2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．等差數(shù)列中，已知，，則（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可推出，代入數(shù)值即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，為等差?shù)列，所以有，所以，.故選：D.2．已知兩個(gè)平面的法向量分別為，則這兩個(gè)平面的夾角為（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)兩平面夾角與其法向量夾角的關(guān)系，利用向量夾角公式即可得到答案.【詳解】，因?yàn)橄蛄繆A角范圍為，故兩向量夾角為，故兩平面夾角為，即，故選：B.3．直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合【答案】A【分析】分和討論，其中時(shí)，寫出兩直線斜率，計(jì)算其乘積即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線，直線，此時(shí)兩直線垂直，當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)?，則兩直線垂直，綜上兩直線位置關(guān)系是垂直，故選：A.4．一種衛(wèi)星接收天線（如圖1），其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分（如圖2），已知該衛(wèi)星接收天線的口徑米，深度米，信號(hào)處理中心F位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，則該拋物線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)求出系數(shù)既可.【詳解】由題意，拋物線開口向右，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)代入拋物線方程求得，得，則．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B．5．在等比數(shù)列中，，其前三項(xiàng)的和，則數(shù)列的公比()A． B．C．或1 D．或1【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到關(guān)于的方程組，解出即可．【詳解】∵在等比數(shù)列中，，其前三項(xiàng)的和，∴，解得，或．∴的公比等于或1．故選：C．6．《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵中，，P為的中點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后得出和的坐標(biāo)，即可得出答案.【詳解】如圖，由已知可得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，.所以，，所以.故選：A.7．若直線與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題得直線所過(guò)定點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，代入橢圓得到不等式，再結(jié)合橢圓焦點(diǎn)在軸上即可.【詳解】直線恒過(guò)定點(diǎn)，若直線與橢圓總有公共點(diǎn)，則定點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，，解得或，又表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故，，故選：C.8．雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)作圓D的切線與C的兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)雙曲線的方程為.設(shè)切點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，可推出.進(jìn)而在中，可求得，.根據(jù)雙曲線的定義可得.在中，根據(jù)余弦定理可得，即可得出離心率.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的方程為，則.設(shè)切線與圓相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則.所以，有，所以.又，，所以為等腰直角三角形，所以，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，所以.在中，由余弦定理可得，.所以，，所以，，.所以，C的離心率.故選：C.二、多選題9．已知直線與圓，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線l恒過(guò)定點(diǎn) B．圓M的圓心坐標(biāo)為C．存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切 D．若，直線l被圓M截得的弦長(zhǎng)為2【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，將直線方程變形后得到，求出恒過(guò)的定點(diǎn)；B選項(xiàng)，將圓的一般式化為標(biāo)準(zhǔn)式方程，得到圓心坐標(biāo)；C選項(xiàng)，令圓心到直線l的距離等于半徑，列出方程，結(jié)合根的判別式判斷出結(jié)論；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，求出圓心在直線l上，故直線l被圓M截得的弦長(zhǎng)為直徑4，D錯(cuò)誤.【詳解】變形為，故恒過(guò)定點(diǎn)，A正確；變形為，圓心坐標(biāo)為，B正確；令圓心到直線的距離，整理得：，由可得，方程無(wú)解，故不存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切，C錯(cuò)誤；若，直線方程為，圓心在直線上，故直線l被圓M截得的弦長(zhǎng)為直徑4，D錯(cuò)誤.故選：AB10．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線交C于點(diǎn)，（其中），與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D．下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．F為線段AD中點(diǎn) D．的面積為【答案】BC【分析】求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得出，，推出，可判斷A項(xiàng)；解方程得出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義求出的值，可判斷B項(xiàng)；求出點(diǎn)，得出線段AD中點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)B可得出，進(jìn)而求出點(diǎn)到直線的距離，即可得出面積，判斷D項(xiàng).