#【數(shù)學(xué)】第三章《空間向量與立體幾何》測試(1)(新人教A版選修2-1)

第三章空間向量與立體幾何一、選擇題1.1.下列各組向量中不平行的是（A.——A.——a二(1,2,—2),b=(—2,—4,4)B.—?e=(1,0,0),d=(—3,0,0)C.——e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.——g=(-2,3,5),C.——e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.——g=(-2,3,5),h=(16,24,40)2.已知點A（—3,1,—4），則點A關(guān)于x軸對稱的點的坐標為（ ）A.(—3,—1,4) b.(—3,-1,-4) C.(3,1,4)d.(3,-1,-4)3.r r.... .8若向量a=（1,九,2）,b=（2,—1,2），且a與b的夾角余弦為9，則九等于（）A.B.一2C.4.若a(1,—2,1),b(4,2,3),c(6,—1,4)，則4ABC的形狀是()A.C.不等邊銳角三角形 B.直角三角形鈍角三角形D.等邊三角形若a(x,5—x,2x—1),b(1,x+2,2—x)，當AB|取最小值時，x的值等于()19A.19A.C.7D.146.空間四邊形OABC6.空間四邊形OABC中，OB=OC兀/AOB二^AOC二一,3則cos<OA,BC>的值是(A.B.A.B.TC.D.0二、填空題1.若向量1.若向量a:(4,2,—4),b=(6,—3,2),則(2a—3b)#+2b)=2.3.2.3.已知向量a;(2,—1,3),b=(—4,2,X)，若a1b，則x:—?；若a//b則x=rrrrrrr若向量a=2i—j+k,b=4i+9j+k,,則這兩個向量的位置關(guān)系是..已知向量a=mi+5了一k,b=3i+j+rk,若a//b則實數(shù)m=,r=TOC\o"1-5"\h\z> > >.若(a+3b)1(7a一5b)，且(a一4b)1(7萬—5b)，則a與b的夾角為 19、….5、 ……5、.若A(0,2,—),B(1,-1,-),C(-2,1,-)是平面a內(nèi)的三點，設(shè)平面a的法向量8 8 8a=(x,y,z),則x:y:z=。—? —?—>—?7.已知空間四邊形OABC，點M,N分別為OA,BC的中點，且OA=萬,OB=b,OC=c,—? —? —?用a,b,—表示MN，則MN=。8,已知正方體ABCD-ABCD的棱長是1,則直線DA與AC間的距離為1111 1空間向量與立體幾何解答題精選(選修2--1)1?已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB//DC,/DAB=90。,PA1底面ABCD，且PA=AD=DC=-,2AB=1,M是PB的中點。(I)證明：面PAD1面PCD；(II)求AC與PB所成的角；(111)求面AMC與面BMC所成二面角的大小。證明：以A為坐標原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,2).(I)證明：因AP=(0,0,1),DC=(0,1,0),故AP.DC=0,所以AP1DC.由題設(shè)知AD1DC,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC1面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD，面PCD.(II)解：因AC=(1,1,0),PB=(02-1),故IACI=<2,1PB吊、:昆AC?PB=2,所以TOC\o"1-5"\h\z“DdAC?PB<10cos<AC,PB>= = .IACI-IPBI5(III)解：在MC上取一點N(x,y,工)，則存在XeR,使N=XMC,1 16NC—(1—x,1—y,—z),MC—(1,0,——),「.x—1—X,y=1,z二一X..2 21 4要使AN1MC,只需AN^C―。即x--z—0,解得X—-.2 5可知當X-4時,乂點坐標為(Ll2),能使AN?MC=0.^5 ^5^512— 1 2..? ■此時,AN=(-,1,-),BN=(-,—1,-),有BN?MC=055 5 5由AN?MC=0,BN?MC=0得AN1MC,BN1MC.所以NANS為所求二面角的平面角.30I30IANI=--,IBNI=

5學(xué)an/—-4.cos(AN,BN)cos(AN,BN)IANI?IBNI3—一一 2故所求的二面角為arccos(--).^32.如圖，在四棱錐V—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD1底面ABCD.(I)證明：AB1平面VAD；(11)求面VAD與面DB所成的二面角的大小.證明：以D為坐標原點，建立如圖所示的坐標圖系.(I)證明：不防設(shè)作A(1,0,0),1v3則B(1,1,0),V(-,0,^-),—— — 1 J3AB=(0,1,0),VA=(-,0,—二)2 2由AB?VA=0,得AB1VA，又AJD，因而AB與平面VAD內(nèi)兩條相交直線VA,

