第七章量綱分析與動(dòng)力相似詳解

第七章量綱分析與動(dòng)力相似詳解演示文稿1現(xiàn)在是1頁\一共有44頁\編輯于星期一優(yōu)選第七章量綱分析與動(dòng)力相似2現(xiàn)在是2頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似長(zhǎng)度—時(shí)間—質(zhì)量(L-T-M)作為基本量綱時(shí)有如下的導(dǎo)出量綱:對(duì)于任何物理量(如以A表示)的量綱可寫作速度加速度密度力壓強(qiáng)(7-1)3現(xiàn)在是3頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似

在量綱分析中，把一個(gè)物理過程當(dāng)中那些彼此互相獨(dú)立的物理量稱為基本量，其它物理量可由這些基本量導(dǎo)出，稱為導(dǎo)出量，基本量與導(dǎo)出量之間可以組合成無量綱量，無量綱量具有如下的特點(diǎn):①量綱表示式中的指數(shù)均為零；②沒有單位；數(shù)值與所采用的單位制無關(guān)，故無量綱量也稱為無量綱數(shù)。設(shè)A、B、C為三個(gè)基本量，它們成立的條件是Ax、By、Cz的冪乘積不是無量綱量，即不能找到不全為0的x、y、z來滿足下式二、無量綱量(7-2)4現(xiàn)在是4頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似(7-3)而滿足下式，且b1、b2、b3不全為0。采用式(7-1)來表示物理量A、B、C的量綱代入式(7-2)和(7-3)，對(duì)照兩邊的指數(shù)，可寫出如下方程(7-4)5現(xiàn)在是5頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似方程組(7-4)和(7-5)的系數(shù)行列式(7-6)因此變量A、B、C是互相獨(dú)立的，它們可以作為基本變量。(7-5)是使方程組(7-4)為全零解的充分必要條件，也是方程組(7-5)存在一組非零解的充分必要條件。6現(xiàn)在是6頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似三、物理方程的量綱一致性

在自然現(xiàn)象當(dāng)中，互相聯(lián)系的物理量可構(gòu)成物理方程。物理方程可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，同一方程中各項(xiàng)又可以由不同量組成，但是各項(xiàng)的單位必定相同，量綱也必然一致；另一方面，由于物理方程的量綱具有一致性，可以用任意一項(xiàng)去除等式兩邊，使方程每一項(xiàng)變?yōu)闊o量綱量，這樣原方程就變?yōu)闊o量綱方程，但所表達(dá)的物理現(xiàn)象與原方程相同，這一點(diǎn)極為重要，這也是量綱分析的理論依據(jù)。例如，動(dòng)能方程可改寫為7現(xiàn)在是7頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似理想流體伯努利方程a1=a2=1，也可改寫為可以驗(yàn)證各項(xiàng)也都是無量綱量。量綱一致性原理，或量綱齊次性原理、量綱和諧原理。量綱一致性原理要求凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱必須是一致的。從量綱一致性原理可以得到一個(gè)重要推論：一個(gè)正確反映客觀規(guī)律的物理方程必然可以寫成量綱為一的形式。8現(xiàn)在是8頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似§7-2泊金漢Π定理設(shè)一個(gè)流動(dòng)過程涉及n個(gè)變量，v1、v2、v3、···、vn，其中v2、v3、···、vn是相互獨(dú)立的自變量，它們是實(shí)驗(yàn)中可以控制的量，實(shí)驗(yàn)的目的是依次改變其中的一個(gè)而保持其他變量不變，從而確定它們各自對(duì)變量v1的影響；v1是實(shí)驗(yàn)中待確定或測(cè)量的量，它是自變量的函數(shù)，稱為因變量。如在上節(jié)提到的圓球在粘性流體內(nèi)運(yùn)動(dòng)的例子中，阻力FD是實(shí)驗(yàn)中要確定的因變量，α、μ和U則是相互獨(dú)立的自變量。這里說α、μ和U相互獨(dú)立，是指它們之間不能用任意一個(gè)或兩個(gè)來表示另外一個(gè)。不是所有的變量都相互獨(dú)立，比如ρ、μ和ν三個(gè)量中只有2個(gè)獨(dú)立，因?yàn)棣?μ/ρ。實(shí)驗(yàn)的最終目的是尋求關(guān)系式依據(jù)量綱一致性原理，上式一定可以表示成量綱為一的形式，量綱為一的關(guān)系式中量綱為一的組合量數(shù)將少于原式中的變量數(shù)。(7.5)9現(xiàn)在是9頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似泊金漢Π定理將式(7.5)改變?yōu)榱烤V為一的形式的方法有多種，這里首先介紹1914年由泊金漢(E.Buckingham)提出的方法，稱為泊金漢Π定理。在數(shù)學(xué)上，大寫希臘文字母Π表示變量相乘，由于量綱為一的組合量總是以物理量的冪次乘積形式出現(xiàn)，于是習(xí)慣上將量綱為一的組合量表示為Π1、Π2、Π3、…。泊金漢Π定理可表述如下：如果一個(gè)量綱一致的方程中包含n個(gè)變量，則這一方程可以表示成k個(gè)量綱為一的組合量或Π之間的關(guān)系式，變量減少數(shù)j=n-k是相互不能組成量綱為一的組合量或Π的最多變量數(shù)，j總是等于或小于描述這些變量所需的最少基本量綱數(shù)。10現(xiàn)在是10頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似泊金漢Π定理的第二部分告訴我們?nèi)绾未_定這k個(gè)量綱為一的組合量：首先確定j，然后選取j個(gè)相互不能組成Π的變量，每一個(gè)Π都可用這j個(gè)變量與另外一個(gè)變量的冪次乘積組成，如此得出的每一個(gè)Π都是獨(dú)立的。以式(7.5)為例，假設(shè)基本量綱數(shù)為3，即M、L和T，經(jīng)過觀察，n個(gè)變量中相互不能形成Π的最大變量數(shù)也是3，j=3，依據(jù)Π定理，n個(gè)變量可以組成而且只能組成(n-j)個(gè)Π。選取3個(gè)不能形成Π的變量，如v1、v2和v3，于是可以用這3個(gè)變量與另外一個(gè)變量的冪次乘積組成一個(gè).Π

