數(shù)字信號處理a（雙語）cha

Chapter9

IIRDigitalFilterDesign.IIRDigitalFilterDesign.BasicIdeaForIIRFilterDesignThisapproachhasbeenwidelyusedforthereasons:AnalogapproximationtechniquesarehighlyadvancedTheyusuallyyieldclosed-formsolutionsExtensivetablesareavailableforanalogfilterdesignManyapplicationsrequiredigitalsimulationofanalogsystems.BasicIdeaForIIRFilterDesign

MostcommonapproachtoIIRfilterdesign:1.Convertthedigitalfilterspecificationsintoananalogfilterspecifications2.Determinetheanalogtransferfunction3.Transformintothedesireddigitaltransferfunction.IIRDigitalFilterDesign.......IIRDigitalFilterDesign.模擬低通原型濾波器巴特沃茲濾波器（Butterworth）切比雪夫?yàn)V波器（chebeshev）橢圓濾波器（episoide）一般說來，相同指標(biāo)下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。

.IIRDigitalFilterDesign..................通過模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器的過程Ha(s)G(z).的映射關(guān)系應(yīng)滿足(1)數(shù)字濾波器頻響應(yīng)能模仿模擬濾波器頻響.(2)因果穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)變換為數(shù)字系統(tǒng)仍為因果穩(wěn)定的..9.1PreliminaryConsiderations9.2TransformationMethodofIIRFilterDesign9.3DesignofLowpassIIRDigitalFilters9.4DesignofHighpass,Bandpass,andBandstopIIRDigitalFilters9.5SpectralTransformationsofIIRFiltersChapter9

IIRDigitalFilterDesign.IIR濾波器設(shè)計—脈沖響應(yīng)不變法見課本Page451problem9.61、脈沖響應(yīng)不變法的原理、映射規(guī)則及公式2、脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)、缺點(diǎn)3、舉例說明脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計過程。.思路：.到底有怎樣的映射關(guān)系？.S平面上每一條寬為的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個平面上；

每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內(nèi)；每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以外；軸映射到單位圓上，軸上每一段都對應(yīng)于繞單位圓一周。映射關(guān)系的映射關(guān)系滿足要求了嗎？

.S平面Z平面的映射關(guān)系.S平面上每一條寬為的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個平面上；

映射關(guān)系.S平面Z平面的映射關(guān)系.S平面上每一條寬為的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個平面上；

每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內(nèi)；每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以外；映射關(guān)系.S平面Z平面的映射關(guān)系.S平面上每一條寬為的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個平面上；

每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內(nèi)；每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以外；軸映射到單位圓上，軸上每一段都對應(yīng)于繞單位圓一周。映射關(guān)系結(jié)論——脈沖響應(yīng)不變法滿足變換的映射條件.S平面Z平面

★脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系不是一一對應(yīng)的.(2)頻率響應(yīng)的模仿情況模擬離散化數(shù)字頻域時域周期化.數(shù)字濾波器的頻響并不是簡單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓.如采樣定律所討論，如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率ΩS/2以內(nèi)即

這時數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響(存在于折疊頻率ΩS/2以內(nèi)),否則將出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。.脈沖響應(yīng)不變法

1、脈沖響應(yīng)不變法的原理、映射規(guī)則及公式2、脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)、缺點(diǎn)3、舉例說明脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計過程。.脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn):1．頻率變換關(guān)系()是線性的，

=T，適用于線性相位濾波器；2．時域模仿特性好。1．可能出現(xiàn)頻率混疊現(xiàn)象；脈沖響應(yīng)不變法的缺點(diǎn)：因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通。適用于濾波器非零帶寬小于采樣頻率一半的場合。

.但任何一個實(shí)際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即混疊現(xiàn)象.

這時，數(shù)字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的頻響而帶有一定的失真。模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。.脈沖響應(yīng)不變法

1、脈沖響應(yīng)不變法的原理、映射規(guī)則及公式2、脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)、缺點(diǎn)3、舉例說明脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計過程。.模擬濾波器的頻率響應(yīng)為: 其幅頻響應(yīng)示于圖a例將一個具有如下歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)

的模擬濾波器數(shù)字化。解：

..模擬濾波器數(shù)字化.數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為:

顯然與采樣間隔T有關(guān)，如圖b。

T越小，衰減越大——這是因?yàn)門越小，采樣頻率越大，混疊越小，越接近模擬濾波器的頻響；當(dāng)fs=24Hz，混疊可忽略不計。.T越小，衰減越大——這是因?yàn)門越小，采樣頻率越大，混疊越小，越接近模擬濾波器的頻響；當(dāng)fs=24Hz，混疊可忽略不計。.脈沖響應(yīng)不變法小結(jié)1)脈沖響應(yīng)不變法的一個重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，ω＝ΩΤ，ω與Ω是線性關(guān)系。因此,如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過變換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。例如，線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍是線性相位的低通數(shù)字濾波器。