AD都垂直.AB±平面VAD.(II)解：設(shè)E為DV中點，則￡(4°『,ea=(40一『,eb=(3』,一"dv=(20?由EB?DV=0,得EB±DV,又EA±DV.因此，ZAEB是所求二面角的平面角，cos(EA,EB)=EAEB=0IEAI-IEBI7解得所求二面角的大小為arccos三2173如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA±底面ABCD,AB=<3,BC=1,PA=2,E為PD的中點.(I)求直線AC與PB所成角的余弦值；(II)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE±面PAC,并求出點N到AB和AP的距離.解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A,B,C,D,P,E的坐標為A(0,0,0).B(J3,0,0)、C(近1,0)、D(0,1,0)、 1P(0,0,2),E(0,-,1),從而AC=(；3,1,0),PB=(,'3,0,-2).cos0=AC.PBIACI-IPBI2v7143cos0=AC.PBIACI-IPBI2v7143/7???AC與PB所成角的余弦值為信(I)因為N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標為(羽0,z),則 1一NE=(-x,-,1-z)，由NE±面PAC可得，21NE-AP=0,NE-AP=0,■,[NE-AC=0./ 1r、…c、c(-%,-,1-z)-(0,0,2)=0,2 化簡得41 L(-%,于1-z)?(V3,1,0)=0.z-1=0,_ 1 ??4-x'3xH—=0.2<3x=——6z=1即N點的坐標為(金,0,1),從而N點到AB和AP的距離分別為1,^36 64.如圖所示的多面體是由底面為刖的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4,BC=2,CC=3,BE=1.1(I)求BF的長；(II)求點C到平面AECF的距離.1解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0,0),B(2,4,0)A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C(0,4,3)設(shè)F(0,0,z).1???AECF為平行四邊形，1.??由AECF為平行四邊形，1.?.由AF=EC得,(-2,0,z)=(-2,0,2),1???z=2.「.F(0,0,2).??.EF=(-2,-4,2).于是IbF1=2%石，即BF的長為2%；6.(II)設(shè)n為平面AECF的法向量，顯然〃’不垂直于平面ADF,故可設(shè)n=(x,y,1)1由4,AE=0,得n.AF=由4x=x=1,1y=——44y+1=0,「4—2x+2=0,

TOC\o"1-5"\h\z又CC=(0,0,3),設(shè)CC與n的夾角為a，貝U1 1 1CC?n 3 4*33cosa= i——= _= ICCI-InI 11 33i1 3x-1+——+116?,.C到平面AECF的距離為14v334<33d=ICCIcosa=3義 = .1 33 115.5.如圖，在長方體ABCD—ABCD,中，1111AD=AA=1,AB=2，點E在棱AD上移1動.(1)證明：DE1AD；1 1(2)當E為AB的中點時，求點E到面ACD的距離；1兀(3)AE等于何值時，二面角D-EC-D的大小為了.1 4解：以D為坐標原點，直線DA,DC,DR分別為x,y,工軸，建立空間直角坐標系，設(shè)AE=x，則A(1,0,1),D(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)1 1(1)因為DA,DE=(1,0,1),(1,x,—1)=0,所以DA1DE.1 1 1 1(2)因為E為AB的中點，則E(1,1,0)，從而DE=(1,1,—1),AC=(-1,2,0),1. . n-AC=0,AD=(-1,0,1)，設(shè)平面ACD的法向量為n=(a,b,c)，則< 1 1 n?AD=0,i1「一a+2b=0 1a=2b也即| 八，得| ,從而n=(2,1,2),所以點E到平面ACD的距離為TOC\o"1-5"\h\z-a+c=0a=c 1I7IDE?nI2+1-2 1h=——1 = =一.InI3 3(3)設(shè)平面DEC的法向量n=(a,b,c),.?.CE=(1,x-2,0),DC=(0,2,-1),DD'=(0,0,1),1 1 1

