2022-2023學(xué)年浙江省寧波市余姚市高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市余姚市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】由直線的斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由題意可知：，所以，故選：.2．已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量共線定理列方程求.【詳解】因為，所以可設(shè)，又，所以，所以.故選：C.3．曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線斜率，并利用點斜式求切線方程.【詳解】函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)，所以，所以曲線在點處的切線的斜率為1，又，故曲線在點處的切線方程為.故選：D.4．已知是橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，點的坐標為，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】將轉(zhuǎn)化到，當三點共線且在射線的延長線上時，取得最小值.【詳解】橢圓的，點在橢圓內(nèi)部，如圖，設(shè)橢圓的右焦點為，則；；由圖形知，當在直線上時，，當不在直線上時，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，，當在射線的延長線上時，取得最小值的最小值為．故選：B5．在四面體中，為正三角形，平面，且，若，，則異面直線和所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件建立空間直角坐標系，求異面直線和的方向向量，利用向量夾角公式求其夾角可得結(jié)論.【詳解】因為平面，為正三角形，故以為原點，以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，由，，可得，所以，所以，所以異面直線和所成角的余弦值等于.故選：A.6．某中學(xué)響應(yīng)政府號召，積極推動“公益一小時”，鼓勵學(xué)生利用暑假時間積極參與社區(qū)服務(wù)，為了保障學(xué)生安全，與社區(qū)溝通實行點對點服務(wù)．原計劃第一批派遣18名學(xué)生，以后每批增加6人．由于志愿者人數(shù)暴漲，學(xué)校與社區(qū)臨時決定改變派遣計劃，具體規(guī)則為：把原計劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為，在數(shù)列的任意相鄰兩項與之間插入個2，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列．按新數(shù)列的各項依次派遣支教學(xué)生．記為派遣了50批學(xué)生后參加公益活動學(xué)生的總數(shù)，則的值為（

）A．198 B．200 C．240 D．242【答案】B【分析】由已知確定數(shù)列的通項公式，再確定數(shù)列的項的取值規(guī)律，再求其前50項的和.【詳解】由已知原計劃第一批派遣18名學(xué)生，以后每批增加6人．所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，數(shù)列的公差，所以,數(shù)列為數(shù)列的任意相鄰兩項與之間插入個2所得，所以數(shù)列滿足條件，，當時，，，當時，，，當時，，，當時，，所以數(shù)列的前項的和為，故選：B.7．已知圓，橢圓，過C上任意一點P作圓C的切線l，交于A，B兩點，過A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點Q，則（O為坐標原點）的最大值為（

）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【分析】先得到橢圓在處的切線方程為，考慮切線的斜率不存在和存在兩種情況，得到橢圓兩切線方程，聯(lián)立后得到點Q的坐標，求出當切線斜率不存在時，，當切線斜率存在時，設(shè)為，由與圓相切得到，求出橢圓兩切線方程，得到，求出，求出的最大值.【詳解】當點坐標為時，此時切線的斜率不存在，不妨設(shè)，此時中令得：，所以不妨令，下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為，代入橢圓方程得：，由，化簡得：，所以，把代入，得：，于是則橢圓的切線斜率為，所以橢圓的切線方程為，整理得：，方程兩邊同除以，得到，當切線斜率不存在時，即此時，故切線方程為，中令，可得，故當切線斜率不存在，切線也滿足，綜上：橢圓在處的切線方程為，故過的兩切線分別為和，聯(lián)立可得：，此時，同理可得時，，當切線的斜率存在時，設(shè)為，因為與相切，所以，即，與聯(lián)立得：，設(shè)，則過的橢圓的切線方程為和，聯(lián)立得：，，則，綜上：的最大值為4.故選：C【點睛】過圓上一點的切線方程為：，過圓外一點的切點弦方程為：.過橢圓上一點的切線方程為，過雙曲線上一點的切線方程為8．已知拋物線，焦點為F，準線為l，過F的直線交C于A，B兩點，過B作l的垂線交l于點D，若的面積為，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合焦半徑可得，根據(jù)的面積可解得，進而得，即可求解.【詳解】焦點,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線的方程得，設(shè),則，所以，故，，化簡得，所以，由，所以,故，故選：B二、多選題9．