，(n-3)個(gè)Π可分別表示為，，…，。11現(xiàn)在是11頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似令等式兩側(cè)的冪指數(shù)相等，即可求出使每一個(gè)Π成為量綱為一的組合量的a、b和c。這樣確定的Π是相互獨(dú)立的，因?yàn)橹挥笑?包含v4，只有Π2包含v5，等等。通常稱上述確定Π的方法為重復(fù)變量法。采用重復(fù)變量法確定Π的步驟如下：（1）列出所研究流動(dòng)問題涉及的n個(gè)變量。正確地選擇相關(guān)變量在很大程度上依賴于研究人員的流體力學(xué)知識(shí)和對(duì)所研究問題物理本質(zhì)的理解，如果遺漏了重要的變量，便不能得到正確反映流動(dòng)過程的量綱為一的關(guān)系式。（2）寫出每個(gè)相關(guān)變量的基本量綱，流體力學(xué)常用變量的量綱可參閱表1.2。12現(xiàn)在是12頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似（3）確定j，則Π的個(gè)數(shù)為k=n-j。（4）選擇j個(gè)變量，這j個(gè)變量應(yīng)包括所有的基本量綱，同時(shí)它們相互之間又不能組成一個(gè)量綱為一的量，如可選取密度、速度或長(zhǎng)度等。由于選取的這j個(gè)變量將出現(xiàn)在每一個(gè)Π中，稱它們?yōu)橹貜?fù)變量。若我們希望因變量v1只出現(xiàn)在一個(gè)Π中，注意不要選取v1作為重復(fù)變量。（5）用選擇的j個(gè)變量依次和剩余的(n-j)個(gè)變量中的每一個(gè)組合成冪次乘積形式，求解其冪指數(shù)，使每個(gè)組合量綱為一化。13現(xiàn)在是13頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似（6）寫出最終的量綱為一的組合量關(guān)系式式中，F(xiàn)表示與f不同的函數(shù)形式。注意到只有Π1包含因變量v1，式(7.6)對(duì)于待確定或測(cè)量的量叫來說為顯式。(7.6)14現(xiàn)在是14頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似§7-3動(dòng)力相似

