壓電效應與壓電方程市公開課金獎市賽課一等獎課件

壓電效應與壓電方程PiezoelectriceffectPiezoelectricequations1wangcl@第1頁第1頁壓電效應基本現象石英晶體壓電效應，壓電方程組壓電常數與對稱性壓電晶體切割,四類壓電方程組，旋轉坐標系，次級壓電效應，壓電常數之間關系機電耦合系數主要內容

2wangcl@第2頁第2頁壓電效應基本現象通俗來說:壓電效應是指材料在壓力作用下產生電信號效應;或者在電場作用下,材料發(fā)生機械形變現象。壓電效應有嚴格定義，上述說法只是一個簡樸直觀描述。壓電效應由壓電方程描寫；材料壓電性由壓電常數決定。3wangcl@第3頁第3頁壓電效應基本現象晶體介電常數、彈性常數與晶體對稱性密切相關。同樣，壓電常數也與晶體對稱性密切相關。因此不是從壓電晶體上隨意切下一塊晶片，就能做壓電元件，而是要依據該壓電晶體壓電常數來設計晶片切割。4wangcl@第4頁第4頁正壓電效應當壓電晶體受到外力而發(fā)生形變時，在它一些表面上出現與外力成線性百分比電荷積累，這個現象稱為壓電效應。是一個線性響應！5wangcl@第5頁第5頁石英晶體壓電效應現以—石英晶體為例，由于—石英晶體在1880年就發(fā)覺了壓電效應，是最早發(fā)覺壓電晶體，也是當前最好和最主要壓電晶體之一?！⒕w最大特點是：性能穩(wěn)定，頻率溫度系數低（能夠做到頻率溫度系數靠近于零），在通訊技術中有廣泛地應用。6wangcl@第6頁第6頁圖4-1：—石英晶體屬于六角晶系32點群，它坐標系o-xyz。7wangcl@第7頁第7頁光軸電軸機械軸z軸與天然石英晶體上、下頂角連線重疊（即與晶體C軸重疊）。由于光線沿z軸通過石英晶體時不產生雙折射，故稱z軸為石英晶體光軸。x軸與石英晶體橫截面上對角線重疊（即與晶體a軸重疊），由于沿x方向對晶體施加壓力時，產生壓電效應最明顯，故常稱x軸為石英晶體電軸。z軸與z軸方向要求后，y軸方向也就定了，如圖4-1a所表示。y軸與石英晶體橫截面對邊中點連線重疊，常稱為機械軸。8wangcl@第8頁第8頁在晶體x軸垂直方向上，切下一塊薄晶片，晶片面與x軸垂直，如圖4-1b所表示，稱為x切割。更詳細說法是：假如晶片厚度沿x軸方向，長度沿y方向，則稱為xy切割。該晶片長度為l，寬度為lw，厚度為lt，與x軸垂直二個晶面上涂上電極，并與沖擊電流計連接（測量電量用），如圖4-1c所表示。9wangcl@第9頁第9頁現分別進行下列試驗（1）當晶片受到沿x軸方向力Fx作用時，通過沖擊電流計，可測出在x軸方向電極面上電荷q(1)1。并發(fā)覺x軸方向電極面上電荷密度（q(1)1/llw）大小與x軸方向單位面積上力（Fx/llw）成正比，即：10wangcl@第10頁第10頁由于（q(1)1/llw）是極化強度分量P(1)1；（Fx/llw）為x方向應力X1，于是得到(4-1)式中，P(1)1為晶片只受到x方向應力X1作用時，在x方向產生極化強度分量，百分比系數d11稱為壓電常數。即：11wangcl@第11頁第11頁（2）當晶片受到沿y方向力Fy作用時，通過沖擊電流計，可測出在x軸方向電極面上電荷q(2)1，并發(fā)覺x方向電極面上電荷密度（q(2)1/llw）大小與y方向單位面積上力（Fx/lwlt）成正比，由于（q(2)1/llw）是極化強度分量P(2)1。12wangcl@第12頁第12頁（Fy/lwlt）為y方向應力X2，于是有式中，P(2)1為晶片只受到y(tǒng)方向應力X1作用時，在x方向產生極化強度分量，百分比系數d12也稱為壓電常數。即：13wangcl@第13頁第13頁試驗上還發(fā)覺當X1=X2時，存在P(2)1=-P(1)1，由此可得d11=-d12，即石英晶體壓電常數d12大小等于壓電常數d11負值。14wangcl@第14頁第14頁15wangcl@第15頁第15頁（3）當晶片受到沿z方向力Fz作用時，通過沖擊電流計，并發(fā)覺x方向電極面上不產生電荷。即有(4-3)由于X30，故壓電常數d13=0。由此可見，對于x切割石英晶片，當z方向受到應力X3作用時，在x方向并不產生壓電效應。16wangcl@第16頁第16頁（4）當晶片受到切應力X4作用時，通過沖擊電流計，可測出在x方向電極面上面電荷密度（q(4)1/llw）=P(4)1，并發(fā)覺P(4)1與X2成正，于是(4-4)式中，P(4)1為晶片只受切應力X4作用時，在x方向產生極化強度分量，百分比系數d14稱為壓電常數。17wangcl@第17頁第17頁18wangcl@第18頁第18頁（5）當晶片受到切應力X5或X6作用時，通過沖擊電流計，并發(fā)覺x方向電極面上不產生電荷，于是有(4-5)由于X50，X60，故壓電常數d15=0，d16=0，由此可見，對于x切割石英晶片，當受到切應力X5或X6作用時，在x方向并不產生壓電效應。19wangcl@第19頁第19頁綜合上述試驗結果得到，選x方向為電極面，當電場E=0時，應力張量X對x方向極化強度分量P1奉獻為：20wangcl@第20頁第20頁當選y方向為電極面，重復上述試驗，當電場E=0時，應力張量X對y方向極化強度分量P2奉獻為：（4-7）即石英晶體壓電常數d25=-d14，d26=-2d11。21wangcl@第21頁第21頁當選z方向為電極面，重復上述試驗，當電場E=0時，應力張量X對z方向極化強度分量P3奉獻為：（4-8）22wangcl@第22頁第22頁依據（4-6）、（4-7）以及（4-8）式結果，可得到石英晶體正向壓電效應表示式用矩陣表示為：23wangcl@第23頁第23頁在壓電物理中慣用電位移D代替極化強度P，當電場E=0時，D=0E+P=P，電位移三個分量：D1=P1，D2=P2，D3=P3。將這些關系代入到（4-9）式，即得到用電位移分量與應力分量表示石英晶體正向壓電效應表示式為，

