工程力學(xué)B第10章彎曲變形

qqF平面彎曲時(shí)，梁軸線彎曲成一條光滑、連續(xù)的平面曲線；稱為撓曲線。撓曲線上的一點(diǎn)包含了梁的兩種位移：撓度和轉(zhuǎn)角。1.

撓度：

橫截面形心沿y方向的線位移.記為:w。2.

轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸的轉(zhuǎn)角或撓曲線的切線與x軸的夾角。記為：

。稱為撓曲線方程。w＝

f(x)

(a)稱為轉(zhuǎn)角方程。向上為正逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?0.1引言第一頁，共27頁。第一頁，共27頁。第二頁，共27頁。第二頁，共27頁。

撓曲線y第三頁，共27頁。第三頁，共27頁。

撓曲線y撓曲線的曲率半徑與彎矩之間的關(guān)系為：由高等數(shù)學(xué)，可得ρ(x)與w(x)之間的關(guān)系為：10.2

梁變形的基本方程10.2.1

梁的撓曲線微分方程第四頁，共27頁。第四頁，共27頁。這里的正負(fù)號應(yīng)該如何選定呢？看下面的分析：

第五頁，共27頁。第五頁，共27頁。撓曲線近似微分方程注意：坐標(biāo)系不能任選，必須如上圖所示選取。第六頁，共27頁。第六頁，共27頁。對（10.4）式兩邊乘以dx，不定積分得：撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程兩邊再乘以dx，不定積分得：10.2.2

邊界條件與連續(xù)條件由撓曲線近似微分方程（10.4）式：注意：這里C和D

是積分常數(shù)。當(dāng)彎矩方程M(x)需要分段列出時(shí)，則積分常數(shù)的個(gè)數(shù)是梁分段數(shù)的二倍，此時(shí)它們可由梁的邊界條件（支撐條件）和連續(xù)性條件確定。第七頁，共27頁。第七頁，共27頁。邊界條件連續(xù)性條件-彈簧變形wA=0wA=0wA=ΔwA左=wA右wA左=wA右F在分段點(diǎn)處在中間鉸處在確定了常數(shù)C和D之后，可以很容易地得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，也就能夠計(jì)算梁任意橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度了。若彈簧的剛度為K，則：第八頁，共27頁。第八頁，共27頁。例10.1用積分法求梁的撓度時(shí)，彎矩方程應(yīng)分為幾段列出？共有幾個(gè)積分常數(shù)？寫出確定這些積分常數(shù)的支承條件和連續(xù)條件。2.7應(yīng)分為3段，

共有6個(gè)積分常數(shù)

2.8應(yīng)分為3段，

共有6個(gè)積分常數(shù)

支承條件：連續(xù)條件：題2.7圖F=qaADCBaaaq題2.8圖F=qaADCBaaam=qa2（練習(xí)冊P35，填2.7，2.8）支承條件：連續(xù)條件：第九頁，共27頁。第九頁，共27頁。例10.2用積分法求梁的撓度時(shí)，彎矩方程應(yīng)分為幾段列出？共有幾個(gè)積分常數(shù)？寫出確定這些積分常數(shù)的支承條件和連續(xù)條件。ACDqBlaa答：支承條件：連續(xù)條件：共有6個(gè)積分常數(shù)

應(yīng)分為3段，

（練習(xí)冊P35，計(jì)3.1（a））第十頁，共27頁。第十頁，共27頁。用二次積分法計(jì)算梁的變形的主要步驟:1)選擇正確的坐標(biāo)系;2)分段列出彎矩方程M(x);4)根據(jù)支承條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù);6)計(jì)算梁的最大位移和最大轉(zhuǎn)角。3)寫出撓曲線近似微分方程并對其進(jìn)行二次積分；5)求撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程;注意：積分常數(shù)的個(gè)數(shù)是梁分段數(shù)的兩倍。10.2.3

