淺談數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 論文

淺談數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用【內(nèi)容摘要】數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是研究空間形式的科學(xué)。數(shù)與形之間是有聯(lián)系的，并且這種聯(lián)系叫做數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用作為一種數(shù)學(xué)思想和方法，有三種形態(tài)，但初中數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)結(jié)合的應(yīng)用大致可分為以下兩種形態(tài)：1、借助數(shù)的精確性，闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；2.借助形的幾何直觀性，闡明數(shù)的某種關(guān)系，也就是“以形助數(shù)”?！冻踔袛?shù)學(xué)》從七年級(jí)第一章有理數(shù)的第二節(jié)數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值的大小到第三節(jié)有理數(shù)的大小，分別開啟了初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，滲透到初中數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)階段。在初中三年的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，對(duì)初中生在大量解決代數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)問題中起到了決定性的作用。這不僅使初中學(xué)生了解和明白了什么是數(shù)形結(jié)合思想方法，而且使初中學(xué)生體驗(yàn)到了數(shù)形結(jié)合思想方法解題的實(shí)用性和實(shí)效性。初中學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，領(lǐng)略了“數(shù)”與“形”的和諧統(tǒng)一，逐步形成了運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的自覺性。數(shù)形結(jié)合思想方法，不僅限于初中數(shù)學(xué)向數(shù)學(xué)學(xué)科無限研究學(xué)習(xí)的延伸?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)；應(yīng)用；效果數(shù)形結(jié)合主要指數(shù)和形態(tài)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。它將抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系等對(duì)應(yīng)相結(jié)合，呈現(xiàn)出以數(shù)解形或以形助數(shù)的方式，為初中生分析問題、解決問題開辟了一物兩用的新視角；還將初中學(xué)生的抽象思維與形象思維相結(jié)合，引導(dǎo)他們把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，把抽象問題具體化，達(dá)到優(yōu)化解題方法的目的和效果。因此，初中生可以在研究圖形時(shí)，利用其代數(shù)性質(zhì)，尋找解題要點(diǎn)；初中生在遇到一些代數(shù)問題時(shí)，可以利用自己的幾何圖形，尋求解題的切入點(diǎn)。所以教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，會(huì)善于通過不同的方式和變式，培養(yǎng)初中學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合思想”，增強(qiáng)他們的思維能力和解決問題的能力。 初中學(xué)生如何在數(shù)學(xué)解題過程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思路解題？我從以下兩個(gè)角度來分析歸納。從“以數(shù)解形”的角度解決幾何問題（1）采用數(shù)軸、平面坐標(biāo)系等工具把幾何問題代數(shù)化；（2）用距離、面積等事物的幾何量求解幾何問題，如：用勾股定理和平面直角坐標(biāo)系探求平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式，用勾股定理反命題證明直角，用等面積法求解等等。例1已知在平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)Ax1,y1和Bx2,y2之間的距離公式為AB=x1x2y1y2.利用此公式計(jì)算原點(diǎn)至直線yx25的距離?！窘馕觥勘绢}考查的是從幾何問題的點(diǎn)到直線的距離。方法一：先在平面直角坐標(biāo)系直接畫出一條直線yx25的圖像，然后過原點(diǎn)作直線yx25的距離，最后構(gòu)造直角三角形等方法，求點(diǎn)到直線的距離；解決起來費(fèi)時(shí)易錯(cuò)。方法二：先用平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離表示原點(diǎn)與直線yx25上任意一點(diǎn)的距離；再用函數(shù)關(guān)系式求出表達(dá)式中的最小值就可以了。比較以上兩種方法，顯然采用方法二以數(shù)解形的方法更高效、更快速地解決這一幾何問題。點(diǎn)M解：設(shè)點(diǎn)Mx2,x5在直線yx25上任意一點(diǎn)，則原點(diǎn)O與x2,x5的距離為OM=x02x505x25所以原點(diǎn)到直線yx25的距離=OM最小值=5.【釋義】把幾何問題中點(diǎn)到直線的距離放在平面直角坐標(biāo)系中，使幾何問題代數(shù)化，這樣解決起來效率更高，也更準(zhǔn)確，同時(shí)避免添加輔助線(這是平面幾何的一大難題)，從而實(shí)現(xiàn)幾何問題的化繁為簡(jiǎn)。（例2已知ABC的三條邊長(zhǎng)分別為mn2、2mn和mn2m、n為正整數(shù)，且m＞n），求ABC的面積（用含m、n的代數(shù)式表示）.【解析】本題考查的是已知三角形三邊求三角形的區(qū)域。方法一：利用“海倫公式”進(jìn)行運(yùn)算?！昂惞健保喝切蔚娜龡l邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半，則三角形的面積s=ppapbpc；方法二：初中學(xué)過勾股定理逆定理的學(xué)生計(jì)算發(fā)現(xiàn)：這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)滿足勾股定理逆定理的關(guān)系，我們判斷這個(gè)三角形是直角三角形的同時(shí)并能指出兩個(gè)直角邊，再用直角三角形的面積公式算出這個(gè)三角形的面積。解：m2n2mn2=2m22n2=2mn為直角邊，故ABC是直角三角形且mn2和2mn故ABC的面積=1?m2n2?2mnmnm2n22.【釋義】勾股定理的逆定理證明，三角形是直角三角形“以數(shù)解形”的一種較為常用的方法。由此也可以引申，證明一個(gè)角是直角(垂直關(guān)系)。 例3如圖所示，由5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小方塊連在一起組成的圖形，請(qǐng)你將其切成無重疊、無空隙的大方塊。果單【分析】如從“形”的角度思考，需要多試驗(yàn)找出解決方案。但如果從“數(shù)”的角度來計(jì)算，就可以通過“面積法”來推算出大方塊的邊長(zhǎng)應(yīng)該是5。接下來我們只要找出圖中邊長(zhǎng)為5的線段，以此為一邊做正方形(如右圖所示)就可以了。由此可以設(shè)計(jì)出各種剪裁的方式。 【釋義】此題借助“面積法”將代數(shù)問題轉(zhuǎn)換成幾何問題，其實(shí)是“數(shù)形結(jié)合”的具體表現(xiàn)形式。二、從“以形助數(shù)”角度運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”解決問題幾何圖形具有直觀易懂的特點(diǎn)，師生在運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”時(shí)更傾向于“以形助數(shù)”，用幾何圖形解決代數(shù)問題?！耙孕沃鷶?shù)”經(jīng)常產(chǎn)生“出奇制勝”的效果。初中數(shù)學(xué)師生探究數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)和有序的一對(duì)實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)；直觀地將初中數(shù)學(xué)幾何轉(zhuǎn)化為代數(shù)，主要概括以下幾個(gè)方面：顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，y最小值=5.即當(dāng)且僅當(dāng)=2時(shí)，yx最小值=5. 【釋義】函數(shù)問題幾何直觀化，絕對(duì)值和的最值問題轉(zhuǎn)化為三條線段和的問題。代數(shù)問題用幾何直觀化的方法高效解答。