24wangcl@第24頁第24頁式中附標E表示電場強度E=0。25wangcl@第25頁第25頁從以上兩式式能夠看出：（1）對于石英晶體不是在任何方向上都存在壓電效應，只有在一些方向上，在一些力作用下，產生才干出現正壓電效應。比如，在石英晶體x方向，只有X1、X2、X4作用時，才干在x方向壓電效應，而X3、X5、X6不能在x方向壓電效應。在石英晶體z方向，無論在什么方向作用多大力，都不能在z方向壓電效應。26wangcl@第26頁第26頁（2）石英晶體獨立壓電常數只有d11與d14兩個，它們數值是： d11=-2.3110-12庫侖/牛頓， d14=0.7310-12庫侖/牛頓。27wangcl@第27頁第27頁對于普通情況，比如屬于三斜晶系1（C1）點群壓電晶體是完全各向異性，獨立壓電常數共有18個，用矩陣表示即為，28wangcl@第28頁第28頁可見壓電常數d矩陣形式是一個三行六列矩陣，即d是一個三級張量。普通情況下正壓電效應表示式為：29wangcl@第29頁第29頁或簡寫為：或：30wangcl@第30頁第30頁逆壓電效應inverseeffect當晶體受到電場E作用時，晶體產生與電場成線性百分比畸變，這個現象稱為逆壓電效應。逆壓電效應產生是由于壓電晶體受到電場作用時，在晶體內部產生應力，這個應力常稱為壓電應力。通過壓電應力作用，產生壓電形變。仍以石英晶體為例闡明下列。31wangcl@第31頁第31頁（1）選取石英晶體x切割晶片，以x面為電極面。當晶片只受到x方向電場分量E1作用（應力張量X=0）時，分別在x方向和y方向產生應變x1和x2以及切應變x4，這些應變都與E1成正比，即其中下標X表示應力張量X=0。32wangcl@第32頁第32頁（2）以y面為電極面，當晶片只受到y(tǒng)方向電場分量E2作用時，分別產生切應變x5和x6，這些應變都與E2正比，即：33wangcl@第33頁第33頁（3）以z面為電極面，當晶片只受到z方向電場分量E3作用時，晶片不產生任何形變。綜合上述結果，得到石英晶體逆壓電效應表示式，用矩陣表示為34wangcl@第34頁第34頁逆壓電效應35wangcl@第35頁第35頁從上式能夠看出：（1）對于石英晶體不是在任何方向上都存在逆壓電效應，只有在一些方向，在一些電場作用下，才干產生逆壓電效應。比如，當x方向電場分量E1作用時，可產生壓電形變x1和x2以及壓電切應變x4。又如當z方向電場分量E3作用時，晶體不會產生任何形變。36wangcl@第36頁第36頁（2）逆壓電常數與正壓電常數相同，并且一一相應。（3）有正壓電效應方向就有相應逆壓電效應。晶體中那個方向上有正壓電效應，則此方向上一定存在逆壓電效應。