計(jì)算梁變形的二次積分法第十一頁，共27頁。第十一頁，共27頁。例10.3梁的荷載及尺寸如圖所示，若AB梁的抗彎剛度為EI。試用積分法求AB梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程。并求B截面的轉(zhuǎn)角和撓度。Oxy解:1.取直角坐標(biāo)系Oxy（不能任?。?，如圖。2.寫出梁的彎矩方程:x（練習(xí)冊P36，計(jì)3.2）第十二頁，共27頁。第十二頁，共27頁。3.寫出撓曲線微分方程并對其進(jìn)行二次積分：對方程進(jìn)行兩次積分可得：由撓曲線近似微分方程（10.4）式:撓曲線方程:轉(zhuǎn)角方程：第十三頁，共27頁。第十三頁，共27頁。4.求積分常數(shù)：由固定端的邊界條件:5.求轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程:Oxyx第十四頁，共27頁。第十四頁，共27頁。

當(dāng)

x=l時(shí)：6.求B截面的轉(zhuǎn)角和撓度：(向下)(順時(shí)針)y第十五頁，共27頁。第十五頁，共27頁。

在線彈性范圍內(nèi)和小變形條件下，構(gòu)件（桿、軸、梁等）在多個(gè)載荷作用下產(chǎn)生的效果（支反力、內(nèi)力、應(yīng)力和變形等）是每個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生同類效果的簡單疊加（代數(shù)和）。10.3.1載荷疊加法求梁的彎曲變形：10.3計(jì)算梁變形的疊加法疊加原理（力的獨(dú)立作用原理）：

根據(jù)疊加原理，當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，可分別求出每個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)引起的變形，然后把所有變形疊加起來即為這些載荷共同作用時(shí)引起的變形。第十六頁，共27頁。第十六頁，共27頁。例10.4

對于如下簡支梁，請計(jì)算撓度wC

和轉(zhuǎn)角θB

。其中q、l和EI為已知。第十七頁，共27頁。第十七頁，共27頁。解:1.有三個(gè)載荷作用的梁可以看作是每個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的三個(gè)梁的疊加，即：因此，由疊加原理：yyy=++第十八頁，共27頁。第十八頁，共27頁。yyy2.查表10.1（P229)，可得：第十九頁，共27頁。第十九頁，共27頁。3.將以上結(jié)果疊加，得到截面C的撓度和截面B的轉(zhuǎn)角:積分疊加法(載荷疊加法)：見例10.4，P233。第二十頁，共27頁。第二十頁，共27頁。ABlaCF將梁分成AB和BC兩段，研究其中一段的變形時(shí)將另一段視作剛體（即不變形或剛化）。10.3.2

逐段分析求和法（逐段剛化法）常用于求外伸梁、分段等直梁的彎曲變形。例10.5外伸梁受載荷如圖所示，試用疊加法中的逐段剛化法計(jì)算外伸端C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。解：第二十一頁，共27頁。第二十一頁，共27頁。ABlaCFABCFABC1.研究AB段的變形：wC2qB1Fa2.研究BC段的變形：wC1F將BC段視作剛體（剛化）。qC2將AB段視作剛體(剛化)。第二十二頁，共27頁。第二十二頁，共27頁。上述方法即為求彎曲變形的逐段剛化法（逐段分析求和法）。對于變形表10.1中沒有的梁（如外伸梁等），首先將其分解成表中有的梁（如簡支梁、懸臂梁）；然后分段進(jìn)行剛化分析。當(dāng)以某一段為研究對象時(shí)，其余各段均視為剛體（剛化）。注意：ABlaCF第二十三頁，共27頁。第二十三頁，共27頁。（大綱未要求，不講）10.4

簡單超靜定梁第二十四頁，共27頁。第二十四頁，共27頁。10.5.1梁的剛度條件可從相應(yīng)的設(shè)計(jì)規(guī)范或手冊中查得。許用撓度許用轉(zhuǎn)角10.5梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)見P239，例10.8第二十五頁，共27頁。第二十五頁，共27頁。10.5.2梁的合理剛度設(shè)計(jì)選擇合理的橫截面，以增大梁的剛度(增大I)。由（10.6）式選擇合適的支撐位置，以減小Mmax。選擇合適