二次函數(shù)的圖像與一元二次方程

二次函數(shù)的圖像與一元二次方程第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日學習目標1、經(jīng)歷探究二次函數(shù)y=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0關系的過程，掌握二次函數(shù)和一元二次方程的關系2、能利用二次函數(shù)圖像討論一元二次方程的實數(shù)根，反過來利用一元二次方程的實數(shù)根討論二次函數(shù)圖像與x軸交點3、進一步體會數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程思想的綜合運用，感知數(shù)學美第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日中國歷史上的方程求解約公元50~100年編成的《九章算術》，以算法形式給出了求一次方程、二次方程和正系數(shù)三次方程根的方法。7世紀，隋唐數(shù)學家王孝通找出了求三次方程正根的數(shù)值解法。11世紀北宋數(shù)學家賈憲以“立成釋鎖法”解三次或三次以上的高次方程式，同時，還提出了一種更簡單的“增乘開方法”。13世紀，南宋數(shù)學家秦九韶提出了“正負開方術”，提供了一種用算籌布列解任意數(shù)字方程的有效算法。你知道嗎？第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日相等（1）拋物線與x軸有幾個公共點？公共點的坐標分別是什么？觀察拋物線y=x2-2x-3，思考下面的問題：（2）當x取何值時，函數(shù)y=x2-2x-3的值是0？（3）一元二次方程x2-2x-3=0有沒有根？ 如果有根，它的根是什么？（4）一元二次方程x2-2x-3=0的根和拋物線y=x2-2x-3 與x軸的公共點的橫坐標拋物線與x軸有兩個公共點（-1,0)，（3,0）。..當x=-1,x=3時，函數(shù)y的值是0.即x2-2x-3=0。一元二次方程x2-2x-3=0的根是x1=-1,x2=3，。。。。意義定義有什么關系？第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日（1）拋物線與x軸有幾個公共點？交點的坐標分別是什么？觀察拋物線，思考下面的問題：（2）當x取何值時，函數(shù)的值是0？（3）一元二次方程有沒有根？如果有根，它的根是什么？（4）一元二次方程的根和拋物線與x軸的公共點的橫坐標有什么關系？定義意義。。相等.第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日y=x2-2x-3（4）一元二次方程x2-2x-3=0的根和拋物線y=x2-2x-3與x軸的公共點的橫坐標有什么關系？（4）一元二次方程的根和拋物線與x軸的公共點的橫坐標有什么關系？通過剛才解答的問題，你能得到什么樣的結(jié)論？第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日拋物線y=ax2+bx+c與x軸公共點的橫坐標，恰為一元二次方程ax2+bx+c=0的實根。若一元二次方程ax2+bx+c=0有實根，則拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點，且公共點的橫坐標是這個一元二次方程的實根。y=x2-2x-3第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點二次方程ax2+bx+c=0有實根轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日畫拋物線y=x2-3x-2，判斷一元二次方程x2-3x-2=0根的情況。試一試：第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日例1用圖象法討論一元二次方程x2-3x-2=0的根解：（1）畫拋物線y=x2-3x-2.（2）由圖象可知，在-1與0之間以及3與4之間各有一個根.分別計算x=0，x=-1，x=-0.5的函數(shù)值，列表如下：xy-1-0.502-0.25-2由于當x=-1時，y＞0，當x=-0.5時，y＜0，所以方程的根在-1和-0.5之間。由于在畫圖和觀察過程中存在誤差，所以得到的往往是二次方程根的近似值（精確到0.1）第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日可再將-1和-0.5之間分為5等份，每個分點作為x值，利用計算器求出所對應的函數(shù)值，列表：xy-1.0-0.7-0.9-0.82-0.5-0.61.041.510.160.59-0.25可以看出，這個根在-0.6和-0.5之間，由于本題要求精確到0.1，所以可以將-0.6或-0.5看作二次方程x2-3x-2=0較小根的近似值，即二次方程x2-3x-2=0的較小根為x≈-0.6或x≈-0.5你能求出二次方程x2-3x-2=0較大根的近似值嗎？試試看！第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日同樣的，可以求出一元二次方程x2-3x-2=0的較大根的近似值，列表如下：由上表可見，方程的較大根在3.5和3.6之間，所以可以將3.5或3.6看作二次方程x2-3x-2=0較大根的近似值，即二次方程x2-3x-2=0的較大根為x≈3.5或x≈3.63.0-0.25-20.163.73.63.51.040.593.93.821.514.0xy第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日例2用圖象法討論一元二次方程x2-2x+3=0的根。xy解：（1）畫出拋物線y=x2-2x+3（2）由于圖象與x軸沒有公共點，所以一元二次方程x2-2x+3=0沒有實數(shù)根第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日拋物線y=ax2+bx+c與x軸無公共點二次方程ax2+bx+c=0無實根轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為xy第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日挑戰(zhàn)自我已知拋物線y=ax2+bx+c

，當a、b、c滿足什么條件時，(1)拋物線與x軸有兩個公共點？

(2)拋物線與x軸只有一個公共點？

(3)拋物線與x軸沒有公共點？

b2-4ac＜0b2-4ac＞0b2-4ac=0a≠0且a≠0且a≠0且第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日廣角鏡對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0），①由于一元二次方程的根的個數(shù)由代數(shù)式b2-4ac的符號決定，因此把b2-4ac叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母表示，即=b2-4ac具體來說，一元二次方程的根有三種情況：（1）當＞0時，方程①有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當＝0時，方程①有兩個相等的實數(shù)根；（3）當＜0時，方程①沒有實數(shù)根。一元二次方程根的判別式第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點二次方程ax2+bx+c=0有實根二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式≥0轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為為化轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為化轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日拋物線y=ax2+bx+c與x軸無公共點二次方程ax2+bx+c=0無實根二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式＜0轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為為化轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為化轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象二次方程ax2+bx+c=0的根二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的公共點的個數(shù)二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式兩個公共點一個公共點沒有公共點有兩個不等實根有兩個相等實根沒有實根＝0＞0＜0課堂小結(jié)：1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與一元二次方程ax2+bx+c=0的關系。2、根據(jù)二次函數(shù)的系數(shù)，判斷它的圖象與x軸的位置關系。第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日3、利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。課堂小結(jié)：第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日當堂檢測：2、如果關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m=

，此時拋物線y=x2-2x+m與x軸有

個公共點。1、二次方程x2+x-6=0的兩根為x1=-3，x2=2，則二次函數(shù)y=x2+x-6的圖象與x軸公共點的坐標為

。（-3,0），（2,0）11第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期日4、用圖象法討論一元二次方程的根（精確到0.1）。當堂檢測：3、用圖象法討論一元二次方程的根。01.1330.780.70.60.50.120.450.90.8-0.5-0.20xy17-0.20-0.50.127.37.27.10.780.457.57.41.13xy38計算0與1之間的根：計算7與