2021年上海市松江區(qū)第四中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2021年上海市松江區(qū)第四中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是()．A．①③

B．①④

C．②③

D．②④參考答案：B略2.（5分）設(shè)f（x）=ah（x）+bg（x）+4，其中h（x），g（x）都是奇函數(shù)，a，b是不同時為零的常數(shù)，若f[lg（log310）]=5，則f[lg（lg3）]等于（） A． ﹣5 B． 7 C． 3 D． ﹣1參考答案：C考點： 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)已知條件容易判斷f（x）﹣4是奇函數(shù)，而lg[（log310）]=﹣lg（lg3），所以f[﹣lg（lg3）]﹣4=﹣{f[lg（lg3）]﹣4}=1，從而得出f[lg（lg3）]=3．解答： f（x）﹣4=ah（x）+bg（x）；∵h(yuǎn)（x），g（x）都是奇函數(shù)，a，b不同時為0；∴函數(shù)f（x）﹣4是奇函數(shù)；而f[lg（log310）]=f[﹣lg（lg3）]=5；∴f[lg（lg3）]﹣4=﹣{f[﹣lg（lg3）]﹣4}=﹣1；∴f[lg（lg3）]=3．故選C．點評： 考查奇函數(shù)的定義，對數(shù)的運算，以及換底公式．3.已知函數(shù)的最大值為2，則a的值為（

）A．±1

B．－1

C．1

D．不存在參考答案：A4.如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一個元素，則a的值是（

）A．0

B．0或1

C．1

D．不能確定參考答案：B5.已知數(shù)列{an}中，，且，若存在正整數(shù)n，使得成立，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得；分別在和時解不等式得到和，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可知，，，從而得到所求范圍.【詳解】由題意得：即：①當(dāng)時，則由得：此時；②當(dāng)時，則由得：此時；綜上所述：本題正確選項：【點睛】本題考查數(shù)列性質(zhì)與不等式能成立問題的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過遞推關(guān)系式得到數(shù)列的通項公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性特點可得到不等式的解集，從而確定解集上下限的最值，進(jìn)而得到結(jié)果.6.在△ABC中，已知，.若△ABC最長邊為，則最短邊長為（

）A. B. C. D.參考答案：A試題分析：由，，解得，同理，由，，解得，在三角形中，，由此可得，為最長邊，為最短邊，由正弦定理：，解得.考點：正弦定理.7.直線與互相垂直,則(

)A.

B.1

C.

D.參考答案：C略8.已知，那么等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C9.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是

（

）①與；②與；③與；④與。A、①②③

B、①③④

C、②③④

D、①②④參考答案：C略10.函數(shù)f(x)的定義域為D，滿足：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[]D，使得f(x)在[]上的值域為[a，b]，那么就稱函數(shù)y=f(x)為“優(yōu)美函數(shù)”，若函數(shù)f(x)=logc(cx－t)(c＞0，c≠1)是“優(yōu)美函數(shù)”，則t的取值范圍為(

)

A.(0，1) B.(0，) C.(－∞，)

D.(0，)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域為

．參考答案：函數(shù)的定義域，包含，故得到結(jié)果為。

12.已知向量,若,則

.參考答案：略13.在ABC中,M是BC的中點,AM=3,BC=10,則=______________參考答案：-16

略14.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是：

__________。參考答案：15.在ΔABC中，若，且，則三角形的形狀是

.參考答案：正三角形略16.已知奇函數(shù)定義在(-1,1)上，且對任意的，都有成立，若，則的取值范圍是

參考答案：(0,)17.某工廠年底某種產(chǎn)品年產(chǎn)量為，若該產(chǎn)品年平均增長率為，年底該廠這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為，那么與的函數(shù)關(guān)系式為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，.(1)當(dāng)時，分別比較與的大?。ㄖ苯咏o出結(jié)論）；(2)由(1)猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.參考答案：證明

（1）當(dāng)時，,

,，當(dāng)時，,

,，當(dāng)時，,,

?！?分(2)猜想：,即.…6分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，上面已證.…………7分②假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即則當(dāng)時，……10分因為，所以，………………13分所以，當(dāng)時猜想也成立綜上可知：對，猜想均成立?！?4分19.已知二次函數(shù)的圖象過點（0，3），(1，0)，對稱軸為，求：（Ⅰ）函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）函數(shù)的值域．參考答案：（Ⅱ）的值域為.

20.在四邊形ABCD中，已知AB=9，BC=6，=2．（1）若四邊形ABCD是矩形，求?的值；（2）若四邊形ABCD是平行四邊形，且?=6，求與夾角的余弦值．參考答案：【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角；平面向量數(shù)量積的運算．【分析】（1）由條件求出||=6，||=3，再用向量AB，AD表示向量AP，BP，再將數(shù)量積?展開，運用向量的平方為模的平方以及=0，即可求出結(jié)果；（2）設(shè)與夾角為θ，根據(jù)得到的數(shù)量積?，運用數(shù)量積定義，代入數(shù)據(jù)，即可求出cosθ．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴，即=0，又AB=9，BC=6，=2，∴||=6，||=3，∵=，=，∴=（）?（）==62﹣92=18；（2）設(shè)與夾角為θ，由（1）得，=（）?（）==62﹣cosθ﹣92=6，∴cosθ=．21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2＋lga)x＋lgb，f(－1)＝－2.(1)求a與b的關(guān)系式;

(2)若f(x)≥2x恒成立，求a、b的值．參考答案：略22.如圖①，四邊形ABCD是矩形，AB=2AD=2a，E為AB的中點，在四邊形ABCD中，將△AED沿DE折起，使A到A′位置，且A′M⊥BC，得到如圖②所示的四棱錐A′﹣BCDE．（Ⅰ）求證：A′M⊥平面BCDE；（Ⅱ）求四棱錐A′﹣BCDE的體積；（Ⅲ）判斷直線A′D與BC的位置關(guān)系．參考答案：考點：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（I）證明A′M⊥DE，結(jié)合A′M⊥BC，利用線面垂直的判定定理，即可得到結(jié)論；（II）由（I）知A′M⊥平面BCDE，則A′M是四棱錐A′﹣BCDE的高，利用體積公式，即可求四棱錐A′﹣BCDE的體積；（Ⅲ）直線A′D與BC是異面直線，利用反證法進(jìn)行證明即可．解答：（I）證明：在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D，∵M(jìn)為DE的中點，∴A′M⊥DE，∵A′M⊥BC，又DE與BC相交，∴A′M⊥平面BCDE．（II）解：由（I）知A′M⊥平面BCDE，則A′M是四棱錐A′﹣BCDE的高，在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D=a，則A′M=a．∵四邊形BCDE是直角梯形，BE=BC=a，DC=2a，∴四邊形BCDE的面積S==a2∴四棱錐A′﹣BCDE的體積V=S?A′M+a2×a=a3（III）