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專(zhuān)題19:反比例函數(shù)的應(yīng)用第4頁(yè)共50頁(yè)2012年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)解析匯編(159套63專(zhuān)題)專(zhuān)題19:反比例函數(shù)的應(yīng)用一、選擇題1.(2012福建福州4分)如圖,過(guò)點(diǎn)C(1,2)分別作x軸、y軸的平行線,交直線y=-x+6于A、B兩點(diǎn),若反比例函數(shù)y=eq\f(k,x)(x>0)的圖像與△ABC有公共點(diǎn),則k的取值范圍是【】A.2≤k≤9B.2≤k≤8C.2≤k≤5D.5≤k≤8【答案】A?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì)?!痉治觥俊唿c(diǎn)C(1,2),BC∥y軸,AC∥x軸,∴當(dāng)x=1時(shí),y=-1+6=5;當(dāng)y=2時(shí),-x+6=2,解得x=4?!帱c(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(4,2),B(1,D.【答案】D?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,三角形三邊關(guān)系?!痉治觥俊甙袮,B分別代入反比例函數(shù)得:y1=2,y2=,∴A(,2),B(2,)?!咴凇鰽BP中,由三角形的三邊關(guān)系定理得:|AP-BP|<AB,∴延長(zhǎng)AB交x軸于P′,當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí),PA-PB=AB,即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大。設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,把A、B的坐標(biāo)代入得:,解得:?!嘀本€AB的解析式是。當(dāng)y=0時(shí),x=,即P(,0)。故選D。3.(2012湖北荊門(mén)3分)如圖,點(diǎn)A是反比例函數(shù)(x>0)的圖象上任意一點(diǎn),AB∥x軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B,以AB為邊作□ABCD,其中C、D在x軸上,則S□ABCD為【】A.2B.3C.4D.5【答案】D?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,平行四邊形的性質(zhì)?!痉治觥吭O(shè)A的縱坐標(biāo)是a,則B的縱坐標(biāo)也是a.把y=a代入得,,則,即A的橫坐標(biāo)是;同理可得:B的橫坐標(biāo)是:。∴AB=?!郤□ABCD=×a=5。故選D。4.(2012湖北恩施3分)已知直線y=kx(k>0)與雙曲線交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則x1y2+x2y1的值為【】A.﹣6B.﹣9C.0D.9【答案】A?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?!痉治觥俊唿c(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)是雙曲線上的點(diǎn),∴x1?y1=x2?y2=3?!咧本€y=kx(k>0)與雙曲線交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),∴x1=﹣x2,y1=﹣y2∴x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6。故選A。5.(2012湖北隨州4分)如圖,直線l與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn),交x軸的正半軸于C點(diǎn),若AB:BC=(m一l):1(m>l)則△OAB的面積(用m表示)為【】A.B.C.D.【答案】B?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)的應(yīng)用,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程式關(guān)系,相似三角形的判定和性質(zhì),代數(shù)式化簡(jiǎn)?!痉治觥咳鐖D,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OC于點(diǎn)E,設(shè)A(xA,yA),B(xB(niǎo),yB),C(c?0)?!逜B:BC=(m一l):1(m>l),∴AC:BC=m:1。又∵△ADC∽△BEC,∴AD:BE=DC:EC=AC:BC=m:1。又∵AD=yA,BE=yB,DC=c-xA,EC=c-xB(niǎo),∴yA:yB=m:1,即yA=myB?!咧本€l與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn),∴,?!?,。將又由AC:BC=m:1得(c-xA):(c-xB(niǎo))=m:1,即,解得?!?。故選B。6.(2012湖南株洲3分)如圖,直線x=t(t>0)與反比例函數(shù)的圖象分別交于B、C兩點(diǎn),A為y軸上的任意一點(diǎn),則△ABC的面積為【】A.3B.tC.D.不能確定【答案】C?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。【分析】把x=t分別代入,得,∴B(t,)、C(t,)。∴BC=﹣()=?!逜為y軸上的任意一點(diǎn),∴點(diǎn)A到直線BC的距離為t?!唷鰽BC的面積=。故選C。7.(2012四川瀘州2分)如圖,矩形ABCD中,C是AB的中點(diǎn),反比例函數(shù)(k>0)在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),若△OAB面積為6,則k的值為【】A、2 B、4 C、8 D、16【答案】B?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,三角形中位線定理?!