37wangcl@第37頁第37頁對于普通情況，比如三斜晶系中壓電晶體，它逆壓電效應用矩陣表示即為，

38wangcl@第38頁第38頁transpose將正壓電效應方程式與逆壓電效應方程式比較，可見逆壓電效應表示式中，壓電常數矩陣是正壓電常數矩陣d轉置矩陣。慣用表示dt。dt是一個六行三列矩陣，于是逆壓電效應方程式可簡寫為或39wangcl@第39頁第39頁關于壓電常數dni意義壓電晶體與其它晶體主要區(qū)別在于壓電晶體介電性質與彈性性質之間存在線性耦合關系，而壓電常數就是反應這種耦合關系物理量。40wangcl@第40頁第40頁由（4-17）式可得，dni=(xi/En)X，即應力X為零時（或X為常數時），由于電場強度分量En改變引起應變分量xi改變與電場強度分量En改變之比?；蛘哒fdni為應力為零時，壓電晶體應變分量xi隨電場強度分量En改變率。41wangcl@第41頁第41頁由（4-13）式可得，dmj=(Dm/Xj)E，為電場強度為零時（或E為常數時），由于應力分量Xj改變引起電位移分量Dm改變與應力分量Xj改變之比?；蛘哒fdmj為電場強度為零時，壓電晶體電位移分量Dm隨應力分量Xj改變率。試驗上常依據dmj=(Dm/Xj)E來測量壓電晶體壓電常數dmj。

42wangcl@第42頁第42頁壓電常數與對稱性

43wangcl@第43頁第43頁與介電常數和彈性常數一樣，晶體壓電常數也與晶體對稱性相關。不同對稱性晶體，不但壓電常數數值不同，而且獨立壓電常數也不同。這一節(jié)主要內容是怎樣依據不同類型壓電晶體對稱性，來確定它壓電效應和壓電常數。先介紹晶體對稱性與電偶極矩分布；其次一石英晶體和鈦酸鋇晶體為例做深入分析討論。44wangcl@第44頁第44頁晶體對稱性與電偶極矩分布

壓電晶體物理性質特點是，形變能使晶體產生極化（或者說能改變晶體極化狀態(tài)），而極化現象直接與電偶極矩分布相關。因此能夠通過晶體內部電偶極矩分布與晶體對稱性之間關系來討論晶體壓電性。45wangcl@第45頁第45頁對稱中心含有對稱中心晶體是非壓電晶體。假如含有對稱中心晶體在某一方向上存在電偶極矩，則依據對稱中心對稱要求，也必定存在大小相等、方向相反電偶極矩，如圖4-3所表示，這些一對對大小相等、方向相反電偶極矩彼此抵消，對總極化無奉獻。