工程上經(jīng)常遇到的流體力學(xué)問題，比如飛機(jī)的升力、地面車輛和船舶的運(yùn)動(dòng)阻力、大壩瀉洪道的設(shè)計(jì)等，現(xiàn)在還不能單純依賴?yán)碚摲治龌驍?shù)值計(jì)算來解決。為了尋求具體流動(dòng)的規(guī)律，給設(shè)備設(shè)計(jì)積累數(shù)據(jù)，或者為了驗(yàn)證理論和數(shù)值計(jì)算結(jié)果，往往先需要使用縮小的模型，即使用幾何相似但尺寸較小的模型在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行測(cè)試，比如用縮小的飛機(jī)模型在風(fēng)洞內(nèi)吹風(fēng)以測(cè)量升力和阻力。如果模型流動(dòng)與實(shí)物流動(dòng)不同，比如模型流動(dòng)是層流，而實(shí)物流動(dòng)是湍流，或者兩者都是層流，但流線形狀完全不同，則模型實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是無用的。只有當(dāng)模型實(shí)驗(yàn)的流動(dòng)與實(shí)物流動(dòng)動(dòng)力相似時(shí)，在模型實(shí)驗(yàn)中獲得的升力數(shù)據(jù)才可以推廣應(yīng)用于實(shí)際飛行器。15現(xiàn)在是15頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似一、幾何相似如果兩個(gè)流動(dòng)的線性變量間存在著固定的比例關(guān)系，即原型和模型對(duì)應(yīng)的線性長(zhǎng)度的比值相等，則這兩個(gè)流動(dòng)稱為幾何相似的。如以l表示某一線性尺度，則有長(zhǎng)度比尺由此可推得其它有關(guān)幾何量的比尺，例如面積和體積，比尺分別為16現(xiàn)在是16頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似二、運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似是指流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)相似。也就是指兩個(gè)流動(dòng)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)(包括邊界上各點(diǎn))的速度u方向相同，其大小成一固定的比尺Cu。即注意到流速是位移對(duì)時(shí)間t的微商dl/dt，則時(shí)間比尺為同理，在運(yùn)動(dòng)相似的條件下，流場(chǎng)中對(duì)應(yīng)點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)的加速度比尺為17現(xiàn)在是17頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似三、動(dòng)力相似若兩流動(dòng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)所受同名力F的方向相同，其大小之比均成一固定的比尺CF，則這兩個(gè)流動(dòng)是動(dòng)力相似。所謂同名力是指具有同一物理性質(zhì)的力。例如，重力FG、粘性力Fμ、壓力FP、彈性力FE、表面張力FT等。為了確定船只運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力，常常利用縮小的模型在水池中進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)(圖7.3)。18現(xiàn)在是18頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似實(shí)物流動(dòng)與模型流動(dòng)的動(dòng)力相似首先要求兩個(gè)流動(dòng)的邊界幾何相似，即要求所有的對(duì)應(yīng)幾何特征長(zhǎng)度成比例，如在圖示的兩個(gè)流動(dòng)中d/l=d1/l1。動(dòng)力相似還要求運(yùn)動(dòng)相似，即兩個(gè)流動(dòng)的流線幾何相似，這意味著在相應(yīng)的空間位置上的速度成比例，如在圖7.3a中的P點(diǎn)速度為U/2，那么在圖7.3b中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1速度應(yīng)為U1/2。