關(guān)于x，y的方程表示的曲線可以是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】BC【分析】先得到且，再結(jié)合方程特點，分，和三種情況求出答案.【詳解】顯然且，若，即時，此時表示橢圓；若，即時，此時表示雙曲線；若，此時無解，綜上：方程表示的曲線可以是橢圓，也可以是雙曲線.故選：BC10．已知等差數(shù)列，其前n項和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．使的的最大值為 C．公差 D．當時最大【答案】ACD【分析】根據(jù)條件可得，，可判斷A正確，可判斷C正確，再根據(jù)可判斷B錯誤，又因為可判斷D正確.【詳解】等差數(shù)列，，又，，A正確.,C正確.,使的n的最大值為.B錯誤.當,所以當時最大.D正確.故選：ACD11．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．若滿足，頂點，，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（

）A．題中的“歐拉線”為方程：B．圓M上的點到直線的最小距離為C．若圓M與圓有公共點，則D．若點在圓M上，則的最大值是【答案】ABD【分析】A選項，分析得到其歐拉線過線段的中點，且與直線垂直，從而求出的歐拉線方程；B選項，根據(jù)的歐拉線與相切，列出方程，求出，得到圓M上的點到直線的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，求出答案；C選項，根據(jù)兩圓有公共點，列出不等式組，求出；D選項，的幾何意義為點與兩點的斜率，數(shù)形結(jié)合得到當過的直線與相切，且斜率為正時，取得最大值，利用點到直線距離公式求出答案.【詳解】線段的中點坐標為，即，直線的斜率為，因為，所以為等腰三角形，三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，其歐拉線過點，且與直線垂直，故的歐拉線斜率為1，則方程為，即，A正確；的歐拉線與相切，故，圓心到直線的距離為，則圓M上的點到直線的最小距離為，B正確；若圓與圓有公共點，則，解得：，C錯誤；為點與兩點的斜率，當過的直線與相切，且直線的斜率為正時，取得最大值，設(shè)直線，由，解得：，故的最大值是，D正確.故選：ABD12．在四棱錐中，底面為正方形，，E，F(xiàn)分別為線段（含端點）上動點，則（

）A．存在無數(shù)個點對E，F(xiàn)，使得平面平面B．存在唯一點對E，F(xiàn)，使得平面平面C．若，則四面體的體積最大值為D．若平面，則四面體的體積最大值為【答案】ACD【分析】連接，記其交點為，在線段上任取一點，過點，作，證明平面，連接，并延長交于點，證明平面平面，判斷A，將四棱錐補形為長方體，過點確定平面的垂線，結(jié)合面面垂直的判斷定理判斷B，根據(jù)條件確定的位置特征，結(jié)合錐體體積公式求四面體，的體積最大值，由此判斷CD.【詳解】因為，底面為正方形，所以四棱錐為正四棱錐，由已知可得連接，記其交點為，由正四棱錐性質(zhì)可得平面，因為，，所以，對于A，在線段上任取一點，過點，作，交與，則平面，連接連接，并延長交于點，因為平面，平面，所以平面平面，故A正確；對于B，將正四棱錐補形為長方體，過點作，連接，又，又，所以四邊形為平行四邊形，過點作，垂足為，因為平面，平面，所以，，平面，所以平面，在線段上任取一點，連接交于點，因為平面，所以平面平面，B錯誤；對于C，因為四面體的體積等于四面體的體積，因為平面，所以四面體的高為，因為，所以，因為，所以，所以，作側(cè)面，連接點和的中點，則，因為，所以，設(shè)，則，，所以，又四面體的體積所以四面體的體積最大值為，C正確；對于D，因為平面，平面，平面平面，所以，設(shè)，則，，，所以，當且僅當點和點重合，點和點重合時取等號，又平面，，所以四面體的體積最大值為，D正確；故選：ACD.【點睛】本題是立體幾何綜合問題，主要考查面面垂直和線面垂直的關(guān)系，線面平行性質(zhì)定理和錐體的體積計算，對學(xué)生的素質(zhì)要求較高.三、填空題13．已知，則在方向上的投影向量為________________．【答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義即可由數(shù)量積求解.【詳解】由于，故在方向上的投影向量為，故答案為：14．設(shè)函數(shù)（m為實數(shù)），若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍_____________．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，，再根據(jù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，恒成立，即，.又在上單調(diào)遞減，所以，故，即，所以m的取值范圍為.故答案為：.15．已知數(shù)列滿足，則___________．【答案】.【分析】由遞推關(guān)系證明數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項公式求其通項，由此可得.【詳解】因為，所以，又，所以，故數(shù)列為等比數(shù)列，首項為3，公比為2，所以，故，故答案為：.16．已知橢圓，過左焦點F作直線交C于A，B兩點，連接（O為坐標原點）并延長交橢圓于點D，若，則橢圓的離心率為_____________．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的焦點三角形滿足的邊關(guān)系，結(jié)合勾股定理即可求解.