46wangcl@第46頁第46頁含有對稱中心電偶極矩分布圖

47wangcl@第47頁第47頁晶體任何形變也不能改變這個中心對稱性質。因此，凡含有對稱中心晶體，必定是非壓電晶體。七大晶系32類點群中，有21類不存在對稱中心，而這21類無對稱中心晶體中，除去屬于432點群晶體未發(fā)覺有壓電效應外，其余20類無中心對稱晶體含有壓電效應，如表4-1所表示。

48wangcl@第48頁第48頁對稱面設x面為對稱面，依據對稱面對稱性要求，當晶體坐標由x-x、yy、zz時，晶體性質應保持不變。假如在對稱面一側，比如x方向，存在一個電偶極矩Px，則在對稱面另一側，-x方向，也一定存在一個大小相等、方向相反電偶極矩P’x（如圖4-4所表示），才干滿足x面是對稱面對稱性要求。

49wangcl@第49頁第49頁圖4-4含有對稱面電偶極矩分布圖50wangcl@第50頁第50頁可見垂直于對稱面方向上，電偶極矩和等于零。不過，在平行于對稱面方向上與垂直于對稱面方向上情況不同。在平行于對稱面方向上能夠存在不等于零電偶極矩，（這與對稱面對稱性要求并不矛盾），就是說與對稱面平行電偶極矩P能夠不等于零。51wangcl@第51頁第51頁四階旋轉軸設z軸為四階軸，依據四階軸對稱性要求，當晶體繞z軸轉90后，xy，y-x；當晶體繞z軸轉180后，x-x，y-y；當晶體繞z軸轉270后，x-y，yx。晶體通過上述轉動后，晶體性質應保持不變。假如在x方向存在電偶極矩，則在y方向、-y方向和-x方向上，也一定存在大小相等、方向相反電偶極矩，如同4-5所表示。

52wangcl@第52頁第52頁這么才干滿足z軸是四階軸對稱性要求。因此在x方向和y方向電偶極矩等于零。而z軸情況與x軸和y軸不同，在z軸方向上，能夠存在不等于零電偶極矩（這與z軸是四階軸對稱性要求不矛盾）。就是說與四階軸平行電偶極矩能夠不等于零。53wangcl@第53頁第53頁圖4-5含有四階軸電偶極矩分布圖

54wangcl@第54頁第54頁二階軸、三階軸、六階軸情況與四階軸情況類似，即與二階軸、三階軸、六階軸平行電偶極矩能夠不等于零。假如晶體同時存在對稱面和某階軸，則須結合對稱面和某階軸對稱性要求，綜合分析討論。55wangcl@第55頁第55頁—石英晶體對稱性與壓電性

—石英晶體（SiO2）因此能產生壓電效應，是與石英晶體內部結構分不開。構成—石英晶體硅離子Si4+與氧離子O2-在垂直于晶體z軸xy平面（或稱為z平面）上投影位置，如圖4-6所表示。56wangcl@第56頁第56頁圖4-6硅原子和氧原子在z平面上投影位置，以及由于在x方向上受到壓力或張力作用時，產生正壓電效應示意圖

57wangcl@第57頁第57頁當晶體未受到力作用時，Si4+與O2-在xy平面上投影正好分布在六角形頂點上，如圖4-6a所表示，這時由Si4+與O2-所形成電偶極矩大小相等，互相之間夾角為120，如圖4-7所表示。由于這些電偶極矩矢量和等于零（即晶體極化強度等于零），晶體表面不出現電荷。58wangcl@第58頁第58頁當晶體受到x方向壓力Fx作用時，晶體在x方向被壓縮，如圖4-6b所表示。這時由Si4+與O2-所形成電偶極矩大小不等，互相之間夾角也不等于120了，如圖4-7b所表示。