痉治觥咳鐖D,分別過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)C作OB的垂線,垂足分別為點(diǎn)M、點(diǎn)N,∵點(diǎn)C為AB的中點(diǎn),∴CE為△AMB的中位線?!郙N=NB=a,CN=b,AM=2b。又∵OM?AM=ON?CN,∴OM=a。∴△OAB面積=3a?2b÷2=3ab=6?!郺b=2。∴k=a?2b=2ab=4。故選B。8.(2012遼寧丹東3分)如圖,點(diǎn)A是雙曲線在第二象限分支上的任意一點(diǎn),點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D分別是點(diǎn)A關(guān)于x軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).若四邊形ABCD的面積是8,則k的值為【】A.-1B.1C.2D.-2【答案】D。【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo),矩形的判定和性質(zhì)。【分析】∵點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D分別是點(diǎn)A關(guān)于x軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),∴四邊形ABCD是矩形?!咚倪呅蜛BCD的面積是8,∴4×|-k|=8,解得|k|=2。又∵雙曲線位于第二、四象限,∴k<0?!鄈=-2。故選D。9.(2012遼寧鐵嶺3分)如圖,點(diǎn)A在雙曲線上,點(diǎn)B在雙曲線(k≠0)上,AB∥x軸,分別過(guò)點(diǎn)A、B向x軸作垂線,垂足分別為D、C,若矩形ABCD的面積是8,則k的值為【】A.12B.10C.8D.6【答案】A?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,平行的性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì)?!痉治觥俊唠p曲線(k≠0)在第一象限,∴k>0。延長(zhǎng)線段BA,交y軸于點(diǎn)E?!逜B∥x軸,∴AE⊥y軸?!嗨倪呅蜛EOD是矩形?!唿c(diǎn)A在雙曲線上,∴=4。同理=k?!?,∴k=12。故選A。10.(2012山東德州3分)如圖,兩個(gè)反比例函數(shù)和的圖象分別是l1和l2.設(shè)點(diǎn)P在l1上,PC⊥x軸,垂足為C,交l2于點(diǎn)A,PD⊥y軸,垂足為D,交l2于點(diǎn)B,則三角形PAB的面積為【】A.3B.4C.D.5【答案】C?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,三角形的面積。11.(2012山東臨沂3分)如圖,若點(diǎn)M是軸正半軸上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作PQ∥軸,分別交函數(shù)和的圖象于點(diǎn)P和Q,連接OP和OQ.則下列結(jié)論正確的是【】A.∠POQ不可能等于90° B.C.這兩個(gè)函數(shù)的圖象一定關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)D.△POQ的面積是【答案】D?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,直角三角形的判定,反比例函數(shù)的性質(zhì),反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義?!痉治觥扛鶕?jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)逐一作出判斷:A.∵當(dāng)PM=MO=MQ時(shí),∠POQ=90°,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì),由圖形可得:>0,<0,而PM,QM為線段一定為正值,故,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.根據(jù),的值不確定,得出這兩個(gè)函數(shù)的圖象不一定關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.∵||=PM?MO,||=MQ?MO,∴△POQ的面積=MO?PQ=MO(PM+MQ)=MO?PM+MO?MQ=。故此選項(xiàng)正確。故選D。12.(2012山東威海3分)下列選項(xiàng)中,陰影部分面積最小的是【】【答案】C?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)?!痉治觥扛鶕?jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),A,B,D三個(gè)圖形中陰影部分面積均為2。而C圖形中陰影部分面積為。故選C。二、填空題1.(2012廣東深圳3分)如圖,雙曲線與⊙O在第一象限內(nèi)交于P、Q兩點(diǎn),分別過(guò)P、Q兩點(diǎn)向x軸和y軸作垂線,已知點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,3),則圖中陰影部分的面積為▲.【答案】4?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題【分析】∵⊙O在第一象限關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng),也關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng),P點(diǎn)坐標(biāo)是(1,3),∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,1),∴S陰影=1×3+1×3-2×1×1=4。2.(2012浙江衢州4分)如圖,已知函數(shù)y=2x和函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E,若△AOE的面積為4,P是坐標(biāo)平面上的點(diǎn),且以點(diǎn)B、O、E、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,則滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)是▲.