2022-2023學年甘肅省蘭州高二年級上冊學期期末考試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年甘肅省蘭州高二上學期期末考試數(shù)學試題一、單選題1．數(shù)列，，，，…的一個通項公式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)選項進行逐一驗證，可得答案.【詳解】選項A.,當時，無意義.所以A不正確.選項B.,當時，，故B不正確.選項C.，，，所以滿足.故C正確.選項D.,當時,,故D不正確.故選：C2．雙曲線的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)焦點在橫軸上雙曲線的漸近線方程直接求解即可.【詳解】由題得雙曲線的方程為，所以，所以漸近線方程為．故選：D3．已知等差數(shù)列，的前n項和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項和公式求得正確答案.【詳解】，由題意可得.故選：B4．若直線截取圓所得弦長為2，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得直線過圓的圓心，進而可求解.【詳解】因為圓的半徑為1，直徑為2，故直線過的圓心，故，解得.故選：C5．已知圓與拋物線交于，兩點，與拋物線的準線交于，兩點，若四邊形是矩形，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題，結合拋物線與圓的對稱性得弦為拋物線的通徑，進而有，解方程即可得答案.【詳解】解：因為四邊形是矩形，所以由拋物線與圓的對稱性知：弦為拋物線的通徑，因為圓的半徑為，拋物線的通徑為，所以有：，解得故選：D6．已知橢圓上存在點，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由橢圓的定義結合已知求得，再由求得的不等關系，即可求得離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓的定義得，又∵，∴，，而，當且僅當點在橢圓右頂點時等號成立，即，即，則，即.故選：D．7．已知分別是雙曲線的左、右焦點，P是C上位于第一象限的一點，且，則的面積為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理、雙曲線定義求出，再利用三角形的面積公式計算可得答案.【詳解】因為，所以，由雙曲線的定義可得，所以，解得，故的面積為．故選：B.8．已知雙曲線的右焦點為，關于原點對稱的兩點分別在雙曲線的左?右兩支上，，且點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及雙曲線的定義，再利用矩形的性質(zhì)及勾股定理，結合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】如圖所示設，則，，，因為，所以，則四邊形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，于是有，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.二、多選題9．已知圓和圓的交點為A，B，則（

）．A．兩圓的圓心距B．直線的方程為C．圓上存在兩點P和Q使得D．圓上的點到直線的最大距離為【答案】BD【分析】對于A，根據(jù)兩個圓的方程先得到兩個圓心坐標，然后利用兩點間距離公式即可求解；對于B，兩圓作差即可得公共弦的方程；對于C，根據(jù)直線經(jīng)過圓的圓心即可判斷；對于D，圓上的點到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑即可求解.【詳解】由圓和圓，可得圓和圓，則圓的圓心坐標為，半徑為2，圓的圓心坐標為，半徑為，對于A，兩圓的圓心距，故A錯誤；對于B，將兩圓方程作差可得，即得直線的方程為，故B正確；對于C，直線經(jīng)過圓的圓心坐標，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長的弦，故C錯誤；對于D，圓的圓心坐標為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線的最大距離為，故D正確.故選：BD.10．已知M是橢圓上一點，，是其左右焦點，則下列選項中正確的是（

）A．橢圓的焦距為2 B．橢圓的離心率C．橢圓的短軸長為4 D．的面積的最大值是4【答案】BCD【分析】由題意可得，即可判斷A，B，C；當M為橢圓短軸的一個頂點時，以為底時的高最大，面積最大，求出面積的最大值即可判斷.【詳解】解：因橢圓方程為，所以，所以橢圓的焦距為，離心率，短軸長為，故A錯誤，B,C正確；對于D，當M為橢圓短軸的一個頂點時，以為底時的高最大，為2,此時的面積取最大為,故正確.故選：BCD.11．關于及其二項展開式，下列說法正確的是（