59wangcl@第59頁第59頁由于這些電偶極矩在x方向上分量和不等于零，在y方向上分量和仍等于零，因此晶體在x面上出現電荷，即晶體在x方向出現正壓電效應。同理，當晶體在x方向受到張力Fx作用時，晶體在x方向被拉伸，如圖4-6c所表示，這時電偶極矩在x方向上分量和也不等于零，在y方向上分量和仍等于零，如圖4-7c所表示，因此晶體在x面上出現電荷（電荷符號與壓縮時相反），即晶體在x方向出現正壓電效應。60wangcl@第60頁第60頁圖4-7由-石英晶體硅原子和氧原子所形成電偶極矩分布圖61wangcl@第61頁第61頁在理解—石英晶體壓電效應機制之后，再回過頭來討論—石英晶體對稱性與壓電效應之間關系?！⒕w是屬于三方晶系32點群，它z軸是三階軸，x軸是二階軸。當晶體繞x軸轉180后，z-z，y-y，但晶體介電性質、彈性性質和壓電性質都保持不變。假如，在z軸方向存在電偶極矩，則當晶體繞x軸轉180后，電偶極矩方向就會從+z方向變?yōu)?z方向，于是晶體性質就發(fā)生了改變。

62wangcl@第62頁第62頁這是與x軸是二階軸對稱性要求相違反，因此在z軸方向上電偶極矩等于零。而x軸情況與z軸不同，在x軸方向上能夠存在電偶極矩。因為晶體x軸是選定與晶體a軸重合，當晶體繞z軸轉120或240后，x軸與另外兩個電偶極矩重合，晶體性質不會發(fā)生任何改變，如圖4-8所表示。63wangcl@第63頁第63頁圖4-8

64wangcl@第64頁第64頁由此可見，x軸方向上存在電偶極矩與z軸是三階軸對稱性要求不矛盾；與x軸是二階軸對稱性要求不矛盾，就是說，屬于32點群晶體，在其xy平面內，能夠存在三個大小相等，互成120夾角偶極矩。這是依據32點群晶體對稱性得到結論。

65wangcl@第65頁第65頁當晶體受到應力X1或X2作用時，晶體在x方向、y方向和z方向都要產生伸長或縮短形變。由于z方向伸縮形變不能改變z方向電偶極矩等于零狀態(tài)，因此在z方向不出現壓電效應，這就要求—石英晶體壓電常數：d31=0，d32=0。

66wangcl@第66頁第66頁由于x方向伸縮形變，能使P’、P”、P’’’在x方向分量發(fā)生改變（比如形變前P’、P”、P’’’在x方向分量和等于零，形變后在x方向分量和不等于零），因而在x方向產生壓電效應，這就要求—石英晶體壓電常數：d110，d120。67wangcl@第67頁第67頁由于y方向伸縮形變，不能改變P’、P”、P’’’在y方向分量和等于零狀態(tài)，因此y方向伸縮形變對壓電效應無奉獻，這就要求壓電常數：d21=0，d22=0。當晶體受到應力X3作用時，晶體在z方向和x、y方向也要產生伸長或縮短形變，由于z方向伸縮對壓電效應無奉獻，故壓電常數d33=0。由于T3作用在x、y方向產生相同伸縮，不能改變本來P’、P”、P’’’矢量和為零狀態(tài)，對壓電效應無奉獻，故壓電常數d13=0，d23=0。68wangcl@第68頁第68頁鈦酸鋇晶體對稱性與壓電性

1942年發(fā)覺鈦酸鋇陶瓷含有壓電性后，1947年成功制備鈦酸鋇單晶。鈦酸鋇是含有壓電效應鐵電體，是繼—石英晶體之后發(fā)覺另一類主要壓電材料。它發(fā)覺和發(fā)展，在理論上和應用上都對壓電鐵電物理合材料起了增進作用。69wangcl@第69頁第69頁室溫時，鈦酸鋇晶體原胞是一個長方體，鋇離子Ba2+位于長方體八個角上，氧離子O2-位于長方體六個面面心，鈦離子Ti4+則位于長方體中心之上（或之下）某一位置，如圖4-9所表示。 鈣鈦礦結構名稱來自鈦酸鈣CaTiO3 PerovskitefromPerovsky鈣鈦礦結構perovskite70wangcl@第70頁第70頁圖4-9鈦酸鋇晶體晶胞，鋇離子，氧離子，鈦離子，晶胞參數a=b,c>a71wangcl@第71頁第71頁因為在鈣鈦礦結構中正負電荷中心不重合，因此存在一個與c軸平行電偶極矩，即鈦酸鋇晶體存在自發(fā)極化，c軸就是極化軸。這一點是鈦酸鋇晶體與—石英晶體不同地方，石英晶體有壓電效應，但無自發(fā)極化，因此它是壓電晶體，而不是鐵電體。鈦酸鋇晶體含有自發(fā)極化，又有壓電效應，因此鈦酸鋇晶體被稱為鐵電晶體。72wangcl@第72頁第72頁鈦酸鋇晶體屬于四方晶系4mm點群，z軸是四階軸（z軸與c軸平行），x面和y面（即yz平面和zx平面）是對稱面。依據z軸是四階軸要求，只有與z軸平行方向上，能夠存在不為零電偶極矩；又依據x面、y面是對稱面對稱性要求，只有x面與y面交線平行方向上，能夠存在不等于零電偶極矩。

