單級倒立擺LQR和LQY控制

單級倒立擺的LQR與LQY控制1、建模在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖所示。其中：M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度I擺桿慣量F加在小車上的力x小車位置(P擺桿與垂直向上方向的夾角0擺桿與垂直向下方向的夾角(考慮到擺桿初始位置為豎直向下)采用牛頓動力學方法可建立單級倒立擺系統(tǒng)的微分方程如下：(M+m)x+bx+mlB.cos0一ml。,sin0=F(I+ml2)0.+mglsin0=一mlxcos0倒立擺的平衡是使倒立擺的擺桿垂直于水平方向倒立，所以假設0=兀+8，8為足夠小的角度，即可近似處理得：cos0=-1，sin0=-8，竺=0。dt2用u來代表被控對象的輸入力「，線性化后兩個方程如下：(I+ml2)8-mgl8=mlx(M+m)x-bx+ml8=u

取狀態(tài)變量:X,_o_10.X3X-X4_取狀態(tài)變量:X,_o_10.X3X-X4__x_X=即擺桿的角度和角速度以及小車的位移和速度四個狀態(tài)變量。則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:mgl(M+m)XX+tlI(M+m)+MmhI(M+m)+Mmh-ml?2土=、4I+mhX=X+u?I(M+m)+MmhI(M+m)+Mmh?4將上式寫成向量和矩陣的形式，就成為線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程:x=Ax+Bu

"e"=Cx這里設:M=1.32Kg

m=0.07Kg

b=0.1N/m/s

I=0.20mI=0.0009Kg秫2將參數(shù)帶入，有:0100380.3847000A=0

-2.80370

0.74772、LQR控制線性二次型是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，指標函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型。考慮線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：X(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)找一狀態(tài)反饋控制律：u(t)=-Kx(t)，使得二次型性能指標最小化：1J=—xt(t)S(t)+—jf[xt(t)Q(t)x(t)+utR(t)u(t)]dt"210其中，x(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f、10為起始時間與終止時間；S為終態(tài)約束矩陣；Q(t)為運動約束矩陣；R(t)為約束控制矩陣。其中Q(t)、R(t)決定了系統(tǒng)誤差與控制能量消耗之間的相對重要性。為使J最小，由最小值原理得到最優(yōu)控制為：u*(t)=—R-1BtPQ)x(t)式中，矩陣p(t)為微分Riccatti方程：p(t)=—p(t)A—ATp(t)+p(t)BR-1BTp(t)—Q的解。如果令終止時間tf=8，P(t)為一個常數(shù)矩陣，且P(t)=0，因此以上的Riccatti方程簡化為—P(t)A—AtP(t)+P(t)BR-iBtP()—Q=0。對于最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣K=R-iBTP(t)，使用Matlab中專門的求解工具lqr()來求取K。將LQR控制方法用于倒立擺控制的原理如下圖所示。用Matlab求解lqr(A,B,Q,R)可以求出最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣K的值。lqr函數(shù)需要選擇兩個參數(shù)R和Q，這兩個參數(shù)是用來平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。其中，Q”代表擺桿角度的權(quán)重，而Q33是小車位置的權(quán)重。這里選擇:TOC\o"1-5"\h\z250000°°°°00100L000?！筊=0.1通過matlab求得：K=[-82.4246-10.7034-10.0000-11.8512]。3、LQY控制取性能指標為1J=—xt(t)S(t)+—jf[xt(t)Q(t)x(t)+utR(t)u(t)]dt9fx、f‘o210對應控制率為u*(t)=-R-1BtP()x(t),P滿足如下黎卡提方程PA+AtP—PBR-1BtP+CtQC=0同LQR求解過程求解K=[-276.86563.8430-45.2606-8.6243]4、仿真通過matlab仿真，LQR控制與LQY倒立擺擺角和小車位移仿真結(jié)果如下圖所示。LQR仿真圖：123456Sec(sec)steprespondofinvertedpendulum123456Sec(sec)steprespondofinvertedpendulumsystem3x=yz5pop0.3LLLLLO0.2O0.1-A-T/\0\rrrrr-0.100.511.522.53Sec(sec)LQY仿真圖上下兩條曲線分別為倒立擺擺角和小車位移。4、結(jié)果分析從仿真圖我們可以看出對于這兩種控制方法LQY的控制響應效果更好，圖中明顯可以看出LQY控制器的控制下的倒立擺瞬時響應穩(wěn)定時間更短，而LQR控制方法下的倒立擺的響應穩(wěn)定時間幾乎是LQY控制器的2倍，但是LQR控制下的倒立擺超調(diào)變化量更小，相對LQY響應過程更加穩(wěn)定。5、程序LQR方法%Modellinga=[038.18250-0.3847;1-000;0000;00010];b=[0;-2.8037;0;0.7477];c=[1000;0010];d=[0;0];eig(a)Qc=ctrb(a,b);Rc=rank(Qc)if(Rc==4)disp('狀態(tài)完全能控')elsedisp（'狀態(tài)不完全能控'）endQo=obsv(a,c);Ro=rank(Qo)if(Ro==4)disp('狀態(tài)完全能觀測')elsedisp('狀態(tài)不完全能觀測')endQ=[250000;0000;00100;0000];R=1;K=lqr(a,b,Q,R);x0=[0.2,0,0,0];ac=[(a-b*K)];bc=;cc=[c];dc=[d];[K,P,e]=lqr(a,b,Q,R),t=0:0.005:7;figureinitial(ac,b,c,d,x0)title('steprespondofinvertedpendulumsystem')xlabel('Sec')ylabel('Outputy=x3')figure[y,x,t]=initial(ac,bc,cc,dc,x0,t);plot(t,x,'y')figure,x1=[1000]*x',plot(t,x1);grid;title('x1的響應曲線')figure,x2=[0100]*x',plot(t,x2);grid;title('x2的響應曲線')figure,x3=[0010]*x',plot(t,x3);grid;title('x3的響應曲線')figure,x4=[0001]*x',plot(t,x4);grid;title('x4的響應曲線')LQY方法%Modellinga=[038.18250-0.3847;1-000;0000;00010];b=[0;-2.8037;0;0.7477];c=[1000;0010];d=[0;0];sys=ss(a,b,c,d);eig(a)Qc=ctrb(a,b);Rc=rank(Qc)if(Rc==4)disp('狀態(tài)完全能控')elsedisp('狀態(tài)不完全能控')endQo=obsv(a,c);Ro=rank(Qo)if(Ro==4)disp('狀態(tài)完全能觀測')elsedisp('狀態(tài)不完全能觀測')endQ=[50000;0100]R=1;[K,P,e]=lqry(sys,Q,R)x0=[0.2,0,0,0];ac=[(a-b*K)];bc=;cc=[c];dc=[d];t=0:0.005:3;figureinitial(ac,b,c,d,x0,t)title('steprespondofinvertedpendulumsystem')xlabel('Sec')ylabel('Outputy=x3')figure[y,x,t]=initial(ac,bc,cc,dc,x0,t);plot(t,x,'y')figure,x1=[1000]*x',plot(t,x1);grid;ti