例5（2021年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試19題）已知正比例函數(shù)ykxk0與反比例函數(shù)y6的圖象都經(jīng)過點(diǎn)Am2,.x（1）求k,m的值；（2）在圖坐標(biāo)系中畫出正比例函數(shù)ykx的繪圖，并根據(jù)繪圖寫出正比例函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值時(shí)x的取值范圍是多少?！痉治觥繂栴}（1）采用函數(shù)表達(dá)式（代數(shù)）及函數(shù)圖象（幾何）之間的聯(lián)系求出k,m的值；問題（2）中正比例函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象交點(diǎn)及由圖象反應(yīng)出的函數(shù)性質(zhì)解不等式kx﹥6.x解：（1）因?yàn)檎壤瘮?shù)ykxk0與反比例函數(shù)y6的圖象x都經(jīng)過點(diǎn)A，所以mk2，解得km2.m2,623m3（2）結(jié)合圖象得：2x﹥6的解集為-3＜x＜0或x＞3.3x【釋義】一元方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象直觀題來求解。該題采用正比例函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象的幾何直觀圖直接解出不等式2x﹥6的解集，突出了“以形解數(shù)”的解題效率高。3x例6（2021年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試22題）已知拋物線yax22x1a0對(duì)稱軸為直線x=1.（1）求a的值；（2）若點(diǎn)Mx1,y1，Nx2,y2都在此拋物線上，且-1＜1x＜0，1（3）＜2x＜2，比較1y與2y的大小，并說明理由。設(shè)直線ymm0和拋物線yax22x1交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與拋物線y3x1交于點(diǎn)C和點(diǎn)D,求線段AB與線段CD的長(zhǎng)度比例?！窘馕觥?1)由二次函數(shù)解析式y(tǒng)ax2bxca0與其圖象的關(guān)系探究其性質(zhì)中的對(duì)稱軸直線xb可以求出本題的a12a(2)由(1)得拋物線表達(dá)式y(tǒng)x22x1直觀地解第(2)問，也可直接帶入表達(dá)式中比較1y與2y大??；（3）結(jié)合圖象直觀列出方程組

yymx1求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)求出x22線段AB長(zhǎng)的表達(dá)式，再類比以上列出方程組