【答案】(0,﹣4),(﹣4,﹣4),(4,4)?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,平行四邊形的性質(zhì)?!痉治觥肯惹蟪鯞、O、E的坐標(biāo),再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)畫(huà)出圖形,即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo):如圖,∵△AOE的面積為4,函數(shù)的圖象過(guò)一、三象限,∴k=8?!喾幢壤瘮?shù)為∵函數(shù)y=2x和函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是:(2,4)(﹣2,﹣4),∵以點(diǎn)B、O、E、P為頂點(diǎn)的平行四邊形共有3個(gè),∴滿足條件的P點(diǎn)有3個(gè),分別為:P1(0,﹣4),P2(﹣4,﹣4),P3(4,4)。3.(2012浙江溫州5分)如圖,已知?jiǎng)狱c(diǎn)A在函數(shù)(x>o)的圖象上,AB⊥x軸于點(diǎn)B,AC⊥y軸于點(diǎn)C,延長(zhǎng)CA至點(diǎn)D,使AD=AB,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E,使AE=AC.直線DE分別交x軸,y軸于點(diǎn)P,Q.當(dāng)QE:DP=4:9時(shí),圖中的陰影部分的面積等于▲_.【答案】?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,曲線上坐標(biāo)與方程的關(guān)系,勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì)?!痉治觥窟^(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F?!逜在函數(shù)(x>o)的圖象上,∴設(shè)A(t,),則AD=AB=DG=,AE=AC=EF=t。在Rt△ADE中,由勾股定理,得?!摺鱁FQ∽△DAE,∴QE:DE=EF:AD。∴QE=?!摺鰽DE∽△GPD,∴DE:PD=AE:DG?!郉P=。又∵QE:DP=4:9,∴。解得?!鄨D中陰影部分的面積=。4.(2012江蘇常州2分)如圖,已知反比例函數(shù)和。點(diǎn)A在y軸的正半軸上,過(guò)點(diǎn)A作直線BC∥x軸,且分別與兩個(gè)反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B和C,連接OC、OB。若△BOC的面積為,AC:AB=2:3,則=▲,=▲。5.(2012江蘇蘇州3分)如圖,已知第一象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù)圖象的一個(gè)分支,第二象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù)圖象的一個(gè)分支,在軸上方有一條平行于軸的直線與它們分別交于點(diǎn)A、B,過(guò)點(diǎn)A、B作軸的垂線,垂足分別為C、D.若四邊形ACDB的周長(zhǎng)為8且AB<AC,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是▲.【答案】(,3)?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,矩形的性質(zhì),解分式方程?!痉治觥俊唿c(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上,∴可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為()?!逜B平行于x軸,∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為?!唿c(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上,∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo),即B點(diǎn)坐標(biāo)為()。∴AB=a-(-2a)=3a,AC=?!咚倪呅蜛BCD的周長(zhǎng)為8,而四邊形ABCD為矩形,∴AB+AC=4,即3a+=4,整理得,3a2-4a+1=0,即(3a-1)(a-1)=0?!郺1=,a2=1。∵AB<AC,∴a=?!郃點(diǎn)坐標(biāo)為(,3)。6.(2012江蘇宿遷3分)在平面直角坐標(biāo)系中,若一條平行于x軸的直線l分別交雙曲線和于A,B兩點(diǎn),P是x軸上的任意一點(diǎn),則△ABP的面積等于▲.【答案】4?!究键c(diǎn)】曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?!痉治觥吭O(shè)平行于x軸的直線l為y=m(m≠0),則它與雙曲線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(,m),B(,m)?!郃B=?!唷鰽BP的面積。7.(2012江蘇揚(yáng)州3分)如圖,雙曲線經(jīng)過(guò)Rt△OMN斜邊上的點(diǎn)A,與直角邊MN相交于點(diǎn)B,已知OA=2AN,△OAB的面積為5,則k的值是▲.【答案】12?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題?!痉治觥咳鐖D,過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸于點(diǎn)C,則AC∥NM,∴△OAC∽△ONM,∴OC:OM=AC:NM=OA:ON。又∵OA=2AN,∴OA:ON=2:3。設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則OC=x0,AC=y(tǒng)0?!郞M=,NM=?!郚點(diǎn)坐標(biāo)為(,)。∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為,設(shè)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yB,∵點(diǎn)A與點(diǎn)B都在圖象上,∴k=x0?y0=?yB?!??!郆點(diǎn)坐標(biāo)為()。∵OA=2AN,△OAB的面積為5,∴△NAB的面積為?!唷鱋NB的面積=?!?,即?!??!鄈=12。8.(2012福建龍巖3分)如圖,平面直角坐標(biāo)系中,⊙O1過(guò)原點(diǎn)O,且⊙O1與⊙O2相外切,都與x軸垂直,且點(diǎn)P1、P2在反比例函數(shù)(x>0)的圖象上,則▲.【答案】。【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題?!痉治觥俊摺袿1過(guò)原點(diǎn)O,⊙O1的半徑O1P1,∴O1O=O1P1?!摺袿1的半徑O1P1與x軸垂直,點(diǎn)P1(x1,y1)在反比例函數(shù)(x>0)的圖象上,∴x1=y1,x1y1=1?!鄕1=y1=1。∵⊙O1與⊙O2相外切,⊙O2的半徑O2P2與x軸垂直,設(shè)兩圓相切于點(diǎn)A,∴AO2=O2P2=y2,OO2=2+y2?!郟2點(diǎn)的坐標(biāo)為:(2+y2,y2)?!唿c(diǎn)P2在反比例函數(shù)(x>0)的圖象上,∴(2+y2)?y2=1,解得:y2=-1+或-1-(不合題意舍去)?!鄖1+y2=1+(-1+)=。9.(2012福建漳州4分)如圖,點(diǎn)A(3,n)在雙曲線y=上,過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸,垂足為C.線段OA的垂直平分線交OC于點(diǎn)B,則△ABC周長(zhǎng)的值是▲.【答案】4?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理?!痉治觥坑牲c(diǎn)A(3,n)在雙曲線y=上得,n=1?!郃(3,1)?!呔€段OA的垂直平分線交OC于點(diǎn)B,∴OB=AB。則在△ABC中,AC=1,AB+BC=OB+BC=OC=3,∴△ABC周長(zhǎng)的值是4。10.(2012福建三明4分)如圖,點(diǎn)A在雙曲線上,點(diǎn)B在雙曲線上,且AB//y軸,點(diǎn)P是軸上的任意一點(diǎn),則△PAB的面積為▲.【答案】1?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。【分析】∵點(diǎn)A在雙曲線上,點(diǎn)B在雙曲線上,且AB//y軸,∴可設(shè)A(x,),B(x,)?!郃B=,AB邊上的高為x?!唷鱌AB的面積為。11.(2012湖南湘潭3分)近視眼鏡的度數(shù)y(度)與鏡片焦距x(m)成反比例(即),已知200度近視眼鏡的鏡片焦距為0.5m,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是▲.【答案】?!究键c(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列反比例函數(shù)關(guān)系式?!痉治觥坑捎邳c(diǎn)(0.5,200)適合這個(gè)函數(shù)解析式,則k=0.5×200=100,∴。故眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關(guān)系式為:。12.(2012四川成都4分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,與反比例函數(shù)(為常數(shù),且)在第一象限的圖象交于點(diǎn)E,F(xiàn).過(guò)點(diǎn)E作EM⊥y軸于M,過(guò)點(diǎn)F作FN⊥x軸于N,直線EM與FN交于點(diǎn)C.若(為大于l的常數(shù)).記△CEF的面積為S1,△OEF的面積為S2,則=▲.(用含的代數(shù)式表示)【答案】?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,相似三角形的判定和性質(zhì)。?!痉治觥窟^(guò)點(diǎn)F作FD⊥BO于點(diǎn)D,EW⊥AO于點(diǎn)W,∵,∴。設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為:(x,my),則F點(diǎn)坐標(biāo)為:(mx,y),∴△CEF的面積為:S1=(mx﹣x)(my﹣y)=(m﹣1)2xy?!摺鱋EF的面積為:S2=S矩形CNOM﹣S1﹣S△MEO﹣S△FON=MC?CN﹣(m﹣1)2xy﹣ME?MO﹣FN?NO=mx?my﹣(m﹣1)2xy﹣x?my﹣y?mx=m2xy﹣(m﹣1)2xy﹣mxy=(m2﹣1)xy=(m+1)(m﹣1)xy,∴。13.(2012山東聊城3分)如圖,在直角坐標(biāo)系中,正方形的中心在原點(diǎn)O,且正方形的一組對(duì)邊與x軸平行,點(diǎn)P(3a,a)是反比例函數(shù)(k>0)的圖象上與正方形的一個(gè)交點(diǎn).若圖中陰影部分的面積等于9,則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為▲.【答案】?!究键c(diǎn)】待定系數(shù)法,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性,正方形的性質(zhì)?!痉治觥坑煞幢壤瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)性可知陰影部分的面積和正好為小正方形面積的,設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為b,圖中陰影部分的面積等于9可求出b的值,從而可得出直線AB的表達(dá)式,再根據(jù)點(diǎn)P(3a,a)在直線AB上可求出a的值,從而得出反比例函數(shù)的解析式:∵反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),∴陰影部分的面積和正好為小正方形的面積。設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為b,則b2=9,解得b=6?!