知識(shí)點(diǎn)一(極限與連續(xù))3773

求極限的常用方法①利用極限的定義xa數(shù)列極限的定義：limxa0,N0,當(dāng)nN時(shí)，有；nnn函數(shù)極限的定義（xx0）：limf(x)A0,0,當(dāng)0|xx|<時(shí)，有f(x)A.0n類(lèi)似可定義其它形式下的函數(shù)極限.②利用單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則熟悉數(shù)列極限和函數(shù)極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則.利用夾逼準(zhǔn)則可以證明下面的極限.limna1(a0),lima1x1(a0).nx這一結(jié)論可以推廣為：1xk1xlimakmaxa,limakmina.k1ikiiiix和x1iki1i1③利用兩個(gè)重要極限n或sinxxlim11elim11，1x=e.limx0nxnx10、由重要極限及變量替換可以求下列極限：(x)sin(x)1,lim1limxx(x)1(x)e,lim1(x)g(x)(x)eA.xx0xx00lim(x)0,limg(x)Axx0改為其它情形也有類(lèi)似的結(jié)論.xx0xx0，極限過(guò)程其中，20、limf(x)1,limg(x)設(shè)xx0xx0，則利用重要極限有：limf(x)g(x)lim[1f(x)1]f(x1)1g(x)(f(x)1)eA.xxxx00limg(x)(f(x)1)A.其中xx0.④利用無(wú)窮小的性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小替換求極限10、無(wú)窮小量乘以有界函數(shù)仍是無(wú)窮小量；20、熟悉常見(jiàn)的無(wú)窮小量：當(dāng)0x時(shí),有1x～1e；1cosx~x2；xsinxarcsinx～～tanx～～arctanx～ln(1)x20的常數(shù)），等等.ax1~xlna(a0,a1)；1x1~x(30、求極限過(guò)程中，可以把積和商中的無(wú)窮小量用與之等價(jià)的無(wú)窮小量替換，加與減不能替換.1fx為無(wú)窮大,則為無(wú)窮小;反之，fx、40無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系：如果fx,則為無(wú)窮大.fx為無(wú)窮小,且01如果fx⑤利用極限與左右極限的關(guān)系limf(x)存在的f(x0)f(x0).充要條件是00xx0⑥利用極限的和、差、積、商運(yùn)算法則應(yīng)當(dāng)注意的是：參與運(yùn)算的分母的極限不為零.利用Stolz定理：設(shè)數(shù)列單調(diào)增加且limb每個(gè)函數(shù)的極限都要存在，而且函數(shù)的個(gè)數(shù)只能是有限個(gè)，在作商的運(yùn)算時(shí)，還要求aan1或存在，，若limnbbnnnnnn1aaa則有l(wèi)imnlimnn1，由此可以證明下面的平均值定理nbnnbbnn1aaanlimalimn12nnnlimaaalima12nnnn⑦利用函數(shù)的連續(xù)性yf(x)在函數(shù)xx處連續(xù)，則limf(x)f(x)00xx0⑧利用導(dǎo)數(shù)的定義⑨利用定積分的定義求和式的極限⑩利用洛必達(dá)法則求未定式的極限或利用帶有佩亞諾（Peano）型余項(xiàng)的泰勒公式求極限（3）無(wú)窮大量與無(wú)窮小量①無(wú)窮大量是絕對(duì)值無(wú)限增大的一類(lèi)變量，它不是什么絕對(duì)值很大的固定數(shù)；無(wú)窮小量以零為極限的一類(lèi)變量，它也不是什么絕對(duì)值很小的固定數(shù).fxx的倒數(shù)是無(wú)窮大.1f(x)的倒數(shù)是無(wú)窮小量；無(wú)窮小()f()0fx②無(wú)窮大③無(wú)窮小是以零為極限的變量，因此，和、差、乘積的極限運(yùn)算法則自然也適用于無(wú)窮小，但商的極限運(yùn)算法則不適用于無(wú)窮小，因?yàn)檫@時(shí)分母的極限為零，另外，無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍是無(wú)窮小.