.2)在某些場合，要求數(shù)字濾波器在時域上能模仿模擬濾波器的功能時，如要實(shí)現(xiàn)時域脈沖響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響應(yīng)不變法。3)如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是穩(wěn)定的。

.4)脈沖響應(yīng)不變法的缺點(diǎn)——頻譜周期延拓效應(yīng).只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通；高頻部分衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小;至于高通和帶阻濾波器,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中，此時可增加一保護(hù)濾波器，濾掉高于的頻帶，再用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會增加設(shè)計的復(fù)雜性和濾波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)時才采用。..IIR濾波器設(shè)計—雙線性變換法.雙線性變換法1、雙線性變換法的基本思路、映射規(guī)則及公式。2、雙線性變換法的優(yōu)缺點(diǎn)3、舉例說明雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器的過程。.脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換z＝esT的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的.為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想:第一步：將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里；第二步：通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面上去。由此，建立S平面與Z平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。.2、再將映射到Z平面。1、將j軸的(

,)先壓縮到S1平面Z平面S平面一一對應(yīng).通常取c=2/T再將S1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面，即令S平面和S1平面的映射關(guān)系....ω和Ω為非線性關(guān)系，在頻率軸上引入了失真..雙線性變換法1、雙線性變換法的基本思路、映射規(guī)則及公式。2、雙線性變換法的優(yōu)缺點(diǎn)3、舉例說明雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器的過程。.雙線性變換法的優(yōu)點(diǎn)：S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系不會產(chǎn)生混疊現(xiàn)象；雙線性變換法的缺點(diǎn):Ω與ω成非線性關(guān)系.雖然雙線性變換有這樣的缺點(diǎn)，但目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計工具——這是因?yàn)?，大多?shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為∞的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。

.例如，一個考爾型的模擬濾波器Ha(s)，雙線性變換后，得到的H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性，只是通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率，以及起伏的峰點(diǎn)、谷點(diǎn)頻率等臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了非線性變化，即畸變。這種頻率點(diǎn)的畸變可以通過預(yù)畸來加以校正。.預(yù)畸——將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，然后通過雙線性變換后正好映射到所需要的頻率上。

注意：預(yù)畸不能在整個頻率段消除非線性畸變，只能消除模擬和數(shù)字濾波器在特征頻率點(diǎn)的畸變...置換過程:

頻響：.兩種方法的適用場合——1、當(dāng)著眼于濾波器的時域瞬態(tài)響應(yīng)時，采用脈沖響應(yīng)不變法較好；2、其他情況下，對于IIR的設(shè)計，大多采用雙線性變換。...IIRDigitalFilterDesignUsingBilinearTransformation forwhich|Ha(j0)|=00iscalledthenotchfrequencyIf|Ha(j2)|=|Ha(j1)|=1/2thenB=2-1isthe3-dBnotchbandwidth

Example-Considerthesecond-orderanalognotchtransferfunction.IIRDigitalFilterDesignUsingBilinearTransformationThenwhere.IIRDigitalFilterDesignUsingBilinearTransformationExample-Designa2nd-orderdigitalnotchfilteroperatingatasamplingrateof400Hzwithanotchfrequencyat60Hz,3-dBnotchbandwidthof6HzThus0=2(60/400)=0.3Bw=2(6/400)=0.03Fromtheabovevaluesweget

=0.90993=0.587785.IIRDigitalFilterDesignUsingBilinearTransformationThegainandphaseresponsesareshownbelowThus.9.1PreliminaryConsiderations9.2BilinearTransformationMethodofIIRFilterDesign9.3DesignofLowpassIIRDigitalFilters9.4DesignofHighpass,Bandpass,andBandstopIIRDigitalFilters9.5SpectralTransformationsofIIRFiltersChapter9

IIRDigitalFilterDesign.§9.3DesignofLPIIRDigitalFilterExample-DesignalowpassButterworthdigitalfilterwithp=0.25,s=0.55,p=0.5dB,ands=15dBAnalysis:If|G(ej0)|=1thisimplies20log10|G(ej0.25)|-0.520log10|G(ej0.55)|-15.§9.3DesignofLPIIRDigitalFilterSolution:Prewarping,weget(makingT=2)

p=tan(p/2)=tan(0.25/2)=0.4142136s=tan(s/2)=tan(0.55/2)=1.1708496AnalogfilterDesign.Butterworth模擬原型濾波器