如選取沿吃水線的船長(zhǎng)l作為特征長(zhǎng)度，上游的來流速度U為特征速度，分別將空間坐標(biāo)和速度矢量量綱為一化，運(yùn)動(dòng)相似意味著當(dāng)兩個(gè)流動(dòng)的量綱為一的空間位置相同時(shí)，量綱為一的速度19現(xiàn)在是19頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似相等，即兩個(gè)流動(dòng)在幾何相似點(diǎn)上的流動(dòng)速度與特征速度的比值相同。當(dāng)滿足上述兩個(gè)條件時(shí)，我們稱兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，在動(dòng)力相似的流動(dòng)中所有的幾何和速度尺度均成比例。動(dòng)力相似條件——雷諾數(shù)粘性不可壓縮流動(dòng)的連續(xù)方程和N-S方程分別為引入一個(gè)特征長(zhǎng)度L和一個(gè)特征速度U來使上述方程組量綱為一化。對(duì)于圖7.3中的流動(dòng)，如上文所述可以選取沿吃水線的船長(zhǎng)l作為特征長(zhǎng)度，上游的來流速度U作為特征速度；在管內(nèi)流動(dòng)情形下，則可取圓管直徑D為特征長(zhǎng)度，管截面平均速度V為特征速度，等等。(7.7a)(7.7b)20現(xiàn)在是20頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似壓強(qiáng)通常隨速度場(chǎng)變化而變化，這里可用ρU2作為壓強(qiáng)的參考量。沒有引入特征時(shí)間尺度，因?yàn)檫@里只限于討論外加條件為定常的情形；N-S方程中之所以保留時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，因?yàn)殡m然外加條件定常，非定常的脈動(dòng)仍然可能自發(fā)地出現(xiàn)(參閱第10章10.6節(jié)，卡門渦街)，但此種非定常脈動(dòng)的頻率和幅度等只與上述特征長(zhǎng)度L和特征速度U有關(guān)。利用L和U將方程中相關(guān)變量量綱為一化，它們的量綱為一的形式分別為21現(xiàn)在是21頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似在以上各式中上標(biāo)“′”，表示量綱為一的量，代入連續(xù)方程和N-S方程，得對(duì)上兩式進(jìn)一步簡(jiǎn)化，得(7.8a)(7.8b)22現(xiàn)在是22頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似方程(7.8b)中出現(xiàn)了量綱為一的組合量雷諾數(shù)Re=ρUL/μ，在對(duì)邊界條件作量綱為一化處理過程中還可能出現(xiàn)其他的量綱為一的組合量。由于方程(7.8a)和(7.8b)中只顯含量綱為一的組合量Re，因此滿足量綱為一的邊界條件的解，速度和壓強(qiáng)，只可能是下列變量的函數(shù)：(1)量綱為一的坐標(biāo)x′、y′、z′與時(shí)間t′；(2)雷諾數(shù)Re；(3)滿足量綱為一的邊界條件所需的量綱為一的組合量。將基本方程量綱為一化，表面上看只是形式上的變化，但它卻清楚地提示我們，如果兩個(gè)流動(dòng)滿足相同的量綱為一的邊界條件，則無論這兩個(gè)流動(dòng)的ρ、L，U和μ如何不同，只要它們的組合ρUL/μ相同，這兩個(gè)流動(dòng)就可以用唯一相同的量綱為一的形式的解來描述，即兩個(gè)流動(dòng)的幾何尺寸大小、流體種類和速度可能不同，但只要雷諾數(shù)相同，它們就有相同的量綱為一的形式的解。23現(xiàn)在是23頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似之所以稱這樣的流動(dòng)為動(dòng)力相似，是因?yàn)閯?dòng)量方程(7.8b)中的項(xiàng)可視為表示不同的力，粘性力、壓力和慣性力等，而兩個(gè)流動(dòng)中在相同量綱為一的時(shí)刻位于相同量綱為一的空間位置的流體質(zhì)點(diǎn)受到的所有力成同一比例。雷諾數(shù)可視為對(duì)作用在單位體積流體上的非粘性力與粘性力的相對(duì)重要性的一個(gè)度量。對(duì)于沿x方向的流動(dòng)，單位體積流體的慣性力為ρDu/Dt，如果為定常流動(dòng)，則為ρu?u/?x；單位體積流體的粘性力為μ?2u/?2x

