高考數(shù)學復習資料7線面垂直習題精選精講

線面垂直的證明中的找線技巧通過計算，運用勾股定理尋求線線垂直如圖1，在正方體ABCDABC中MCC的中點，點O，求證：11111證明：連結MO，M，∵⊥⊥ACA，1∴DB⊥面AACC，而AO面A∴DB⊥AO11113設正方體棱長為，則a，MO2．4

AO1

平面MBD在

M1

中，

M

94

a

．∵

AO2AM11

2

，∴

AOOM1

．∵∩DBO∴

AO1

⊥平面

評注：在證明垂直關系時，有時可以利用棱長、角度大小等數(shù)據(jù)，通過計算來證明．利用面面垂直尋求線面垂直2如圖，是△ABC在平面外的一點，且PA⊥面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求證：⊥平面證明：在平面PAC內(nèi)作⊥PCD．因為平面PAC平面PBC且兩平面交于PC，平面，且AD⊥，由面面垂直的性質(zhì)，得AD⊥平面PBC

又∵

BC

平面∴AD∵平面，BC面∴BC∵AD=，∴⊥平面PAC．（另外還可證別與相交直線AD直，從而得到⊥平面．評注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直．在空間圖形中，高一級的垂直關系中蘊含著低一級的垂直關系，通過本題可以看到，面面垂線面垂線線垂直．一般來說，線線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線面垂直來分析解決，其關系為：線線垂直線面垂面面垂直．這三者性質(zhì)性之間的關系非常密切，可以互相轉(zhuǎn)化，從前面推出后面是判定定理，而從后面推出前面是性質(zhì)定理．同學們應當學會靈活應用這些定理證明問題．下面舉例說明．3如圖１所示，ABCD正方形，SA⊥平面ABCD過AGSD．

垂直于SC的平面分別交

SB，，SD于，，．求證：SB，證明：SA面，∴

SA

BC．∵AB，BC面．又∵面SAB，∴BC

．∵

面，

．∴面SBC．∴AE同理可證SD．評注：本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面起到了關鍵作用，同學們應多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化．4如圖２，在三棱錐Ａ－中，BC＝AC，＝，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．證：⊥平面BCD．證明：取AB中點Ｆ，連CF，DF．∵

，∴AB∵

，∴

DF

AB

．又

CFF

，∴

平面CDF．面CDF，．BE，

，面ABECDAH．∵

CD，AH，CDE

，∴AH平BCD．評注：本題在運用判定定理證明線面垂直時，將問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．如此反復，直到證得結論．1

151

如圖３，

AB

是圓Ｏ的直徑，Ｃ是周上一點，

PA

平面．若AE⊥PC

，Ｅ為垂足，Ｆ是上任意一點，求證：平面AEF⊥平PBC．證明：∵AB是的直徑，∴

AC

．∵

PA面ABC，面ABC∴

．∴BC平APC∵平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC∵AE⊥，平面APC∩面PBC＝PC∴AE⊥平面PBC．∵AE平面AEF，∴平AEF⊥面PBC．評注：證明兩個平面垂直時，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關系．空間四邊形中，若AB⊥CDBCAD，證：⊥BDA

即證線面垂直，而證線面垂直則需從DBOC證明：過A作AO⊥平面于O，CD

同理⊥DO∴O為ABC的垂心

于是DBD證明：在正方體－ABCD中，AC⊥平面BCDD

A

B

DAB證明：連結BDAC為AC在面AC的射影CD同理可AC1如圖，平面ABCD，是矩形，M、分別是AB、PC的中點，求證：PND

ABA

M

B.證：取點，則

ENDC22

NDA

M

B

//

AMAE//MN又面面平面

AECD//AB/9圖在ΔABC中，⊥BCED=2AE，過E作∥BC，分析：弄清折疊前后，圖形中各元素之間的數(shù)量關系和位置關系。

且將ΔAFG沿FG起，使∠ED=60°，求證A'平面ABCAC解：

G

D∵FGBC，AD⊥BC∴A'∴A'BC設E=a，則

A

EF

B由余弦定理得：A'D=AE-2?E?EDcos60°=3a

∴ED'D'∴A'AE∴A'平面A'BC10如圖,在空間四邊中,SA,=90AN于AM于M。求證:①BC;②SCANM分析:①要證AN轉(zhuǎn)證,BCSAB。②要證SC轉(zhuǎn)證,SC垂直于平面內(nèi)的兩相交直線即證,。要證SC,轉(zhuǎn)證ANSBC就可以了。證明:①∵SAABC∴BC又∵BC且ABSA∴BC面∵平面∴ANBC②∵ANBC,且BC=B∴AN面∵平面SBC∴AN又∵AM且ANA∴SC面11已知如圖P平面ABC，PA=PB=PC∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°求證：平面⊥