哒叫蔚闹行脑谠c(diǎn)O,∴直線AB的解析式為:x=3?!唿c(diǎn)P(3a,a)在直線AB上,∴3a=3,解得a=1?!郟(3,1)?!唿c(diǎn)P在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上,∴k=3×1=3?!啻朔幢壤瘮?shù)的解析式為:。14.(2012山東日照4分)如圖,點(diǎn)A在雙曲線上,過(guò)A作AC⊥x軸,垂足為C,OA的垂直平分線交OC于點(diǎn)B,當(dāng)OA=4時(shí),則△ABC周長(zhǎng)為▲.【答案】?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,勾股定理,線段垂直平分線的性質(zhì)?!痉治觥扛鶕?jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知AB=OB,由此推出△ABC的周長(zhǎng)=OC+AC,設(shè)OC=a,AC=b,根據(jù)勾股定理和函數(shù)解析式即可得到關(guān)于a、b的方程組,解之即可求出△ABC的周長(zhǎng)。設(shè)A(a,b),則OC=a,AC=b?!唿c(diǎn)A在雙曲線上,∴,即ab=6?!逴A=4,∴a2+b2=42,即(a+b)2-2ab=16,即(a+b)2-2×6=16,∴a+b=?!逴A的垂直平分線交OC于B,∴AB=OB?!唷鰽BC的周長(zhǎng)=OC+AC=a+b=。15.(2012河南省5分)如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)的圖像上,過(guò)點(diǎn)A,B作x軸的垂線,垂足分別為M,N,延長(zhǎng)線段AB交x軸于點(diǎn)C,若OM=MN=NC,△AOC的面積為6,則k值為▲【答案】4?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題?!痉治觥吭O(shè)OM=a,∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)上,∴AM=?!逴M=MN=NC,∴OC=3a?!郤△AOC=?OC?AM=×3a×=k=6。解得k=4。16.(2012甘肅蘭州4分)如圖,點(diǎn)A在雙曲線上,點(diǎn)B在雙曲線上,且AB∥x軸,C、D在x軸上,若四邊形ABCD為矩形,則它的面積為▲.【答案】2?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義?!痉治觥咳鐖D,過(guò)A點(diǎn)作AE⊥y軸,垂足為E,∵點(diǎn)A在雙曲線上,∴四邊形AEOD的面積為1?!唿c(diǎn)B在雙曲線上,且AB∥x軸,∴四邊形BEOC的面積為3?!嗨倪呅蜛BCD為矩形,則它的面積為3-1=2。三、解答題1.(2012重慶市10分)已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于一、三象限內(nèi)的A.B兩點(diǎn),與x軸交于C點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,m),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(n,-2),tan∠BOC=。(l)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;(2)在x軸上有一點(diǎn)E(O點(diǎn)除外),使得△BCE與△BCO的面積相等,求出點(diǎn)E的坐標(biāo).【答案】解:(1)過(guò)B點(diǎn)作BD⊥x軸,垂足為D,∵B(n,-2),∴BD=2。在Rt△OBD中,tan∠BOC=,即,解得OD=5。又∵B點(diǎn)在第三象限,∴B(-5,-2)。將B(-5,-2)代入中,得k=xy=10?!喾幢壤瘮?shù)解析式為。將A(2,m)代入中,得m=5,∴A(2,5),將A(2,5),B(-5,-2)代入y=ax+b中,得,解得?!嘁淮魏瘮?shù)解析式為y=x+3。

(2)由y=x+3得C(-3,0),即OC=3?!逽△BCE=S△BCO,∴CE=OC=3,∴OE=6,即E(-6,0)?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,銳角三角函數(shù)定義?!痉治觥浚?)過(guò)B點(diǎn)作BD⊥x軸,垂足為D,由B(n,-2)得BD=2,由tan∠BOC=,解直角三角形求OD,確定B點(diǎn)坐標(biāo),得出反比例函數(shù)關(guān)系式。再由A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積相等求n的值,由“兩點(diǎn)法”求直線AB的解析式。(2)點(diǎn)E為x軸上的點(diǎn),要使得△BCE與△BCO的面積相等,只需要CE=CO即可,根據(jù)直線AB解析式求CO,再確定E點(diǎn)坐標(biāo)。2.(2012安徽省12分)甲、乙兩家商場(chǎng)進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng),甲商場(chǎng)采用“慢200減100”的促銷(xiāo)方式,即購(gòu)買(mǎi)商品的總金額滿200元但不足400元,少付100元;滿400元但不足600元,少付200元;……,乙商場(chǎng)按顧客購(gòu)買(mǎi)商品的總金額打6折促銷(xiāo)。(1)若顧客在甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)了510元的商品,付款時(shí)應(yīng)付多少錢(qián)?(2)若顧客在甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)商品的總金額為x(400≤x<600)元,優(yōu)惠后得到商家的優(yōu)惠率為p(p=),寫(xiě)出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并說(shuō)明p隨x的變化情況;(3)品牌、質(zhì)量、規(guī)格等都相同的某種商品,在甲乙兩商場(chǎng)的標(biāo)價(jià)都是x(200≤x<400)元,你認(rèn)為選擇哪家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)商品花錢(qián)較少?