階數(shù)N的求解——詳見Page577附錄A.2.a)MagnituderesponseforButterworthlowpassfilters:..Solvingtheequations

.§9.3DesignofLPIIRDigitalFilterTheinversetransitionratiois

1/k=s/p=2.8266809Theinversediscriminationratiois.§9.3DesignofLPIIRDigitalFilter

ChooseN=3

Wethengetc=1.419915p=0.588148.ButterworthApproximationthewayfordetermining:determinethefilterorderNbythemethodabovedeterminethenormalizedN-orderlowpassButterworthfilter()bylookingupthetableinwhichtheimpulseresponseofnormalizedlowpassButterworthfiltersareavailable(seethenextpage).obtainbydenormalizing.ButterworthApproximationN1234567.§9.3DesignofLPIIRDigitalFilter3rd-orderlowpassButterworthtransferfunctionforc=1is

Han(s)=1/(s3+2s2+2s+1)=1/[(s+1)(s2+s+1)]Denormalizingtogetc=0.588148wearriveat.§9.3DesignofLPIIRDigitalFilterApplyingbilineartransformationtoHa(s)wegetthedesireddigitaltransferfunctionMagnitudeandgainresponsesofG(z)shownbelow:.9.1PreliminaryConsiderations9.2BilinearTransformationMethodofIIRFilterDesign9.3DesignofLowpassIIRDigitalFilters9.4DesignofHighpass,Bandpass,andBandstopIIRDigitalFilters9.5SpectralTransformationsofIIRFiltersChapter9

IIRDigitalFilterDesign.§9.4IIRHighpass,Bandpass,andBandstopDigitalFilterDesign詳見附錄BPage598詳見附錄A.§9.4IIRHighpass,Bandpass,andBandstopDigitalFilterDesign.§9.4IIRHighpass,Bandpass,andBandstopDigitalFilterDesign.§9.4IIRHighpass,Bandpass,andBandstopDigitalFilterDesign.方法一和方法二的區(qū)別方法一：模擬低通原型濾波器——模擬高通、帶通、帶阻濾波器——數(shù)字高通、帶通、帶阻濾波器方法二：模擬低通原型濾波器——數(shù)字低通濾波器——數(shù)字高通、帶通、帶阻濾波器.§9.4.1IIRHighpassDigitalFilterDesignExample-DesignofaType1ChebyshevIIRdigitalhighpassfilterSpecifications:Fp=700Hz,Fs=500Hz,

p=1dB,s=32dB,FT=2kHzSolution:Normalizedangularbandedgefrequenciesp

=2Fp/FT=2700/2000=0.7rad/samples

=2Fs/FT=2500/2000=0.5rad/sample.Usingwegets=1.962105§9.4.1IIRHighpassDigitalFilterDesignAnaloglowpassfilterspecifications:p=1,s=1.926105,p=1dB,s=32dB

PrewarpingthesefrequencieswegetFortheprototypeanaloglowpassfilterchoose

p=1.§9.4.1IIRHighpassDigitalFilterDesignMATLABcodefragmentsusedforthedesign [N,Wn]=cheb1ord(1,1.9626105,1,32,‘s’) [B,A]=cheby1(N,1,Wn,‘s’); [BT,AT]=lp2hp(B,A,1.9626105); [num,den]=bilinear(BT,AT,0.5);.§9.4.1IIRHighpassDigitalFilterDesignTheprocedureofdesign（supposingit’sabutterworthfilter）.§9.4.2IIRBandpassDigitalFilterDesignExample-DesignofaButterworthIIRdigitalbandpassfilterSpecifications:p1=0.45,p2=0.65,s1=0.3,s2=0.75,p=1dB,s=40dBSolution:Prewarpingweget.§9.4.2IIRBandpassDigitalFilterDesignFortheprototypeanaloglowpassfilterwechoosep=1WidthofpassbandWesetWethereforemodifysothatandexhibitgeometricsymmetrywithrespectto.§9.4.2IIRBandpassDigitalFilterDesignSpecificationsofprototypeanalogButterworthlowpassfilter:p=1,s=2.3617627,p=1dB,s=40dBUsingweget.§9.4.2IIRBandpassDigitalFilterDesignMATLABcodefragmentsusedforthedesign

[N,Wn]=buttord(1,2.3617627,1,40,’s’) [B,A]=butter(N,Wn,’s’); [BT,AT]=lp2bp(B,A,1.180564