，壓力為-?

p*/?

x。這些力總體上處于平衡狀態(tài)，它們的相對(duì)大小可用任意兩個(gè)力的比值來表示，但壓力通常是被動(dòng)力，取決于流場(chǎng)的速度分布，因此可用慣性力與粘性力的比值作為流動(dòng)中受力平衡的標(biāo)志。在空間任意點(diǎn)慣性力與粘性力的比值為24現(xiàn)在是24頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似設(shè)流場(chǎng)的特征量是密度ρ、粘度μ以及上文提到的特征長(zhǎng)度L和特征速度U。由于流場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)的速度都與特征速度U成比例，因此時(shí)，，于是可見雷諾數(shù)是慣性力與粘性力相對(duì)大小的一個(gè)度量，對(duì)于給定的邊界條件，改變雷諾數(shù)相當(dāng)于改變了慣性力與粘性力的相對(duì)大小。兩個(gè)流動(dòng)的雷諾數(shù)Re=ρUL/μ相同，就表示對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)和對(duì)應(yīng)時(shí)刻流體所受到的非粘性力與粘性力成比例，即兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似。25現(xiàn)在是25頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似量綱為一的因數(shù)除了速度場(chǎng)和壓強(qiáng)場(chǎng)外，我們也關(guān)心流體對(duì)物體的作用力。物體表面的法向和切向應(yīng)力p和τ可以用ρU2量綱一化為p/(ρU2)和τ/(ρU2)，這些量綱為一的組合量與量綱為一的速度一樣也是量綱為一的空間坐標(biāo)和雷諾數(shù)的函數(shù)，即物體受到的總作用力沿來流方向的分量稱為阻力，以FD表示，垂直于來流方向的分量稱為升力，以FL表示。通常將阻力和升力寫成如下量綱為一的形式26現(xiàn)在是26頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似分別稱CD和CL為阻力因數(shù)和升力因數(shù)，式中A是物面在來流方向的投影面積(對(duì)于圓球?yàn)棣衐2/4，d表示圓球直徑)。由于CD和CL是p/(ρU2)和τ/(ρU2)在物體表面作積分的結(jié)果，因此它們都只是雷諾數(shù)的函數(shù)(7.11)式(7.11)表示的相似律得到無數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的驗(yàn)證。圖7.4給出長(zhǎng)圓柱與圓球的阻力因數(shù)與雷諾數(shù)的關(guān)系曲線，不同流體、不同尺寸圓柱和圓球的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)落在同一條曲線上，印證了式(7.11)表示的雷諾數(shù)相似律的客觀存在。27現(xiàn)在是27頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似其他量綱為一的組合量如果不可壓縮流體有彎曲界面，比如水與空氣的彎曲自由面，則界面上的流體壓強(qiáng)與大氣壓強(qiáng)之間存在差值，這一差值與表面張力系數(shù)σ成正比，由式(l.17)，pa-p=σ(1/r1+1/r2)，式中r1和r2是彎曲自由面的主曲率半徑，曲率中心位于大氣一側(cè)，則廣義壓強(qiáng)可寫為上式兩側(cè)同除以ρU2使其量綱為一化，以流場(chǎng)某一特征長(zhǎng)度L使r1和r2量綱為一化，則有上式中出現(xiàn)了3個(gè)新的量綱為一的組合量，Eu=pa/ρU2

，F(xiàn)r=，We=ρU2L/σ，依次稱為歐拉數(shù)、弗勞德數(shù)和韋伯?dāng)?shù)。28現(xiàn)在是28頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似

弗勞德數(shù)，F(xiàn)r=，可看作是流動(dòng)慣性力與重力的比值。在存在自由面的流動(dòng)中，它是起主導(dǎo)作用的量綱為一的組合量；而當(dāng)沒有自由面時(shí)，它則完全不重要。在式(7.8)中由于將重力項(xiàng)吸收進(jìn)廣義壓強(qiáng)中，方程中不再出現(xiàn)重力項(xiàng)，因此對(duì)于無自由面的流動(dòng)分析可不考慮重力影響。

韋伯?dāng)?shù)，We=ρU2L/σ，可解釋為慣性力與表面張力的比值。當(dāng)韋伯?dāng)?shù)等于或小于1，如液滴、毛細(xì)管內(nèi)流動(dòng)、非常小的水力模型、細(xì)小的表面波等情形下，韋伯?dāng)?shù)是重要的影響參數(shù)；其他場(chǎng)合，韋伯?dāng)?shù)影響可以忽略。

歐拉數(shù)，通常以壓強(qiáng)差的形式寫為Eu=Δp/ρU2，Δp=p-p

ref，pref為參考?jí)簭?qiáng)。在大多數(shù)場(chǎng)合，都可忽略歐拉數(shù)的影響。29現(xiàn)在是29頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似

在某些流動(dòng)中，比如在水泵和船舶的螺旋槳推進(jìn)器中，當(dāng)流體壓強(qiáng)降低到飽和蒸汽壓強(qiáng)pV以下時(shí)，會(huì)出現(xiàn)閃蒸而產(chǎn)生氣泡，稱為氣穴現(xiàn)象，而當(dāng)壓強(qiáng)再次升高時(shí)，因汽泡的突然破裂伴隨有巨大的壓強(qiáng)沖擊，會(huì)在螺旋槳或葉輪表面發(fā)生氣蝕。選取液體飽和壓強(qiáng)作參考?jí)簭?qiáng)，歐拉數(shù)可寫為稱為氣穴數(shù)。

