，又滿足，，〔2〕，，由系數(shù)相等得：，，恒成立，恒成立，又為減函數(shù)，時，，，即.【點睛】此題主要考查的是數(shù)列通項公式的求法以及數(shù)列求和的常用方法，考查利用求通項是要注意驗證時，列項求和的方法的應用，考查學生的分析和計算能力，以及化歸與轉化，是中檔題.21．如圖，拋物線和點，過點作直線分別交于，兩點，為線段的中點，為拋物線上的一個動點.〔1〕當時，過點作直線交于另一點，為線段的中點，設，的縱坐標分別為，.求的最小值；〔2〕證明：存在的值，使得恒成立.【答案】〔1〕的最小值為4；〔2〕證明見解析.【解析】〔1〕根據(jù)題意設出直線與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理及中點坐標公式表示出，的縱坐標，根據(jù)根本不等式即可的最小值；〔2〕分不經(jīng)過點Q和經(jīng)過點Q，不經(jīng)過時根據(jù)題意可得，由〔1〕聯(lián)立方程及韋達定理可得關于的方程，根據(jù)方程恒成立即可得到的值，再驗證經(jīng)過點Q即可.【詳解】〔1〕因為分別交于A、B兩點，所以不平行于軸.設，，聯(lián)立與C方程，得，且由韋達定理可得.因為分別交于A、B兩點，所以不平行于軸，即，又因為，設，聯(lián)立與C方程，得，且，因為N為線段QD的