全國高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題線性規(guī)劃-非常規(guī)問題

一、基礎(chǔ)知識：在線性規(guī)劃問題中除了傳統(tǒng)的已知可行域求目標(biāo)函數(shù)最值之外身還會結(jié)合圍成可行域的圖形特點，或是在條件中設(shè)置參數(shù)，與其它知識相結(jié)合，產(chǎn)生一些非常規(guī)的問題。在處理這些問題時，第一依然要借助可行域及其圖形；第二，要確定參數(shù)的作用，讓含參數(shù)的圖形運動起來尋找規(guī)律第要將圖形中的特點與關(guān)系翻譯成代數(shù)的語言進行精確計算。做到以上三點，便可大大增強解決此類問題的概率。二、典型例題：例1：不等式組

k

所表示的平面區(qū)域為

D

，若

D

的面積為

，則

kSk的最小值為_______思路：先作出平面區(qū)域。直線

，可判斷出過定點

，通過作圖可得平面區(qū)域

D

為直角三角形。所以三角形面

積

12

k

。

從

而kSk211kk，因為

1

2

，所以

答案：例2：于的等組

所確定的區(qū)域面積為2，2b

的最小值為（）A.

B.

3

C.

D.

思路要出

2b

的最值則要,b的系所要借助不等式組的面積先出不等式的表示區(qū)域，從斜率可判斷出該區(qū)域為一個矩形，可得長為

ab，寬為，以22

b22S，即b2

2

2

4

，作出雙曲線，通過平移b

可得直線與

b

2

2

相時，

取得最小2值。即：b

3a

2

2

解得

z3

，所以

zb

的最小值為

3答案：

x例：不等式組

yx

表示的平面區(qū)域是一個三角形，則實數(shù)

的取值范圍是

xy4（）

或

s4

C.

s4

s2

或

s4思路本約束條件含參，所以從常系數(shù)不等式入手作圖線在平移的過程中觀察能否構(gòu)成一個三角形方面，

x

為一組平行線，

x4

本身就構(gòu)成一個三角形。所以當(dāng)

時不等式組的區(qū)域與

x4

區(qū)域相同從符合題意。繼續(xù)將直線

xy

向下平移?？傻?/p>

時，不等式組的區(qū)域為一個四邊形。當(dāng)2時y從

的區(qū)域中切x4割出來了一個三角形符題意或

時式無公共區(qū)域所2

PP答案：例：已知平面區(qū)域

恰好被面積最小的圓

C:

2

及其內(nèi)部所覆蓋，則圓

y的方程為_思路：作圖可得可行域為直角三角形，所以覆蓋三角形最小的圓即為該三角形的外接圓。A

，所以外接圓圓心為

AB

中點

r

12

AB

，所以圓方程為

答案：

例5：過面區(qū)域

xyy

內(nèi)一點作圓

:x

2

2

的兩條切線，切點分別為

xyB

，記

APB

，則當(dāng)

最小時

的值為)A.

B.

9C.D.思路：通過作圖可知與VPBO關(guān)于OP對，從而

APB

，從而問題轉(zhuǎn)化為尋找

的最小值?？衫萌呛瘮?shù)sin

OAOP

，且OA，以O(shè)P越大，則sinAPB小，從而越。將問題轉(zhuǎn)化為在平面區(qū)域中尋找距離

O形合可得

點

，

所

以sinAPB

OAOP

1OP5

。從而

APB

910答案：

例6：(2013,北，8)設(shè)關(guān)于

x,y

的不等式組

xy

，表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點

y，則m的值范圍是__________00思路：約束條件含參，但兩條直線有特點，

和

y

的交點

，依題意可得平面區(qū)域與直線

xy

有公共點結(jié)合圖像可判斷出

，從而不等式組在直角坐標(biāo)系中的區(qū)域為一個直角三角形（如圖若區(qū)域與

xy

有公共點，則只需

位于

xy

的下方即可為

xy

的下方區(qū)域?qū)?yīng)的不等式為

xy

代

可得2m

23答案：

m

23例7：實數(shù)

yx,y滿

時，

1

恒成立，則實數(shù)

a

的取值范圍是_________思路一：先作出不等式組所表示的區(qū)域（如圖），設(shè)

x=1

x-y-1=0y

，則有

z

min

z

max

，

，則要對斜率的號進行分類討論

a

，

從圖上可看出

z

min

，不符題意；0時，

z

min

0

不符題意；若

，無論

a

為何值，最優(yōu)

解在頂點處取得，所以代入?yún)^(qū)域的頂點433a1,，解得224

,

，可得：

axmaxax1,axmaxax1,,2思路二：從恒成立的不等式入手，考慮進行參變分離。由約束條件可得

x

，所以恒成立不等式為

y1y1axa所以xxy

只需找到兩個分式的最值即可，而由分式可聯(lián)想到斜率，所以作出平面區(qū)域，分別找區(qū)域中的

與定點

連線斜率的最值即可。

（xy

處取得，

32

（

x

處取得得：

a1,答案：

3例8不等式組

y

所表示的平面區(qū)域被直線

ykx

分成面積相等的兩部分，則

xy的值為（）717C.33思路：在坐標(biāo)系中作出可行域，如圖所示為一個三角形，動直線

ykx

為繞定點

的一條動直線設(shè)直線交

于

M

若將三角形分為面積相等的兩部分，則

VABM

VBCM

，觀察可得兩個三角形高相等，所以

AM

即

M

為

中點，聯(lián)立直線方程可求得

4A,

，則

，代入直線方程可解得

k

173答案：

x例9：在約束條件

yx

，當(dāng)

時，目標(biāo)函數(shù)

xy

的最大值的變化范

xy4圍是（）A.

B.

C.

D.

思路：目標(biāo)函數(shù)可化為

3z3，斜率為22

介于直線

xyxy

斜率之間在坐標(biāo)系中作出

的范圍，再平移直線

y

，在x4移動過程中可發(fā)現(xiàn)

4

時，可行域為四邊形；當(dāng)

時可行域為三角形以行類討論

4

可域為四邊形OABC，最優(yōu)解為，立方程：

xyy

，所以

；當(dāng)

時，可行域為三角形

AOC

'

，最優(yōu)解在

C'

取到，此時

z

max

，綜上所述，z

max

答案：例10已知區(qū)域

D:

，則圓

C:

與區(qū)域

有公共點，則實數(shù)

a

的取值范圍是__________思路先在坐標(biāo)系中作出區(qū)域

圓

C

的圓心為

為

，所以只需確定圓心的取值范圍即可，