yym1求出點(diǎn)C,D3x的坐標(biāo)求出線段CD長(zhǎng)的表達(dá)式，最后求AB:CD。21a解：（1）由2aa=1,得=1；（2）由（1）得拋物線表達(dá)式為yx22x1得拋物線m；yx22x1。如圖所示：1y＞2ym1故AB=2（3）由

yym1得x1m1，x2x22xy1my2m同理求得CD=23m；所以AB:CD=2m：23m=3.33【釋義】函數(shù)與方程在初中數(shù)學(xué)中起著至關(guān)重要的作用，函數(shù)的解析式(代數(shù))與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系(幾何直觀)滲透到數(shù)形結(jié)合的重要應(yīng)用之一，使用函數(shù)圖像可以求函數(shù)表達(dá)式，比較函數(shù)值大小等等。（2）幾何圖形演示代數(shù)公式比如：①采用正方形的分割圖表示完全平方公式②同一個(gè)圓弧所對(duì)應(yīng)的圓周角與圓心角的聯(lián)系（如下圖所示） 在任何情況之下都證明，同一個(gè)圓弧所對(duì)應(yīng)的圓周角是圓心角的1/2。 （3）利用統(tǒng)計(jì)圖整理分析數(shù)據(jù)等(數(shù)形結(jié)合在概率與統(tǒng)計(jì)題中的應(yīng)用)。例7（2022年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試21題）第24屆冬奧會(huì)于2022年2月20日在北京勝利閉幕。某學(xué)校七、八年級(jí)各有500名初中生，為了解這兩個(gè)年級(jí)的初中生對(duì)本屆冬奧會(huì)的關(guān)注程度，現(xiàn)從這兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取N名初中生進(jìn)行冬奧會(huì)了解知識(shí)測(cè)試，將測(cè)試數(shù)據(jù)按以下6組(分?jǐn)?shù)用x表示)進(jìn)行整理歸結(jié)：A:70≤x＜75,B:75≤x＜80,C:80≤x＜85,D:85≤x＜90,E:90≤x＜95,F:95≤x＜100, 并且描繪出了七年級(jí)測(cè)試成績(jī)頻數(shù)直方圖和八年級(jí)測(cè)試成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖，描繪信息如下圖：現(xiàn)已知八年級(jí)測(cè)試成績(jī)D組的全部數(shù)據(jù)分部如下： 86,85,87,86,85,89,88

請(qǐng)根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）n=;a=； （2）八年級(jí)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是；

（3）如果測(cè)試成績(jī)結(jié)果顯示等于或高于90分，則認(rèn)定該初中生對(duì)冬奧會(huì)關(guān)注了解程度很高。請(qǐng)估計(jì)一下該校七、八年級(jí)初中生總共有多少人對(duì)冬奧會(huì)的關(guān)注度高，并說明理由?！踞屃x】(1)樣本容量n=八年級(jí)D組頻數(shù)7÷頻率35%（扇形統(tǒng)計(jì)圖）；七年級(jí)六組頻數(shù)之和=2+a+6+a+3+1=n（2）根據(jù)一組數(shù)的中位數(shù)定義結(jié)合題中統(tǒng)計(jì)圖提供的數(shù)據(jù)信息計(jì)算出八年級(jí)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)=（86+87）÷2=86.5分；（3）統(tǒng)計(jì)圖提供的數(shù)據(jù)信息分別計(jì)算出樣本中七、八年級(jí)測(cè)試成績(jī)不低于90分（E、F兩組）的概率，再計(jì)算出各年級(jí)總?cè)藬?shù)×各測(cè)試成績(jī)不低于90分的概率的和。解：（1）n=20;a=4； (2)∵n=20∴八年級(jí)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為這20個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排序后的第10、11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù);

又∵八年級(jí)測(cè)試成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖可知A、B、C三組共計(jì)

（5%+5%+20%）×20=6，八年級(jí)測(cè)試成績(jī)D組的全部數(shù)據(jù)排序后的順序依次為85,85,86,86,87,88，89

∴八年級(jí)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)=（86+87）÷2=86.5分

（3）七年級(jí)測(cè)試成績(jī)不低于90分的概率=(3+1)÷20=20%八年級(jí)測(cè)試成績(jī)不低于90分的概率=（1-5%-5%-20%-35%）=35%，估算出該校七、八年級(jí)對(duì)冬奧會(huì)關(guān)注程度高的初中生一共=500×20%+500×35%=275（人）【釋義】利用統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖對(duì)收集到的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行直觀的整理，幫助我們分析和運(yùn)用數(shù)據(jù)。概率和統(tǒng)計(jì)是數(shù)形結(jié)合的具體運(yùn)用方法之一。經(jīng)過數(shù)形結(jié)合思想