隨機(jī)過程第三課件

隨機(jī)過程第三課件第1頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日引言[泊松分布]

隨機(jī)變量X

的所有可能取值為0,1,2,…

，而取各個(gè)值的概率為則隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為的泊松分布，簡記為()。第2頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日3.1泊松過程的定義[定義]稱{N(t),t0}

為計(jì)數(shù)過程，若N(t)表示到時(shí)間t

為止已發(fā)生的“事件A”的總數(shù)，且N(t)滿足下列條件：

(1)N(t)0;

(2)N(t)取整數(shù);

(3)若s<t，N(s)N(t);

(4)當(dāng)s<t時(shí)，N(t)N(s)等于區(qū)間(s,t]中“事件A”發(fā)生的次數(shù)。第3頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日泊松過程[定義]稱計(jì)數(shù)過程{X(t),t0}為具有參數(shù)

>0的泊松過程，若它滿足下列條件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是獨(dú)立增量過程;

(3)在任一長度為t的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)

>0的泊松分布，即對任意s,t0，有第4頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日泊松過程的另一個(gè)定義[定義]稱計(jì)數(shù)過程{X(t),t0}為具有參數(shù)

>0的泊松過程，若它滿足下列條件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過程;

(3)X(t)滿足下列兩式：第5頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日泊松過程的幾個(gè)實(shí)例考慮某一電話交換臺在某段時(shí)間接到的呼叫。令X(t)表示電話交換臺在(0,t]

時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，則{X(t),t0}是一個(gè)泊松過程。考慮來到某火車站售票窗口購買車票的旅客。若記X(t)

為時(shí)間(0,t]

內(nèi)到達(dá)售票窗口的旅客數(shù)，則{X(t),t0}是一個(gè)泊松過程?？紤]機(jī)器在

(t,t+h]

內(nèi)發(fā)生故障這一事件。若機(jī)器發(fā)生故障，立即修理后繼續(xù)工作，則在(t,t+h]

內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障而停止工作的事件數(shù)構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)過程，它可以用泊松過程來描述。第6頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日3.2泊松過程的基本性質(zhì)(1)泊松過程的數(shù)字特征均值函數(shù)方差函數(shù)相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)第7頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日(2)

時(shí)間間隔與等待時(shí)間的分布設(shè)

{X(t),t0}是泊松過程，令X(t)表示時(shí)刻事件A發(fā)生（顧客出現(xiàn)）的次數(shù)，T1T2T3Tn0W1W2W3Wn-1WntWn

——第n次事件A發(fā)生的時(shí)刻，或稱等待時(shí)間Tn

——從第n-1次事件A發(fā)生到第n次事件A發(fā)生的時(shí)間間隔，或稱第n個(gè)時(shí)間間隔第8頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日時(shí)間間隔的分布Tn的分布函數(shù)：[定理]設(shè)

{X(t),t0}是具有參數(shù)的泊松過程，{Tn,n1}是對應(yīng)的時(shí)間間隔序列，則隨機(jī)變量Tn(n=1,2,…)是獨(dú)立同分布的均值為1/的指數(shù)分布。Tn的概率密度：第9頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日等待時(shí)間的分布分布又稱為愛爾蘭分布，它是n個(gè)相互獨(dú)立且服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和的概率密度。[定理]設(shè)

{X(t),t0}是具有參數(shù)的泊松過程，{Wn,n1}是對應(yīng)的等待時(shí)間序列，則隨機(jī)變量Wn服從參數(shù)為n與的分布，其概率密度為第10頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日例1已知儀器在[0,t]內(nèi)發(fā)生振動(dòng)的次數(shù)X(t)是具有參數(shù)的泊松過程。若儀器振動(dòng)k(k1)次就會出現(xiàn)故障，求儀器在時(shí)刻t0

正常工作的概率。[解]

儀器發(fā)生第k次振動(dòng)的時(shí)刻Wk就是故障時(shí)刻，故儀器在時(shí)刻t0

正常工作的概率為:第11頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日(3)到達(dá)時(shí)間的條件分布假設(shè)在[0,t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生一次，確定這一事件到達(dá)時(shí)間W1的分布分布函數(shù)：分布密度：——均勻分布第12頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日到達(dá)時(shí)間的條件分布[定理]設(shè)

{X(t),t0}是泊松過程，已知在[0,t]內(nèi)事件A發(fā)生n次，則這n次到達(dá)時(shí)間W1<W2<…<Wn與相應(yīng)于n個(gè)[0,t]上均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量有相同的分布，第13頁，共15頁，2023年，2月20日，星期日3.3泊松過程的應(yīng)用舉例[例2]

設(shè)在[0,t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，且0<s<t，對于0<k<n

，求在[0,s]內(nèi)事件A發(fā)生k次的概率。參數(shù)為n

和s/t

的二項(xiàng)分布第14頁，共15頁，2