【詳解】由已知可得，，準(zhǔn)線，直線的方程為.聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程可得，.由韋達(dá)定理可得，，.又，，所以，又，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，結(jié)合圖象，解可得，，.過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則.根據(jù)拋物線的定義可得，，同理可得，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?，則點(diǎn).將代入直線的方程為可得，，即.所以，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，恰好為點(diǎn)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，.點(diǎn)到直線，即的距離為，所以，的面積，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11．歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n，且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如，．下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，則【答案】ACD【分析】對(duì)A列舉法即可判斷，對(duì)B舉反例即可，對(duì)C得到與，所有互質(zhì)的數(shù)均為正奇數(shù)，則，即可判斷，對(duì)D用乘公比錯(cuò)位相減法即可.【詳解】對(duì)A，與11互質(zhì)的正整數(shù)有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，與8互質(zhì)的正整數(shù)有1,3,5,7，故，則數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，時(shí)，一定是2的倍數(shù)，則與互素的數(shù)為：1,3,5,7,9,11,，即正奇數(shù)，故，，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故C正確，對(duì)D，，則①②①②得，則，而，故，故D正確.故選：ACD.12．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，G為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．三棱錐的體積為定值 B．存在點(diǎn)G﹐使得平面C．G為中點(diǎn)時(shí)，直線EG與所成角最小 D．點(diǎn)F到直線EG距離的最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)等體積法可知，即可判斷A項(xiàng)；建系，假設(shè)存在點(diǎn)G﹐設(shè).根據(jù)向量的坐標(biāo)，由，解出的值，即可判斷B項(xiàng)；由已知推出，根據(jù)二次函數(shù)以及余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合的取值范圍，即可判斷C項(xiàng)；求出在方向上投影的絕對(duì)值為，然后根據(jù)勾股定理表示出點(diǎn)F到直線EG的距離，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出最小值.【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，，，.對(duì)于A項(xiàng)，由正方體以及面面平行的性質(zhì)可得，平面，點(diǎn)G在線段上，所以到平面的距離等于.因?yàn)?，所?則是個(gè)定值，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)G﹐使得平面.設(shè).，，，，則.所以，，所以，滿足條件.此時(shí)有，，平面，平面，，所以，存在點(diǎn)G﹐使得平面，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)直線EG與所成角為.因?yàn)椋?所以，所以.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值，顯然有，則有最大值，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，在方向上投影的絕對(duì)值為，由C知，當(dāng)時(shí)，有最小值，則有最大值為，又，所以，點(diǎn)F到直線EG距離的最小值為，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè).可以通過(guò)的坐標(biāo)，表示出與點(diǎn)有關(guān)的向量.三、填空題13．已知，，其中，若，則的值為_________．【答案】##【分析】由已知可得，，即可求出的值，進(jìn)而得出答案.【詳解】由已知可得，，.因?yàn)?，所以，解得，，所以?故答案為：.14．各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是，若，則的值為_________．【答案】##8.5【分析】由題得，化簡(jiǎn)求出，利用求和公式即可.【詳解】數(shù)列為各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，則，化簡(jiǎn)得，解得或0（舍），則，故答案為：.15．已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)Р滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．【答案】【分析】由已知可得，圓的圓心、半徑，且點(diǎn)在以為直徑的圓上，進(jìn)而得出圓心、半徑.然后根據(jù)兩圓有交點(diǎn)，即可得出，代入即可得出答案.【詳解】由已知可得，圓可化為，圓心為，半徑.因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上.圓心為的中點(diǎn)，半徑.由題意可得，圓與圓有公共點(diǎn)P，則應(yīng)滿足，即有，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.16．設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P滿足，記的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別是R，r，則的值為_______．【答案】【分析】化標(biāo)準(zhǔn)，得到，，然后根據(jù)正弦定理求出.進(jìn)而根據(jù)余弦定理推出的面積.根據(jù)等面積法，可知，即可求出.【詳解】將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，.所以，，，.所以，，，所以，.根據(jù)正弦定理可得，，所以.設(shè)，則.由余弦定理可得，，所以，，整理可得，，顯然是方程的兩個(gè)解，所以，所以的面積.