數(shù)學一輪復習精選提分練：專題8 立體幾何與空間向量 第57練

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精訓練目標（1)利用公理、定理或已知的結(jié)論證明空間圖形的位置關系；（2）用空間向量求空間角。解題策略（1）證明空間的平行和垂直的關鍵是線線、線面、面面關系的相互轉(zhuǎn)化，解題時要充分理解三者之間的聯(lián)系；(2）利用向量方法求空間角是利用計算方法解決幾何問題，要建立適當?shù)目臻g直角坐標系,求出直線的方向向量和平面的法向量.1.（2017·河北衡水中學模擬）已知在如圖所示的多面體中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC,CF＝BE＝AD＝EF＝eq\f(1,2)BC＝2，AE＝2，G是BC的中點．（1）求證:AB∥平面DEG；（2)求證：EG⊥平面BDF；(3)求多面體ABCDEF的體積．2。如圖,在Rt△AOB中，∠OAB＝eq\f(π,6)，斜邊AB＝4.Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B－AO－C是直二面角,動點D在斜邊AB上．(1）當D為AB的中點時，求異面直線AO與CD所成角的正切值；(2)求CD與平面AOB所成角的正切值的最大值．3。在如圖所示的幾何體中，四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為等腰梯形,AB∥CD，AC＝eq\r（3)，AB＝2BC＝2DC＝2，AC⊥FB。(1）求證:AC⊥平面FBC；(2)求四面體F－BCD的體積；(3）線段AC上是否存在點M，使得EA∥平面FDM？證明你的結(jié)論．4.如圖，平面EAD⊥平面ABCD，△AED為正三角形,ABCD為矩形，F(xiàn)為CD的中點，EB與平面ABCD成30°角．（1）當AD長度為何值時，點A到平面BEF的距離為2？(2）問AD的長度是否影響二面角A－BF－E的大?。空堈f明理由．

答案精析1．(1)證明∵AD∥BC，BC＝2AD,G是BC的中點，∴AD綊BG，∴四邊形ADGB是平行四邊形，∴AB∥DG.∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，∴AB∥平面DEG.（2)證明連接GF?！逜D綊EF,∴四邊形ADFE是平行四邊形,∴DF∥AE,∵AE⊥底面BEFC，∴DF⊥平面BCFE，又EG?平面BCFE，∴DF⊥EG。∵EF綊BG，EF＝BE，∴四邊形BGFE為菱形，∴BF⊥EG.又BF∩DF＝F，BF?平面BDF，DF?平面BDF，∴EG⊥平面BDF.(3)解易知多面體ABCDEF的體積V＝V四棱錐B－AEFD＋V三棱錐D－BCF。作BH⊥EF于點H，∵平面AEFD⊥平面BEFC，平面AEFD∩平面BEFC＝EF，BH?平面BEFC,∴BH⊥平面AEFD.∵EG∥CF，∴CF⊥平面BDF。易知BH＝eq\r(3)，BF＝2eq\r(3)，∴V四棱錐B－AEFD＝eq\f（1，3)×eq\r（3）×2×2＝eq\f（4\r(3)，3），V三棱錐D－BCF＝V三棱錐C－BFD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1，2)×2×2eq\r（3)＝eq\f（4\r（3),3），∴V＝eq\f(8，3）eq\r（3）.

2．解（1）作DE⊥OB，垂足為E，連接CE,則DE∥AO，∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角．由題意知，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC為直二面角B－AO－C的平面角,∴CO⊥BO。在Rt△COB中，CO＝BO＝2，OE＝eq\f(1，2)BO＝1,∴CE＝eq\r(CO2＋OE2)＝eq\r（5）。又∵DE＝eq\f(1,2)AO＝eq\r（3），∴在Rt△CDE中,tan∠CDE＝eq\f(CE,DE)＝eq\f(\r(5）,\r(3）)＝eq\f(\r（15），3)。故異面直線AO與CD所成角的正切值為eq\f(\r（15),3)。（2)由（1）知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角，且tan∠CDO＝eq\f（OC,OD)＝eq\f(2，OD)。當OD最小時，tan∠CDO最大，這時，OD⊥AB，垂足為D，OD＝eq\f（OA·OB，AB)＝eq\r(3），tan∠CDO＝eq\f（2\r（3)，3),∴CD與平面AOB所成角的正切值的最大值為eq\f（2\r（3），3）。3．(1）證明在△ABC中，∵AC＝eq\r(3)，AB＝2，BC＝1,∴AC⊥BC.又∵AC⊥FB,BC∩FB＝B，BC，F(xiàn)B?平面FBC，∴AC⊥平面FBC。(2）解∵AC⊥平面FBC，F(xiàn)C?平面FBC，∴AC⊥FC?！逤D⊥FC，AC∩CD＝C，AC，CD?平面ABCD，∴FC⊥平面ABCD。在等腰梯形ABCD中，∠BCD＝120°,CB＝DC＝1，∴S△BCD＝eq\f(\r(3)，4)，∵FC＝1，∴V三棱錐F－BCD＝eq\f(1,3）S△BCD·FC＝eq\f(\r（3），12）。(3)解線段AC上存在點M,且當M為AC的中點時，有EA∥平面FDM，證明如下：連接CE交DF于點N，連接MN，連接FM，∵四邊形CDEF為正方形,∴N為CE的中點,又∵M為AC的中點，∴EA∥MN?！進N?平面FDM，EA?平面FDM，∴EA∥平面FDM?！嗑€段AC上存在點M,使得EA∥平面FDM.4．解（1）取AD的中點O，連接EO，BO，因為△AED為正三角形，且平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD＝AD，EO?平面EAD，所以EO⊥AD，EO⊥平面ABCD，則∠EBO＝30°.設AD＝2a，則EO＝eq\r（3）a,OB＝eq\f（EO,tan30°）＝3a，AB＝2eq\r(2)a,如圖，以O為原點,分別以OA，OE方向為x軸,z軸正方向建立空間直角坐標系，于是A(a，0,0)，B（a,2eq\r（2）a,0)，E（0,0，eq\r(3)a）,F(－a，eq\r(2）a，0），所以eq\o（EF,\s\up6(→))＝(－a,eq\r(2)a，－eq\r（3)a)，eq\o(EB，\s\up6（→)）＝（a，2eq\r（2)a，－eq\r（3）a），eq\o（AE，\s\up6（→））＝(－a，0,eq\r(3)a)，設平面EFB的一個法向量為m＝（x，y，z），則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m·\o（EF,\s\up6(→))＝0,，m·\o(EB，\s\up6（→)）＝0,)）即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－ax＋\r(2)ay－\r（3）az＝0，,ax＋2\r（2)ay－\r（3)az＝0，））得y＝－eq\r(2）x,z＝－eq\r（3）x，令x＝1，則m＝（1，－eq\r（2)，－eq\r（3）），于是｜m|＝eq\r(6）,m·eq\o(AE，\s\up6(→))＝－4a，點A到平面BEF的距離d＝2，由公式eq\f(｜m·\o（AE，\s\up6(→)）|,|m｜）＝2,得eq\f(4a,\r(6))＝2,2a＝AD＝eq\r(6）為所求．(2）由（1）知，平面BEF的一個法向量m＝(1，－eq\r（2)，－eq\r(3））與AD的長度無關，平面ABCD的法向量n＝(0，0，1），m·n＝－eq\r(3），設二面角A－