【詳解】設(shè)右焦點為,連接,由故，由,所以四邊形為平行四邊形，由于，進而可得四邊形為矩形，設(shè)，則，因此，在直角三角形中，,即，解得，所以，故，故，即，故答案為：四、解答題17．已知空間三點，設(shè)．(1)求與的夾角的余弦值；(2)若向量與互相垂直，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)先求出向量，再利用空間向量的夾角公式求解即可；(2)利用向量垂直的充要條件列出方程，解方程求出的值.【詳解】（1）因為，，所以空間向量的夾角公式，可得，所以與的夾角的余弦值為.（2）由（1）可知，.因為向量與互相垂直，所以，所以，所以，所以，解得.18．在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．問題：已知等差數(shù)列為其前n項和，若______________．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求證：數(shù)列的前n項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）選①由與的關(guān)系求解即可；選②③由等差數(shù)列的通項公式與求和公式求解即可；（2）由（1）可得，利用裂項相消法證明即可.【詳解】（1）若選①：在等差數(shù)列中，，當時，，也符合，∴；若選②：在等差數(shù)列中，，，解得；若選③：在等差數(shù)列中，，解得；（2）證明：由（1）得，所以19．已知圓，直線．(1)判斷并證明直線l與圓C的位置關(guān)系；(2)設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點，若點A，B分圓周得兩段弧長之比為，求直線l的方程．【答案】(1)直線與圓相交，證明見解析；(2)直線的方程為或.【分析】（1）由題可得，由得直線恒過定點，再由定點與圓的位置關(guān)系可得直線與圓的位置關(guān)系；（2）利用條件可分析出弦所對圓心角，據(jù)此求出圓心到直線的距離，即可求解.【詳解】（1）因為直線的方程為，所以，由得，，所以直線恒過定點，因為，所以點在圓內(nèi)，故直線與圓相交；（2）因為圓的方程為，所以點的坐標為，半徑為2，因為點A、B分圓周得兩段弧長之比為1：2，故,所以，故圓心到直線的距離，直線斜率不存在時，直線的方程為，因為點到直線的距離為1，所以直線滿足條件，即直線的方程可能為，當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，則圓心到直線的距離，解得，所以直線的方程為，故直線的方程為或.20．已知正項數(shù)列的前n項和為．若（且）．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，求前n項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由，結(jié)合已知遞推關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及遞推關(guān)系可求；（2）由已知先求，根據(jù)錯位相減即可求和．【詳解】（1）由題意得：當時，，因為，所以，所以，因為，所以數(shù)列是以1為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，所以，當時，，由于不適合上式，故；（2）當時，，當時，，所以，當時，，，相減得，故，此時也適合，故．21．如圖，在四棱錐中，底面，．點A在平面內(nèi)的投影恰好為的重心E，連接并延長交于F．(1)求證：；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)平面與平面所成夾角的余弦值為.【分析】(1)方法一：由條件根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，由此證明.方法二：由已知證明為的中點，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)證明；(2)建立空間直角坐標系，求平面與平面的法向量，再由向量夾角公式求其夾角余弦，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）方法一：因為底面，底面，所以，因為平面，平面，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以方法二：因為點為的重心，點為的延長線與的交點，所以點為線段的中點，因為，，所以為等邊三角形，所以；（2）因為底面，底面，所以，又，如圖以點為原點，為軸正方向，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，因為點為的重心，所以，所以，，由已知平面，平面，所以，即所以，所以，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取可得，，所以為平面的一個法向量，又為平面的一個法向量，，所以平面與平面所成夾角的余弦值為.22．已知雙曲線，焦點到其中一條漸近線的距離為．(1)求；(2)動點M，N在曲線C上，已知點，直線分別與y軸相交的兩點關(guān)于原點對稱，點Q在直線上，，證明：存在定點T，使得為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)由雙曲線方程求其漸近線方程，由點到直線距離公式列方程求；(2)證明當斜率不存在時不合題意，設(shè)直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與y軸的兩交點關(guān)于原點對稱結(jié)合韋達定理即可求解.【詳解】（1）由已知雙曲線的漸近線方程為，因為焦