又，所以.所以，.故答案為：.四、解答題17．已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和且圓心在直線上．(1)求圓C的方程；(2)若點(diǎn)P為圓C上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線距離的最大值和最小值．【答案】(1)；(2)最大值為，最小值為.【分析】（1）設(shè)出圓心、半徑，根據(jù)已知條件列出方程組，求解方程組即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出圓心到直線的距離，可知直線與圓相離.然后即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)圓心為，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由已知可得，，解得，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，圓心為，半徑.圓心到直線的距離.所以，直線與圓相離.所以，點(diǎn)P到直線距離的最大值為，最小值為.18．已知雙曲線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與C交于M，N兩點(diǎn)，且C上存在點(diǎn)P﹐滿足，求實(shí)數(shù)t的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的方程，得到方程組，即可求出雙曲線的方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程得出，根據(jù)韋達(dá)定理可得出，所以.進(jìn)而由，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，，解得，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，.聯(lián)立直線與雙曲線的方程，整理可得.由韋達(dá)定理可得，所以.所以，.則由可得，，解得，即.因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以有，整理可得，解得.19．如圖，四棱錐中，底面，底面為矩形，，，M，N分別為PB，CD的中點(diǎn)．(1)求證：面；(2)求直線PB與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)，，證明，.即可根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)（1）中點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，進(jìn)而即可根據(jù)向量求解出答案.【詳解】（1）由已知底面，底面為矩形，易知兩兩垂直.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，，所以，，，，，則，.所以，，.則，，所以，.因?yàn)槠矫?，平面，，所以?（2）由（1）可得，，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量.又，所以直線PB與平面所成角的正弦值為.20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，數(shù)列滿足，其中．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)、累乘法求得和的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合分組求和法、裂項(xiàng)相消求和法求得.【詳解】（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減得，由于，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.對(duì)于，，所以，也符合上式，所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；，所以.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；所以.所以.21．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為．(1)求的方程；(2)若點(diǎn)P是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的兩條切線分別交圓O于點(diǎn)A，B．①求證：；②求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)題意，直接計(jì)算出，，，進(jìn)而可得答案.（2）根據(jù)題意，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)直線與橢圓相切，再設(shè)，得到，進(jìn)而得到，解得，，可證得；再過(guò)作，必有，得到三角形的面積，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍.【詳解】（1）由已知得，，，解得，可得，則的方程為（2）①設(shè)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為：，聯(lián)立橢圓方程得到，，因?yàn)橹本€與橢圓相切，得，化簡(jiǎn)得，，所以，，又因?yàn)?，故，過(guò)點(diǎn)P作的兩條切線分別交圓O于點(diǎn)A，B，故必有；②由①得，必過(guò)圓心，過(guò)作，必有，設(shè)三角形的面積為，，設(shè)，，圓的半徑為，，，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值，而，當(dāng)時(shí)，取最小值，，故，面積的取值范圍為.22．對(duì)于數(shù)列，規(guī)定數(shù)列為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中．(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．①求；②記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求實(shí)數(shù)的值．(2)北宋數(shù)學(xué)家沈括對(duì)于上底有ab個(gè)，下底有cd個(gè)，共有n層的堆積物（堆積方式如圖），提出可以用公式求出物體的總數(shù)，這就是所謂的“隙積術(shù)”．試證明上述求和公式．【答案】(1)①；②；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)一階差分?jǐn)?shù)列的定義，由數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出數(shù)列的通項(xiàng)，再用類似于裂項(xiàng)相消的方法求前n項(xiàng)和，由的算式，找到與，的關(guān)系，解出的值.（2）根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造數(shù)列通項(xiàng)，利