）A．該二項展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為B．該二項展開式中第8項為C．當時，除以100的余數(shù)是9D．該二項展開式中不含有理項【答案】BC【分析】對于A，由二項式系數(shù)的性質(zhì)，由公式可得答案；對于B，根據(jù)二項式定理的通項公式，令時，可得答案；對于C，根據(jù)二項式定理，結合帶余除法的變換等式，可得答案；對于D，利用二項式定理通項，使的指數(shù)為整數(shù)，可得答案.【詳解】偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故A錯誤；展開式中第8項為，故B正確；當時，，∵，除以100的余數(shù)是9，∴當時，除以100的余數(shù)是9，故C正確；的展開式的通項為，當為整數(shù)，即時，為有理項，故D錯誤．故選：BC．12．設的左右焦點為，．過右焦點向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B，若，則下列判斷正確的是（

）A．雙曲線漸近線方程為B．離心率為C．它和雙曲線共用一對漸近線D．過點且和雙曲線C只有一個公共點的直線，共有兩條【答案】BC【分析】根據(jù)題意先求出A點坐標，再根據(jù)求出B點坐標，代入另一條漸近線方程中，得到一個等式，利用漸近線的性質(zhì)，結合漸近線方程、離心率公式、以及一元二次方程根的判別式判斷即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，設過右焦點向雙曲線的漸近線引垂線，垂足為A，所以的斜率為，因為的坐標為，所以直線的方程為：，與聯(lián)立，解得，設，因為，所以有，所以，代入中，得：A：因為，雙曲線漸近線方程為，故本判斷不正確；B：由，故本判斷正確；C：，所以該雙曲線的漸近線方程為：，故本判斷正確；D：，因此雙曲線方程為：設過的直線方程為，代入雙曲線方程中得：，當時，此時直線與雙曲線只有一個公共點，這樣有二條，當時，由根的判別式為零，得，可得：，這樣的直線有二條，因此本判斷不正確，故選：BC【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是通過已知求出A點坐標，再根據(jù)求出B點坐標.三、填空題13．若直線與垂直，則實數(shù)m＝__．【答案】6【分析】根據(jù)兩直線垂直時，斜率乘積為-1，解方程求得m的值．【詳解】由直線且斜率存在，則直線，由直線與垂直，則解得.故答案為：6．14．如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.勤勞而充滿智慧的我國古代勞動人民曾用太極圖解釋宇宙現(xiàn)象.太極圖由正方形的內(nèi)切圓(簡稱大圓)和兩個互相外切且半徑相等的圓(簡稱小圓)的半圓弧組成，兩個小圓與大圓均內(nèi)切.若正方形的邊長為8，則以兩個小圓的圓心(圖中兩個黑白點視為小圓的圓心)為焦點，正方形對角線所在直線為漸近線的雙曲線實軸長是_______.【答案】【分析】由題得雙曲線的漸近線方程為，，故，進而得，故實軸為.【詳解】解：以兩焦點所在直線為軸，兩焦點所在線段的中垂線為軸建立直角坐標系，設雙曲線的焦距為，由題意得雙曲線的漸近線方程為，，所以，進而得.故雙曲線的實軸長為：.故答案為：【點睛】本題解題的關鍵在于根據(jù)建立適當坐標系，進而根據(jù)題意得該雙曲線的漸近線為，，進而求解，考查數(shù)學建模能力與運算求解能力，是中檔題.15．第5屆中國國際進口博覽會在上海舉行，某高校派出了包括甲同學在內(nèi)的4名同學參加了連續(xù)5天的志愿者活動．已知甲同學參加了2天的活動，其余同學各參加了1天的活動，則甲同學參加連續(xù)兩天活動的概率為______．（結果用分數(shù)表示）【答案】##【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，結合排列數(shù)、組合數(shù)運算求解.【詳解】“甲同學參加了2天的活動，其余同學各參加了1天的活動”共有種可能，“甲同學參加連續(xù)兩天活動”共有種可能，故甲同學參加連續(xù)兩天活動的概率.故答案為：.16．已知橢圓C：的左?右焦點分別為?，M為橢圓C上任意一點，N為圓E：上任意一點，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義，結合橢圓和圓的幾何性質(zhì)進行求解即可.【詳解】如圖，由為橢圓上任意一點，則，又為圓上任意一點，則（當且僅當M、N、E共線時取等號），∴，當且僅當M、N、E、共線時等號成立.∵，，則，∴的最小值為，當共線時，最大，如下圖所示：，最大值為，所以的取值范圍為，故答案為：【點睛】關鍵點睛：運用橢圓的定義和橢圓、圓的幾何性質(zhì)是解題的關鍵.