④兩個(gè)無(wú)窮小之商的極限，一般說(shuō)來(lái)隨著無(wú)窮小的不同而不同，從而產(chǎn)生了兩個(gè)無(wú)窮小之間的“高階”、“同階”、“等價(jià)”等概念，它們反映了兩個(gè)無(wú)窮小趨于零的快慢程度.⑤如果f(x)以A為極限，則f(x)A(x)是無(wú)窮小；反之亦然.3、連續(xù)函數(shù)(1）函數(shù)f(x)在x處連續(xù)定義的三種不同0表達(dá)形式是①limylim[f(xx)f(x)]0;00x0x0②limf(x)f(x);0xx0|f(x)f(x)|.0③0,0，使當(dāng)|xx|時(shí)，0種表達(dá)形式與limf(x)A的表達(dá)形式十分相似，差異在于極限定義中的不等式；這最后一xx00|x-x|這里變|x-x|;|f(x)A|變成了|f(x)f(x)|.因?yàn)樵谔匠闪?00討連續(xù)性時(shí)，必須要求f(x)在x處有定義，且極限值A(chǔ)必為須f(x).00(2）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商在它們共同有定義的(3）連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù).(4）單調(diào)連續(xù)函數(shù)有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù).(5）一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù).(6）閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)有下列重要性質(zhì)：區(qū)間仍為連續(xù)函數(shù).①f(x)必在[a,b]上有界且取得最大值M與最小值m（有界、最大、最小值定理）②f(x)必在[a,b]上取得介于f(a)與f(b)之間的任何值（介值定理）；③f(x)必在[a,b]上取得最大值M與最小值m之間的任何值；④如果f(a)f(b)0，則f(x)在開(kāi)區(qū)間ab內(nèi)至少有一點(diǎn)使得f0.，③、④兩個(gè)性質(zhì)是介值定理②的推論.（7）間斷點(diǎn)的分類(lèi)可去間斷點(diǎn)f(x0)f(x0)第一類(lèi)間斷點(diǎn)00f(x存在0)0跳躍間斷點(diǎn)f(x0)f(x0)00間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)典型例題：解把換成,可得又因?yàn)樗?例2.證明：數(shù)列7,77,777,7777,...收斂，并求其極限。xx77xn2n證明：設(shè)該數(shù)列通項(xiàng)為，則，令nfx77x，則xfx,x2fxf2，由拉格朗日中值定理得：f(2)=2，n2nn2nx2，存在介于fxf2f'x，2之間，使得f、x1，47x77xx2fxf2fx2n'，由題意得n2nn0x7，n1107,f1、477747714nnnn'f即x2x2,01n2n，則nx2x2,2k12k0x2k1x2limk1x20，由且2k22klimx20即limx2，同理可得limx2，由夾逼定理得2k2n2n1nkn練習(xí)：1、利用極限四則運(yùn)算法則sin2x431limx01xsinxcosx2f(x)sinxsin1cos,0tdtx2x討論它的連續(xù)性不連續(xù)00,x02、利用兩個(gè)重要極限求極限1、lim(limcosxcosx...cosx)1222n2x0n2、當(dāng)常數(shù)a0，lim(nanna)n2a3、lim(sin2cos1)xxe2xx3、利用洛必達(dá)法則求未定式極限1x2ex2xsin32x1611、limx011)1x0ln(x1x2)ln(1x)2、lim(23、lim(arctanxx0)1e132xx4、lim(nsin1)ne16n2n4、利用等價(jià)無(wú)窮小ln(sin2xex)xln(x2e2x)x211、limx0ex41lim2、4x01cos(x1cosx)5、利用左右極限的關(guān)系求極限1、limx0ee11xx11arctan1x22e1xsinx2、（00數(shù)一5）lim(x01e4x|x|)1ex1,x012x3、f(x)0,x021x1,x0x6、利用函數(shù)的極限求極限limlnnn1、0nn2、lim(a1)0nan7、利用夾逼法則求極限1111、xnn1n12...n1n求極限12、設(shè)a0求lim(an)1n和lim(am)1m答案：maxaminakkiiiiinm1ik1iki1i13、lim1xnf(x)dx其中f(x)在上連續(xù)0[0,1]n08、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限1、limf(x)bA，求limsinf(x)sinbAcosbxaxaxaxa2、f(x)在xa處可導(dǎo)，f(a)0，求lim(f(a1n))nef(a)n3、lim1[f(tx)f(tx)]x02f(t)axaa9、利用定積分求和式的極限1、lim1[1cos1cos2...1cos]22nnnnnnlim[sinnsin2n...sinnn]22、nn1n12n1n111nn1n2...3、lim[nn]ln210、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限1、xaa...a,a0(n1,2,...)求極限114a2n11、利用泰勒公式求極限x2211x21121、limx0(cosxex2)sinx22、lim1[cos2xsin2xx2(1x2)43]x02245x6練習(xí)提高：lim[sinxsin(sinx)]sinx1（提示：用等價(jià)無(wú)窮小代換或洛必達(dá)法則）；1、（08數(shù)學(xué)一9）x46x0xln(1x)2、(06數(shù)一)limx01cosx3、（06數(shù)一數(shù)二12）數(shù)列{x}滿(mǎn)足0x,xsinx，（1）證明{x}（提示：用等價(jià)無(wú)窮小代換）2極限存在，并求之；（2）nn1n1n求lim(x)n（提示：1、利用單調(diào)有界公理，2、利用重要極限）1、0，2、e16n11x2xnn14、（03數(shù)一4）lim(cosx)ln(1x2)x01（提示：先寫(xiě)成指數(shù)形式）e2esinx5、（00數(shù)一12）lim(x01e41xx|x|)（提示：討論左右極限）1x3x21(sinxcosx)6、（07數(shù)三4）limx02x3x7、（06數(shù)三4）lim(n1)(1)n1nn1x132)8、（05數(shù)三12）lim(x01exx（提示：用洛必達(dá)法則）9、（05數(shù)三4）limsinx(cosxb)5，則a=b=1,4eax0x1cos2x)x243lim(10、（04數(shù)三9）x0sin2x11、設(shè)0x3,xx(3x)(n1,2,...)，證明數(shù)列{x}的極限存在，并求極限。1n1nnna3aa3（提示：用單調(diào)有界公理，）212、求極限lim(sintxsintsinx，求極限)f(x)，并指出其間斷點(diǎn)的類(lèi)型。sinxtxxxk(kZ)為第二間斷點(diǎn)）（f(x)esinx，x0可去間斷點(diǎn)，xx1lim13、1x1xlnxlim1[(2cosx)x1]114、x336x0x1,xc215（08數(shù)三4）設(shè)函數(shù)f(x)xc在(,)內(nèi)連續(xù)，則.1c2,x16、（08數(shù)三10）求極限lim1lnsinxx0.x2x解：lim1lnsinxlimln1x01sinx1limsinxxlimsinxx316x6x2xx2x0xx0x02xx2117、（05數(shù)三4）極限limxsinx=218、(05數(shù)三9)求lim(1x1).321exxx0題型一無(wú)窮小及其階1、（09數(shù)1，2，3）（1）當(dāng)x0時(shí)，f(x)xsinax與g(x)x2ln(1bx)等價(jià)無(wú)窮小，（A）a1,b1（B）a1,b1（C）a1,b1（D）a1,b16（A）666x0時(shí)，函數(shù)f(x)sinxsint2dt與g(x)x3x4比較是（）的無(wú)窮小2、當(dāng)0（A）等價(jià)（B）同階非等價(jià)（C）高階（D）低階（B）0,0為任意正數(shù)，當(dāng)x時(shí)，將1x,1lnx,ex3、設(shè)按從低階到高階的順序排列。答案：1lnx,1x,ex4、當(dāng)x0時(shí)，(1ax)與cos1x是等價(jià)無(wú)窮小，則a________322135、（07數(shù)一4）當(dāng)x0時(shí)，與x等價(jià)的無(wú)窮小量