b—c=0令b=1,c=2,a=2—x,a+b(x-2)=0.n=(2—x,1,2).兀依題意cos=兀依題意cos=4In?DDI a/21=nv12InI-IDdI2 ■■(x—2)2+51???x1=2+-v3(不合，舍去)，x2:2一、3.???AE:2一3時二面角％EC-D的大小為:.E為棱CC上異于C,C的一6.如圖，在三棱柱ABC—ABC中，AB1側(cè)面BBCC,點，EA1叫,已知AB=、立，BB「E為棱CC上異于C,C的一（I）異面直線AB與EB的距離;1（血二面角A-EB1-A1的平面角的正切值.解：（I）以B為原點，BB‘、BA分別為j,乙軸建立空間直角坐標系.1AiCi因為，AB=<2,BB=2,BC=1,/BCC=—AiCi1 1 3在三棱柱ABC—ABC中有111B(°,°,0),A(°。⑶BQ2。，C(jA),。奉XJ3設(shè)E(二,a,0)，由EA1EB,得EA?EB=0,即TOC\o"1-5"\h\z2 1 10=(————,—a,%：2)?(一———,2-a,0)^2 ^23 /c、c3=—+a(a—2)=a2—2a+—,4 4得(a— ——)=0,即a=—或a=3(舍去),故E(^-,—,0)2 2 2 22BE.EB=(且2,0).(—史?3.0)=—3+3=0,即BE1EB.122 22 44 1又AB1側(cè)面BBCC，故AB1BE.因此BE是異面直線AB,EB的公垂線，

TOC\o"1-5"\h\z，31 _ _則1BE、4+4二1，故異面直線ab,EB1的距離為1.(ii)由已知有EA1EB,ba±EB,故二面角a—EB—a的平面角0的大小為向111 1 11量B1a1與EA的夾角.一，- - - 、:3 1—因BA=BA=(0,0,v2),EA=(——,-—,、2)11 2 2EA?BA21故cos0= =—=,IEAIIBAI”31c<2即tan0=士7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD1底面ABCD,E是AB7.1一點，PF1EC.已知PD=aCD=2,AE=-,求(I)異面直線PD與EC的距離；(II)二面角E-PC-D的大小.解：(I)以D為原點，DA、DC、DP分別為x,J,z軸建立空間直角坐標系.由已知可得D(0,0,0),P(0,0,<2),C(0,2,0)設(shè)A(x,0,0)(x>0),則B(x,2,0),TOC\o"1-5"\h\z一，1 1 廠、一二, 3?E(x,,0),PE=(x,—,-i2),CE=(x,--,0).由PE1CE得PECE=0,2 2 23 3 31v3 3即x2-=0,故x=—.由DE-CE=(—,-,0)?(—,—,0)=0得DE1CE,^4 ^2 ^2^2 ^2 ^2又PD1DE，故DE是異面直線PD與CE的公垂線，易得IDEI=1,故異面直線PD,CE的距離為1.(II)作DG1PC，可設(shè)G(0,y,z).由DG?PC=0得(0,y,z>(0,2,-v2)=0即z=<2y,故可取DG=(0,1,%2),作EF1PC于F，設(shè)F(0,m,n),則EF=(-^3,m-2,n).3 1 一—一 .一由EF?PC=0得(--,m-—,n)?(0,2,-t2)=0,即2m-1-*2n=0^2 ^2

又由F在PC上得n=-^―m+"2,故m=1,n=上乙，EF=(一)』,—,^—).^2 ^2 ^2^2^2因EF1PC,dG1PC,故E-PC-D的平面角0的大小為向量EF與DG的夾角.第三章空間向量一、選擇題b=-2ana//b;d=-3cnd//c;而零向量與任何向量都平行關(guān)于某軸對稱，則某坐標不變，其余全部改變—? —?—?—?? —??-?cos<a,cos<a,b>=6一九3、叫2+5=—,九二-2,或一9 55AB=(3,4,2),AC=(5,1,3),BC=(2,-3,1),AB^C>0，得A為銳角;CAaCB>0，得C為銳角；BA^C>0，得B為銳角；所以為銳角三角形AB蟲1-x,2x-3,-3x+3),國=g-x)2+(2x-3)2+(-3x+3)2二<14x2-32x+19，當x6^0寸，AB1取最小值cos<OA,BC>=—OABCOA出OC-OB)_oa||bcOA||OCcos--OAOBcos<OA,BC>=—OABCOA出OC-OB)_oa||bcOA||OCcos--OAOBcos一OABC二、填空題.-2122a-3b=(-10,13,-14),a+2b=(16,-4,0