73wangcl@第73頁第73頁由于x面與y面交線正好與z軸重疊，可見只有在z軸方向，能夠存在不等于零電偶極矩，在x軸方向和與y軸方向電偶極矩等于零，如圖4-10所表示。就是說屬于4mm點群晶體對稱性所得到結論，與從鈦酸鋇晶胞結構所得到結論完全一致。74wangcl@第74頁第74頁圖4-10z軸是四階軸，x面、y面是對稱面時電偶極矩分布圖75wangcl@第75頁第75頁知道了鈦酸鋇晶體電偶極矩分布后，就能夠進一步討論鈦酸鋇晶體壓電效應與壓電常數。當晶體分別受到應力X1、X2或X3作用時，晶體在x方向、與y方向和z方向都要產生伸長或縮短形變，由于z方向存在電偶極矩，z方向伸縮形變要改變這個電偶極矩大小，因而在z方向產生壓電效應，這就要求鈦酸鋇晶體壓電常數：d310，d320，d330。76wangcl@第76頁第76頁又由于z軸是四階軸，x、y能夠互換而不改變晶體性質，故有：d31=d32。由于x方向和y方向伸縮應變，不能改變x方向和y方向電偶極矩等于零狀態(tài)，因此在x方向和y方向不出現壓電效應，這就表明鈦酸鋇晶體壓電常數：d11=d12=d13=d21=d22=d23=0。77wangcl@第77頁第77頁當晶體受到切應力X4作用時，晶體要產生切應變，并使本來與z軸平行電偶極矩發(fā)生向y方向偏轉，其結果使y方向出現不等于零電偶極矩。如圖4-11所表示，因而在y方向產生壓電效應，這就表明鈦酸鋇壓電常數d240。但是由X4引起切應變，不改變本來x方向和z方向電偶極矩狀態(tài)，即在x方向和z方向不出現壓電效應，故壓電常數電偶極矩d14=d34=0。78wangcl@第78頁第78頁圖4-11切應變X4作用79wangcl@第79頁第79頁當晶體受到切應力X5作用時，與X4情況類似，如圖4-12所表示。同理可得鈦酸鋇晶體壓電常數d150，d25=d35=0。又由于z軸是四階軸，x軸和y軸能夠互換而不改變晶體性質，故有d24=d15。由于xy平面上電偶極矩為零；當晶體受到X6作用產生切應變，不能改變x方向、y方向和z方向本來電偶極矩狀態(tài)，因此在時x方向和z方向不出現壓電效應，故有d16=d26=d36=0。

80wangcl@第80頁第80頁最后得到鈦酸鋇晶體壓電常數用矩陣表示下列：

81wangcl@第81頁第81頁可見鈦酸鋇晶體獨立壓電常數為d15、d11和d33三個： d15=39210-12庫侖/牛頓 d31=-34.510-12庫侖/牛頓 d33=85.610-12庫侖/牛頓82wangcl@第82頁第82頁獨立壓電常數數目與介電常數和彈性常數同樣，也能夠依據晶體對稱性，采用壓電常數足標代換法和坐標變換法擬定晶體獨立壓電常數數目。83wangcl@第83頁第83頁足標代換法代換時應注意到壓電常數是一個三階張量，壓電常數三足標與二足標關系為：84wangcl@第84頁第84頁4mm點群下面以用4m