請(qǐng)說(shuō)明理由?!敬鸢浮拷猓海?)顧客在甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)了510元的商品,付款時(shí)應(yīng)付510-200=310(元)。(2)p與x之間的函數(shù)關(guān)系式為?!?00>0,∴p隨x的增大而減小。(3)購(gòu)x元(200≤x<400)在甲商場(chǎng)的優(yōu)惠額是100元,乙商場(chǎng)的優(yōu)惠額是x-0.6x=0.4x。當(dāng)0.4x<100,即200≤x<250時(shí),選甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)商品花錢(qián)較少;當(dāng)0.4x=100,即x=250時(shí),選甲乙商場(chǎng)一樣優(yōu)惠;當(dāng)0.4x>100,即250<x<4000時(shí),選乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)商品花錢(qián)較少?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用?!痉治觥浚?)根據(jù)題意直接列出算式510-200即可。(2)根據(jù)商家的優(yōu)惠率即可列出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并能得出p隨x的變化情況。(3)先設(shè)購(gòu)買(mǎi)商品的總金額為x元,(200≤x<400),得出甲商場(chǎng)需花x-100元,乙商場(chǎng)需花0.6x元,然后分三種情況列出不等式和方程即可。3.(2012浙江麗水、金華8分)如圖,等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上,雙曲線y=(k>0)經(jīng)過(guò)邊OB的中點(diǎn)C和AE的中點(diǎn)D.已知等邊△OAB的邊長(zhǎng)為4.(1)求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式;(2)求等邊△AEF的邊長(zhǎng).【答案】解:(1)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G,∵點(diǎn)C是等邊△OAB的邊OB的中點(diǎn),∴OC=2,∠AOB=60°?!郞G=1,CG=,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,)。由,得:k=?!嘣撾p曲線所表示的函數(shù)解析式為。(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AF于點(diǎn)H,設(shè)AH=a,則DH=a?!帱c(diǎn)D的坐標(biāo)為(4+a,a)?!唿c(diǎn)D是雙曲線上的點(diǎn),∴由xy=,得a(4+a)=,即:a2+4a-1=0。解得:a1=-2,a2=--2(舍去)?!郃D=2AH=2-4。∴等邊△AEF的邊長(zhǎng)是2AD=4-8。.【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,等邊三角形的性質(zhì),曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,解一元二次方程?!痉治觥?1)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OG、CG的長(zhǎng)度,從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式列式計(jì)算即可得解。(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AF于點(diǎn)H,設(shè)AH=a,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出DH的長(zhǎng)度,然后表示出點(diǎn)D的坐標(biāo),再把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式,解方程得到a的值,從而得解。4.(2012浙江義烏8分)如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上,點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn),點(diǎn)E(4,n)在邊AB上,反比例函數(shù)(k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E,且tan∠BOA=.(1)求邊AB的長(zhǎng);(2)求反比例函數(shù)的解析式和n的值;(3)若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F,將矩形折疊,使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合,折痕分別與x、y軸正半軸交于點(diǎn)H、G,求線段OG的長(zhǎng).【答案】解:(1)∵點(diǎn)E(4,n)在邊AB上,∴OA=4,在Rt△AOB中,∵tan∠BOA=,∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2。(2)由(1),可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,2),∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn),∴點(diǎn)D(2,1)?!唿c(diǎn)D在反比例函數(shù)(k≠0)的圖象上,∴,解得k=2?!喾幢壤瘮?shù)解析式為。又∵點(diǎn)E(4,n)在反比例函數(shù)圖象上,∴。(3)如圖,設(shè)點(diǎn)F(a,2),∵反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F,∴,解得a=1?!郈F=1。