四、解答題17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且滿足(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)令求數(shù)列的前n項和；【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式得到，根據(jù)通項公式的求法得到結果；（2）分組求和即可.【詳解】（1）設的公差為,由已知,有解得，所以的通項公式為,的通項公式為.（2），分組求和，分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式與等差數(shù)列求和公式得到：.18．已知圓C經(jīng)過坐標原點O和點（4，0），且圓心在x軸上(1)求圓C的方程；(2)已知直線l：與圓C相交于A、B兩點，求所得弦長的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進而利用垂徑定理求出弦長.【詳解】（1）由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2．則圓的方程為；（2）由（1）可知：圓C半徑為，設圓心（2，0）到l的距離為d，則，由垂徑定理得：．19．已知是直線l被橢圓所截得的線段的中點，求直線l的方程．【答案】.【分析】中點弦問題，可以采用點差法求解，或聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達定理和中點坐標公式求解.【詳解】由題意可知l斜率必存在，設l斜率為，則直線的方程為，代入橢圓的方程化簡得，設，∵，∴，解得，故直線l的方程為：.另解：由題知在橢圓內(nèi)，設直線與橢圓相交于點，易知直線斜率存在，設斜率為，∵在橢圓上，，①－②得，即，即，解得.∴直線的方程為，整理得.20．已知橢圓的左、右焦點分別為F?，F(xiàn)?，動點M滿足||MF?|-|MF?||=4.(1)求動點M的軌跡C的方程：(2)已知點A(-2，0)，B(2，0)，當點M與A，B不重合時，設直線MA，MB的斜率分別為k?，k?，證明:為定值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓方程得出焦點坐標，由已知分析動點滿足的條件，根據(jù)定義利用待定系數(shù)法設方程，求出相關的量即可；（2）設設，代入方程中化簡得的表達式，利用斜率公式寫出的表達式，化簡即可【詳解】（1）由橢圓知：所以左、右焦點分別為因為動點M滿足||MF?|-|MF?||=4所以動點在以為焦點的雙曲線上，設動點設方程為：由雙曲線的定義得：所以所以動點設方程為：（2）設則由所以所以.21．已知雙曲線：與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點.(1)求雙曲線的方程；(2)已知雙曲線的左?右焦點分別為，，直線經(jīng)過，傾斜角為，與雙曲線交于兩點，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)共漸近線設出雙曲線方程，代入點的坐標即可得解；（2）根據(jù)題意求出直線的方程，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去后由韋達定理得，從而由弦長公式求得弦長，再求出到直線距離后即可求得的面積．【詳解】（1）依題意，設所求雙曲線方程為，代入點得，即，所以雙曲線方程為，即．（2）由（1）得，則，，，又直線傾斜角為，則，故直線的方程為，設，，聯(lián)立，消去，得，則，，，由弦長公式得，又點到直線的距離，所以．22．已知拋物線上的點到其焦點的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)點在拋物線上，直線與拋物線交于、兩點，點與點關于軸對稱，直線分別與直線、交于點、（為坐標原點），且.求證：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知可得，利用拋物線的定義可得出關于的等式，結合可求得的值，即可得出拋物線的方程；（2）分析可知直線的斜率存在且大于，設直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程，列出韋達定理，求出直線、的方程，求出點、的坐標，分析可知點為線段的中點，利用中點坐標公式結合韋達定理求出的值，即可得解.【詳解】（1）解：由點在拋物線上可得，，解得.由拋物線的定義可得，整理得，解得或（舍去）.故拋物線的方程為.（2）證明：由在拋物線上可得，解得，所以，則直線的方程為.易知且、均不為，易知，因為，，，所以，直線的斜率存在且大于，設直線的方程為，聯(lián)