對(duì)于高速的可壓縮流動(dòng)，方程(7.7)和(7.8)不再適用，因?yàn)榱黧w密度不再為常數(shù)，描寫可壓縮流動(dòng)，除了可壓縮流動(dòng)的N-S方程和連續(xù)方程(3.29)外，還需要能量方程，以及p，ρ和h之間的熱力學(xué)關(guān)系式。這些關(guān)于可壓縮流動(dòng)的方程將會(huì)引入新的量綱為一的組合量，其中一個(gè)重要的量綱為一的組合量是馬赫數(shù)

30現(xiàn)在是30頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似式中，a是當(dāng)?shù)匾羲伲此紤]點(diǎn)的音速。當(dāng)存在外加條件導(dǎo)致的脈動(dòng)流動(dòng)時(shí)，如管道進(jìn)口速度為以特征速度U和特征時(shí)間L/U分別使速度和脈動(dòng)角頻率ω量綱為一化，得余弦函數(shù)的自變量中包含一個(gè)新的量綱為一的組合量稱為斯特勞哈爾數(shù)。31現(xiàn)在是31頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似

式(7.11)僅適用于流動(dòng)中起主導(dǎo)作用的力為慣性力和粘性力的情形。如流場(chǎng)中存在自由面時(shí)，重力的影響變得重要起來，弗勞德數(shù)Fr應(yīng)該進(jìn)入(7.11)；對(duì)于可壓縮流動(dòng)，還需考慮馬赫數(shù)的影響，等等。在上述情形下(7.11)可改寫為(7.16)此時(shí)為了使兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，除了雷諾數(shù)外，還要求弗勞德數(shù)和馬赫數(shù)相等。在另外一些場(chǎng)合，則可能還需考慮其他量綱為一的組合量的影響。32現(xiàn)在是32頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似§7-4模型實(shí)驗(yàn)

進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)的目的是為原型設(shè)備的設(shè)計(jì)提供客觀依據(jù)，只有模型流動(dòng)與實(shí)物流動(dòng)之間存在動(dòng)力相似，模型實(shí)驗(yàn)中測(cè)量的數(shù)據(jù)才能推廣應(yīng)用于實(shí)物流動(dòng)。

為了保證兩個(gè)幾何相似的設(shè)備內(nèi)的流動(dòng)動(dòng)力相似，如式(7.11)和(7.16)所示，流動(dòng)的雷諾數(shù)、弗勞德數(shù)以及馬赫數(shù)等必須保持相等。這些量綱為一的組合量與利用量綱分析方法得出的Π數(shù)組是相同的。可以將式(7.11)和(7.16)寫為更一般的形式(7.17)33現(xiàn)在是33頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似

在相似理論中量綱為一的組合量也稱相似準(zhǔn)則，或相似準(zhǔn)則數(shù)。式中Π1包含實(shí)驗(yàn)中的待測(cè)量，或因變量，稱為“非定性準(zhǔn)則”或“非獨(dú)立準(zhǔn)則”、“非決定性準(zhǔn)則”

；Π

2、Π

3、…、Πn中只包含相互獨(dú)立的自變量，即實(shí)驗(yàn)中可以控制的量，稱為“定性準(zhǔn)則”，或“獨(dú)立準(zhǔn)則”、“決定性準(zhǔn)則”。對(duì)于具有幾何相似邊界的模型和實(shí)物流動(dòng)，只要定性準(zhǔn)則數(shù)分別相等，即Π

2m=Π

2p，Π

3m=Π

3p，…，Π

nm=Π

np(7.18)Π

1m=Π

1p(7.19)它們便動(dòng)力相似，于是非定性準(zhǔn)則數(shù)也相等式中，下標(biāo)“m”是英文model的第一個(gè)字母，表示模型；“p”是英文prototype的第一個(gè)字母，表示原型。式(7.18)是模型設(shè)計(jì)必須滿足的條件，式(7.19)則用來將模型實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為實(shí)物流動(dòng)的相應(yīng)數(shù)據(jù)。34現(xiàn)在是34頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似模型比例

