中考與特殊四邊形有關(guān)的填空壓軸題

中考與特殊四邊形有關(guān)的填空壓軸題與特殊四邊形有關(guān)的填空壓軸題2014年與特殊四邊形（正多邊形）有關(guān)的填空壓軸題，題目展示涉及：折疊問題；旋轉(zhuǎn)問題；三角形全等問題；平面展開﹣最短路徑問題；動點問題的函數(shù)圖象問題.知識點涉及：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的判定和性質(zhì)；解直角三角形，勾股定理，正多邊形性質(zhì)；銳角三角函數(shù).數(shù)學(xué)思想涉及：分類討論；數(shù)形結(jié)合；方程思想.現(xiàn)選取部分省市的2014年中考題展示.【題1】(2014.年河南省第題)如圖矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點D的對應(yīng)點D′落在∠ABC的角平分線上時，DE的長為．【考點】： 翻折變換（折疊問題）．【分析】： 連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點M，CD于點N，作D′P⊥BC交BC∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案為：或．【點評】： 本題主要考查了折疊問題，解題的關(guān)鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對應(yīng)相等的．【題2】(2014年四川省綿陽市第17題)如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，∠EAF=45°，△ECF的周長為4，則正方形ABCD的邊長為．【考點】： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．【分析】： 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠EAF′=45°，進而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形邊長即可．【解答】： 解：將△DAF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度到△BAF′位置，由題意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，在△FAE和△EAF′中，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，∵△ECF的周長為4，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，∴2BC=4，∴BC=2．故答案為：2．【點評】： 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出△FAE≌△EAF′是解題關(guān)鍵．【題3】(2014年湖北隨州第16題)如圖1，正方形紙片ABCD的邊長為2，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P、EF、GH分別是折痕（如圖2）．設(shè)AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：①當(dāng)x=1時，點P是正方形ABCD的中心；②當(dāng)x=時，EF+GH＞AC；③當(dāng)0＜x＜2時，六邊形AEFCHG面積的最大值是；④當(dāng)0＜x＜2時，六邊形AEFCHG周長的值不變．其中正確的是（寫出所有正確判斷的序號）．【考點】： 翻折變換（折疊問題）；正方形的性質(zhì)．【分析】： （1）由正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以當(dāng)AE=1時，重合點P是BD的中點，即點P是正方形ABCD的中心；（2）由△BEF∽△BAC，得出EF=AC，同理得出GH=AC，從而得出結(jié)論．（3）由六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積．得出函數(shù)關(guān)系式，進而求出最大值．（4）六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．【解答】： 解：（1）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，∴△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，∴當(dāng)AE=1時，重合點P是BD的中點，∴點P是正方形ABCD的中心；故①結(jié)論正確，（2）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，∴△BEF∽△BAC，∵x=，∴BE=2﹣=，∴=，即=，∴EF=AC，同理，GH=AC，∴EF+GH=AC，故②結(jié)論錯誤，（3）六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積．∵AE=x，∴六邊形AEFCHG面積=22﹣BE?BF﹣GD?HD=4﹣×（2﹣x）?（2﹣x）﹣x?x=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3，故③結(jié)論錯誤，（4）當(dāng)0＜x＜2時，∵EF+GH=AC，六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2=4+2故六邊形AEFCHG周長的值不變，故④結(jié)論正確．故答案為：①④．【點評】： 考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是得到EF+GH=AC，綜合性較強，有一定的難度．【題4】（2014江西第13題）如圖，是將菱形ABCD以點O為中心按順時針方向分別旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°后形成的圖形。若，AB=2，則圖中陰影部分的面積為______.【考點】菱形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】連接AC、BD，AO、BO，AC與BD交于點E，求出菱形對角線AC長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AO⊥CO。在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理求出AO=CO=，從而求出Rt△AOC的面積，再減去△ACD的面積得陰影部分AOCD面積，一共有四個這樣的面積，乘以4即得解?！窘獯稹拷猓哼B接BD、AC，相交于點E，連接AO、CO。∵因為四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝AD＝2?！摺螧AD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，BD＝AB＝2，∴∠BAE＝∠BAD＝30°，AE＝AC，BE=DE=BD=1，在Rt△ABE中，AE＝，∴AC＝2?！吡庑蜛BCD以點O為中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°，∴∠AOC＝×360°＝90°，即AO⊥CO，AO＝CO在Rt△AOC中，AO=CO=?！逽△AOC=AO·CO=××=3，S△ADC=AC·DE＝×2×1＝,∴S陰影＝S△AOC－S△ADC=4×（3－）＝12－4所以圖中陰影部分的面積為12－4?！绢}5】(2014年河南省第14題)如圖，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB′C′D′，其中點C的運動路徑為，則圖中陰影部分的面積為．【考點】： 菱形的性質(zhì)；扇形面積的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】： 連接BD′，過D′作D′H⊥AB，則陰影部分的面積可分為3部分，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，三角形的面積公式以及扇形的面積公式計算即可．【解答】： 解：連接BD′，過D′作D′H⊥AB，∵在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB′C′D′，∴D′H=，∴S△ABD′=1×=，∴圖中陰影部分的面積為+﹣，故答案為：+﹣．【點評】： 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，扇形的面積公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵．【題6】（2014?泰州第16題）如圖，正方向ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，∠DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q．若PQ=AE，則AP等于cm．【考點】:全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形【專題】：分類討論．【分析】：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長，進而利用勾股定理求出AE的長，根據(jù)M為AE中點求出AM的長，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，進而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長，再利用對稱性確定出AP′的長即可．【解答】：解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點N，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC=PN，在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，∴tan30°=，即DE=cm，根據(jù)勾股定理得：AE==2cm，∵M為AE的中點，∴AM=AE=cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，∵PN∥DC，∴∠PFA=∠DEA=60°，∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，∴AP===2cm；由對稱性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，綜上，AP等于1cm或2cm．故答案為：1或2．【點評】：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【題7】(2014年重慶市第18題)如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長為．【考點】： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)．【分析】： 在BE上截取BG=CF，連接OG，證明△OBG≌△OCF，則OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根據(jù)射影定理求得GF的長，即可求得OF的長．【解答】： 解：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，∵RT△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC=∠ECF，∵∠OBC=∠OCD=45°，∴∠OBG=∠OCF，在△OBG與△OCF中∴△OBG≌△OCF（SAS）∴OG=OF，∠BOG=∠COF，∴OG⊥OF，在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，∴EC=2，∴BE===2，∵BC2=BF?BE，則62=BF，解得：BF=，∴EF=BE﹣BF=，∵CF2=BF?EF，∴CF=，∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF=，在等腰直角△OGF中OF2=GF2，∴OF=．【點評】： 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應(yīng)用．【題8】(2014年寧夏第15題)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，BC=5，∠BAD的平分線交BC于點E，且AE∥CD，則四邊形ABCD的面積為．【考點】： 平行四邊形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【分析】： 根據(jù)題意可以判定△ABE是等邊三角形，求得該三角形的高即為等腰梯形ABCD的高．所以利用梯形的面積公式進行解答．【解答】： 解：如圖，過點A作AF⊥BC于點F．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，又∵∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∵AE∥CD，∴∠AEB=∠C，∵AD∥BC，AB=CD=2，∴四邊形是等腰梯形，∴∠B=∠C，∴△ABE是等邊三角形，∴AB=AE=BE=2，∠B=60°，∴AF=AB?sin60°=2×=，∵AD∥BC，AE∥CD，∴四邊形AECD是平行四邊形，∴AD=EC=BC﹣BE=5﹣2=3，∴梯形的面積=（AD+BC）×AF=×（3+5）×=4．【點評】： 本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等．【題9】（2014?寧波第11題）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點，那么CH的長是．【考點】：直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】：連接AC、CF，根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．【解答】：解：如圖，連接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中點，∴CH=AF=×2=．【點評】：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題10】（2014?武漢第16題）如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為__________．【考點】：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形【分析】：根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠BAD與∠CAD′的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得△BAD與△CAD′的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BD與CD′的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案．【解答】：解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：，∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD與△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=，故答案為：．【點評】：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作出全等圖形是解題關(guān)鍵．【題11】（2014?蘇州第17題）如圖，在矩形ABCD中，=，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交邊AD于點E．若AE?ED=，則矩形ABCD的面積為．【考點】：矩形的性質(zhì)；勾股定理．【分析】：連接BE，設(shè)AB=3x，BC=5x，根據(jù)勾股定理求出AE=4x，DE=x，求出x的值，求出AB、BC，即可求出答案．【解答】：解：如圖，連接BE，則BE=BC．設(shè)AB=3x，BC=5x，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°，由勾股定理得：AE=4x，則DE=5x﹣4x=x，∵AE?ED=，∴4x?x=，解得：x=（負(fù)數(shù)舍去），則AB=3x=，BC=5x=，∴矩形ABCD的面積是AB×BC=×=5，故答案為：5．【點評】：本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出x的值，題目比較好，難度適中．【題129】（2014?棗莊第18題）圖①所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為____________cm．【考點】：平面展開-最短路徑問題；截一個幾何體【分析】：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖②的幾何體表面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．【解答】：解：如圖所示：△B