平面PBC分析：要證明面面垂直，只要在其呈平面內(nèi)找一條線，然后證明直線與另一平面垂直即可。顯然中點，證明AD垂直平PBC即可證明：取點D連結AD、∵PA=PB；∠APB=60∴ΔPAB正三角形同理ΔPAC正三角形設PA=a

在BPC，PB=PC=aBC=

a∴PD=

a

在ΔABCAD=

2BD

23

2222CAB2222CABAF面P=

aAD+PD=

22

=a

=APΔAPD為直角三角即⊥DP又∵BC∴AD⊥面PBC∴平面平面PBC12.如圖，直角在

外，

//

，

，求證：在

內(nèi)射影

為直角。

證：如圖所示，

AA

、

BB

C

為射影AA

BB

確定平面

AAB//AA

ABABAC

面A

A

為直角13以AB為直徑的圓在平面

內(nèi)，

PA

于AC在圓上，PC過A作AE⊥于AF⊥PC于試判斷圖中還有幾組線面垂直。PEA

B解：PA面ACAB為直徑BC

面BC

AFAE

面兩個平面直例題解析1．在三棱錐A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，BCD銳角三角形，那么必有（）A平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥面ABC．平面ADC⊥面BCDD．平面⊥平面BCD【解析】由ADBCBD⊥ADAD⊥平面BCD，面AD平面ADC∴平面⊥平面BCD．【答案】2．直三棱柱ABC—BC中，∠，AC=AA=a，點A平面A的距離是（）4

2322232AaB．C．a(chǎn)．a(chǎn)【解析】取AC中點O，連結AO∵，∴⊥AC又該三棱柱是直三棱柱．∴平面AC⊥平ABC．又∵BCAC∴⊥，2因⊥平面A，即A等于A到面ABC的距離．解得：AO=【答案】C3．三個平面兩兩垂，它們的三條交線交于一點O三個面的距離分別是45，則的長為（）A5

B．5

．3

D．

【解析】構造一個長方體，OP為對角線．【答案】B4．在兩個互相垂直平面的交線上，有兩點A、BAC和分別是這兩個平面內(nèi)垂直于AB的線段，AC=6，AB=8則、D間距離為____．【解析】如圖，

CA

2

=

CA2

2

2

=

6

2

2

2

=

=26【答案】265．設兩個平面α、β，直線l下列三個條件：①l⊥α，②l∥，③α⊥β．若以其中兩個作為前提，另一個作為結論，則可構成三個命題，這三個命題中正確的命題個數(shù)為（）A3

B．2C1．0【解析】①②③，其余都錯【答案】C【典型例題精講】［例1］如9—39，引條長度相等但不共面的線段SA，且∠ASB=°，∠BSC=90，求證：平面ABC⊥平面BSC圖939【證明】∵SB=SA=SC，∠ASB=ASC=60°AB=SA=AC的中點O連、，則AO⊥BC⊥BC，2∴∠AOS為面角的平面角，設SA=SB=SC=a，∠°，∴BC=

，SO=

2

aAO=AC－=a－a

a，∴=AO，∴∠°，從而平面ABC⊥平面．【評述】要證兩平面垂直，證其二面角的平面角為直角．這也是證兩平面垂直的常用方法．［例2］如圖—40，在三棱ABC，SA⊥平面ABC平面⊥平面．圖940（1）求證：ABBC（2）設二面角SBC—A為°SA=BC，求面角A—SC—B的大小．（1）【證明】作AH⊥SBH，∵平面SAB⊥平面SBC．平面∩平面∴AH⊥平面SBC5

2∴又SA平面ABC∴⊥BC，SA在面的射影為SB，BC⊥SB，又SA∩，2∴∴BC平面．∴BC⊥AB（2）【解】∵⊥平面ABC，∴平面SAB⊥平面ABC，平面SAB平面SBC∴∠SBA為二面角S—BCA的平面，∴∠°．設SA=AB=BC=a，2

6作AE⊥SC于E，EH，則EH⊥SC，∴∠AEH為二面角A—SCB平面角，而AH=

2

aAC=

，，AE=

3

a∴AEH=

32

，二面角A—SCB°．【注】三垂線法是作二面角的平面角的常用方法．［例3］如圖—41，PA平面ABCD四邊形ABCD是形，PA=AD=a，M、N分別是、中點．（1）求平面與平面所成的二面角的大小；（2求證：平面⊥平面PCD（1）【解⊥平面CD，∴⊥，故∠PDA為平面與平面成二面角的平面角，在△中，PA=AD，∴∠PDA=45°1（2）【證明】點E連結，EA，ENCDAM，∴四邊ENMA是平行四邊形，∴EA．∵AEPD，AECD，∴⊥平面從而MN平面，∵MN平面，∴平面⊥平面PCD【注】證明面面垂直通常是先證明線面垂直，本題中要證MN⊥平面困難，轉(zhuǎn)化為證明AE⊥平面就較簡單了．另外，在本題中，當AB的長度變化時，可求異面直線AD所成角的范圍．［例4］如圖—42，正方ABCD—ABCD中，EFMN分別是A、、D、B的中點．圖942（1）求證：平面平面ENF（）二面角M—N的平面角的正切值．（1）【證明】∵N、中點，∴