幾何相似是動(dòng)力相似的必要條件。定義線性比例因數(shù)(7.20)模型與實(shí)物的所有對(duì)應(yīng)線性尺寸應(yīng)成同一比例，以保證幾何相似。除了長(zhǎng)度比外，還可以定義與流動(dòng)有關(guān)的其他變量的比值，如速度比Vm/Vp、密度比ρm/ρp、時(shí)間比Tm/Tp、粘度比μm/μp等，相應(yīng)的比例因數(shù)則分別寫為λv、λρ、λT和λμ。35現(xiàn)在是35頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似部分相似如果每一個(gè)定性準(zhǔn)則數(shù)都對(duì)應(yīng)相等，稱模型流動(dòng)與實(shí)物流動(dòng)完全相似，嚴(yán)格的完全相似常常難以實(shí)現(xiàn)。比如存在自由面的流動(dòng)中，要使流動(dòng)動(dòng)力相似，需要滿足雷諾數(shù)和弗勞德數(shù)分別相等，即考慮到重力加速度為常數(shù)，由弗勞德數(shù)相等得雷諾數(shù)相等則要求36現(xiàn)在是36頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似由于弗勞德數(shù)相等限制速度比等于長(zhǎng)度比的平方根，代入上式有(7.21)滿足上式要求從理論上講是可能的，但實(shí)際上尋找一種流體使它的運(yùn)動(dòng)粘度與實(shí)物流體的運(yùn)動(dòng)粘度之比正好等于線性比例因數(shù)的3/2次方是非常困難的。有自由面的流動(dòng)，如涉及大壩泄洪道、水面船舶等的流動(dòng)中流動(dòng)介質(zhì)一般是水；考慮到模型實(shí)驗(yàn)中的大壩模型和船舶模型等通常幾何尺寸都較大，所以模型實(shí)驗(yàn)中唯一現(xiàn)實(shí)可選用的流體也是水，此時(shí)粘性比例因數(shù)等于1，則式(7.21)不可能得到滿足。通常在上述流動(dòng)的水力模型實(shí)驗(yàn)中，只保證弗勞德數(shù)相同，而允許模型和實(shí)物流動(dòng)的雷諾數(shù)有所不同。37現(xiàn)在是37頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似§7-5模型實(shí)驗(yàn)舉例通道內(nèi)流動(dòng)

這里通道內(nèi)流動(dòng)指各種不同形狀橫截面管道內(nèi)的流動(dòng)，也包括通過閥門、孔板等流量測(cè)量計(jì)的流動(dòng)。由于流體充滿通道截面，不存在自由面，因此起主要作用的力是慣性力和粘性力，雷諾數(shù)是重要的決定性準(zhǔn)則數(shù)，而無需考慮韋伯?dāng)?shù)和弗勞德數(shù)的影響；如果流動(dòng)速度與音速相比很低(Ma<0.3)則壓縮性影響可以忽略不計(jì)，也不必考慮馬赫數(shù)影響。當(dāng)感興趣的待測(cè)量是一段管長(zhǎng)的壓強(qiáng)降落時(shí)，則非定性準(zhǔn)則數(shù)可表示為Δp/(pρV2)，于是在滿足幾何相似的條件下，準(zhǔn)則方程式可寫為38現(xiàn)在是38頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似雷諾數(shù)相等，(ρVl/μ)

m=(ρVl/μ)p，要求當(dāng)選用相同的流體時(shí)(μm=μp，ρm=ρp)，上式簡(jiǎn)化為如采用小于1的線性比例因數(shù)，則要求模型流動(dòng)速度高于實(shí)物流動(dòng)速度。滿足動(dòng)力相似時(shí)有39現(xiàn)在是39頁\一共有44頁\編輯于星期一第七章量綱分析與動(dòng)力相似實(shí)物流動(dòng)的壓強(qiáng)降落

在圓管摩擦壓降實(shí)驗(yàn)中，一個(gè)有趣的現(xiàn)象是當(dāng)雷諾數(shù)很高時(shí)量綱為一的壓強(qiáng)降落不再是雷諾數(shù)的函數(shù)，而只取決于管壁的相對(duì)粗糙度ε/D，式中D是管道內(nèi)徑，即流動(dòng)處于穆迪圖的粗糙區(qū)(第5章圖5.28)。這是因?yàn)?，雷諾數(shù)很高意味著慣性力遠(yuǎn)大于粘性力，因此可以忽略粘性力的影響，于是模型與實(shí)物流動(dòng)的動(dòng)力相似不再與雷諾數(shù)有關(guān)。稱這種情形為自?；癄顟B(tài)，在自?；瘏^(qū)壓強(qiáng)降落與速度的平方成正比，因此也稱阻力平方區(qū)。