數(shù)列求和講義-高三數(shù)學一輪復習

數(shù)列求和（1）一、分組求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．常見類型：二、錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解．題型一：分組求和法類型一：例1．已知數(shù)列的前n項和滿足，，則數(shù)列的前10項和為（

）A．4162 B．4157 C．2146 D．2142例2．例3．已知數(shù)列的前n項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．類型二：例4．．例5．已知正項數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求.例6．已知數(shù)列的前n項和為，，且.(1)求的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和.題型二：錯位相減法例7．已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．例8．已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．(1)求和；(2)若，求數(shù)列的前項和．例9．1．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則數(shù)列的前10項和為（

）A．352 B．401 C．625 D．9132．已知數(shù)列的通項公式為：，，則數(shù)列的前100項之和為（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.4．數(shù)列的前項的和為，已知，，當時，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求的前項和5．已知數(shù)列滿足，數(shù)列為等比數(shù)列，且滿足(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列的前項和為，且，記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.6．記為等比數(shù)列的前項和.已知.(1)求；(2)設求數(shù)列的前項和.7．設為數(shù)列的前項和，且滿足：.(1)設，證明是等比數(shù)列；(2)求.8．設數(shù)列的前n項和為，且．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．9．已知數(shù)列的前項和為，且，，．(1)求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項；(2)設，求數(shù)列的前項和．10．設數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足，.(1)求、的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.11．記為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和，且成等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)設，求的前n項和.12．已知數(shù)列滿足且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．典例參考答案：1．解：因為，所以當時，，即，則，當時，，所以，即，則，所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，，所以數(shù)列的前10項和為：．2．解（1）證明：因為，所以，即，所以，所以，所以是等比數(shù)列，首項為，公比；（2）解：由（1）可知，，所以，所以.3．4．解：因為，所以，5．解：（1）由可知，則化簡可得：，即，數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，，由可知，，又由為遞增的等比數(shù)列，且，即，解得，.（2）6．解：（1）∵，則有：當時，，解得；當時，則，兩式相減得，即；注意到，故，∴是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，故.（2）由（1）得，當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時；綜上所述：.7．解：（1），當時，，解得；當時，，，相減得到，即，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，.驗證時也滿足，故.（2），，，，兩式相減：，整理得到：8．解：（1）因為，所以，，．因為為等差數(shù)列，所以，即，解得，所以，，．又，是等差數(shù)列.因為數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以．（2）由（1）得，所以，①則，②①-②得，所以．9．解：（1）當時，，解得；當時，，兩式相減得；所以是，的等比數(shù)列，故．（2）證明：因為，所以①，②① -②得所以．因為，所以．跟蹤練習參考答案：1．解：令，設數(shù)列的公比為，因為，所以，即，所以.由，得，所以，聯(lián)立，解得，所以，所以，所以的前10項和為.故選：D.2解：數(shù)列的通項公式為：，數(shù)列的前n項和為，則有，所以數(shù)列的前100項之和.故選：A3．4．（1）解：當時，由可得，即，因為，，所以時也滿足，當時，，所以，，當時，，也滿足上式，所以.（2）解：，對任意的，，所以，.5．解：（1）因為，令得，又數(shù)列為等比數(shù)列，所以，則，所以數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）知數(shù)列數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，由得，所以，則，所以，數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，.6．解：（1）設等比數(shù)列的公比為.由題意，可知，解得：，.（2）由題設及（1）可知：當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，故，7．解：1）因為，，則，兩式相減得：，整理可得，即，于是，，所以數(shù)列是等比數(shù)列.（2）由（1）知，，又，則所以.8．解：（1）當時，，解得．當時，，則，即，從而是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，且當時，也滿足，所以故．（2）由（1）可得，則，故．9．解：（1）由，則，即，當時，，得，則，故，因此是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以．（2）結(jié)合（1）可知，，則①，則②，①-②得，故．10．11．解：（1）設數(shù)列的首項為，公比為q，則①，因為，，成等差數(shù)列，則，即②，因為