NCCMENBMNC11MNE⊥EN，NF⊥面AC，∴平面平面ENF

AC11

∴⊥，從而MN⊥面∵

平面MNF，（2）【解】過N作NH⊥于H，連結．∵MN⊥面ENF，為MH在平面ENF內(nèi)的射影，2

3∴由三垂線定理得MH⊥EF，∠是二面角MEF—的平面角．在Rt△，求得MN2∴tan，即二面角M—N的平面角的正切值為．

2

，NH=

3

，［例5］在長方體ABCDACD中，底面是邊長為平面D⊥平面ABC．【證明】如圖43∵、F別是AB、的中點，

的正方形，側棱長為，E、分別是AB、CB

的中點，求證：6

圖943EF∥．∵AB，為AC的中點．∴BOAC．故⊥在Rt△BO中，∵BB=

，BO=1∴∠BBO=30°，從而∠D=60°，又BD，BOOB=1（O為BO的交點）∴eq\o\ac(△,D)eq\o\ac(△,)BO是直角三角形，即BO⊥DO，∴B⊥平面D又O平面AB，∴平面DEF⊥面ABC1棱長都是的直平行六面體ABCDABCD中，∠BAD=60°，則對角線A與側面DCCD所成角的正弦值為_．【解】過A作AGD于，由于該平行六面體是直平行六面體，∴AG平面DC連結CG∠A即為AC與側面DCCD所成的角．3∵AG=AD·ADG=2sin60=2·

2

=而AC=

=

2

12

∴AC=

A1

2

AC

2

，AG1AC∴ACG=1．【答案】2．E、F別是正方形ABCD的邊AB和的中點，BD相交于O以為將正方形折成直二面角，則∠BOD=_____．【解析】設正方形的邊長為．則DO=a=2aOB=2aDB=DF=a+4a+a=6a∴cos∠

22a2a

12∴∠°3．如圖—44，已知三棱柱ABC—AB的各棱長均為側棱與底面成

的角，側面A

垂直于底面，7

44圖944（1）證明：C⊥CA．（2）求四棱—ACCA的體積．（1）【證明】過作B⊥AB于O∵面ABBA底面，面

ABBA1

1

ABCAB

∴B⊥面ABC∴∠BBA是側棱與底面所成角，∴∠BBA=，又各棱長均為∴為的中點，連CO，則COAB，而OB∩CO=O，∴AB⊥平面OC又B平面，∴BC，連，∵B為邊長為的菱形，∴⊥BC，而AB∩BC=B，∴B⊥面∵AC面∴B⊥AC3

V（2）【解】在Rt△BB中，BB=2，BO=1，B，V·，∴BB=V=1，VVBAA=V－BBC=3－1=24．如圖—45，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PA⊥底面ABCD，E為的中點，且PA=AB圖945（1）求證：平平面PCD；（求點A平面的距離．（1）【證明⊥平面ABCD，AD是PD在底面上射影，又∵四邊形為矩形，∴⊥AD∴CD，∵ADPD=D∴⊥面PAD，∠為二面角P—CDB的平面角，∵PA=PB=AD，PAAD∴∠PDA=45，取Rt△斜邊中點，則AF，∵AF面∴CD⊥，1

1又CD=D∴AF⊥平面PCD，取的中，連GFAG、EG，則

2

CDAE

2

CD，∴AE四邊形AGEF為平行四邊形∴AF∥，∴EG⊥面PDC面∴平面PEC⊥面PCD．（2）【解】由（知AF∥面，平面⊥平面PEC過F作⊥PC于H，則FH⊥平面∴為到平的距離，即A到平面的離．在△PFH與△PCD中，∠為共角，而∠∠CDP=90°∴△PFH∽△PCD．

FHCD

，設，∴PF=

，PC=

CD283

，∴

3

∴A到面的距離為

63

．5．已知直四棱柱ABCD—ABCD的底面是菱形，對角線AC=2BD=2

，E、F分別為棱、BB

上的點，且滿足8

圖946（1）求證：平面AEF⊥平面A；（2）求面直線AC所成角的余弦值．

（1證明∵菱形對角線AC=2

∴EC=2FB=1取點M連結MF設BDAC于點OMO

FB

平面AEF平面ACCA（2）在AA上取點N，使AN=2，結，則NEACAC故∠NEF為異面直線A與所的角，連結，在直角梯形NABF中易求得

，同理求得EF=．在△ENF中，∠NEF=

55

，即與AC

所成角的余弦值為

55

．【解題指】在證兩平面垂直時，一般方法是先從現(xiàn)有的直線中