連接FG,設(shè)OG=t,則OG=FG=t,CG=2﹣t,在Rt△CGF中,GF2=CF2+CG2,即t2=(2﹣t)2+12,解得t=,∴OG=t=?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,銳角三角函數(shù)定義,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,折疊對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),勾股定理?!痉治觥浚?)由點(diǎn)E的縱坐標(biāo)得出OA=4,再根據(jù)tan∠BOA=即可求出AB的長(zhǎng)度;(2)根據(jù)(1)求出點(diǎn)B的坐標(biāo),再根據(jù)點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)求出點(diǎn)D的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式求出反比例函數(shù)解析式,再把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入進(jìn)行計(jì)算即可求出n的值。(3)利用反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)F的坐標(biāo),從而得到CF的長(zhǎng)度,連接FG,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得FG=OG,然后用OG表示出CG的長(zhǎng)度,再利用勾股定理列式計(jì)算即可求出OG的長(zhǎng)度。5.(2012四川攀枝花8分)據(jù)媒體報(bào)道,近期“手足口病”可能進(jìn)入發(fā)病高峰期,某校根據(jù)《學(xué)校衛(wèi)生工作條例》,為預(yù)防“手足口病”,對(duì)教室進(jìn)行“薰藥消毒”.已知藥物在燃燒機(jī)釋放過(guò)程中,室內(nèi)空氣中每立方米含藥量y(毫克)與燃燒時(shí)間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示(即圖中線段OA和雙曲線在A點(diǎn)及其右側(cè)的部分),根據(jù)圖象所示信息,解答下列問(wèn)題:(1)寫(xiě)出從藥物釋放開(kāi)始,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍;(2)據(jù)測(cè)定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于2毫克時(shí),對(duì)人體無(wú)毒害作用,那么從消毒開(kāi)始,至少在多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi),師生不能進(jìn)入教室?【答案】解:(1)設(shè)反比例函數(shù)解析式為,將(25,6)代入解析式得,k=25×6=150,∴函數(shù)解析式為(x>15)。將y=10代入解析式得,,解得x=15?!郃(15,10)。設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=nx,將A(15,10)代入上式,得?!嗾壤瘮?shù)解析式為y=x(0≤x≤15)。綜上所述,從藥物釋放開(kāi)始,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為。(2)由解得x=75(分鐘),∵消毒開(kāi)始的時(shí)間是在15分鐘時(shí),∴75-15=60(分鐘)。答:從消毒開(kāi)始,至少在60分鐘內(nèi),師生不能進(jìn)入教室?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)的應(yīng)用,待定系數(shù)法,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?!痉治觥浚?)首先根據(jù)題意,用待定系數(shù)法將數(shù)據(jù)(25,6)代入求得反比例函數(shù)的關(guān)系式,從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo);用待定系數(shù)法將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求得正比例函數(shù)的關(guān)系式。根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)確定自變量的取值范圍。(2)因?yàn)槭菑南鹃_(kāi)始,所以將y=2代入求出x的值,再用它減去消毒開(kāi)始的時(shí)間即可得到從消毒開(kāi)始,至少在60分鐘內(nèi),師生不能進(jìn)入教室的結(jié)論。6.(2012山東濟(jì)南9分)如圖,已知雙曲線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(6,1),點(diǎn)C是雙曲線第三象限上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)C作CA⊥x軸,過(guò)D作DB⊥y軸,垂足分別為A,B,連接AB,BC.(1)求k的值;(2)若△BCD的面積為12,求直線CD的解析式;(3)判斷AB與CD的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.【答案】解:(1)∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(6,1),∴,解得k=6。(2)設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為h,∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,1),DB⊥y軸,∴BD=6,∴S△BCD=×6?h=12,解得h=4?!唿c(diǎn)C是雙曲線第三象限上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1,∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1-4=-3?!?,解得x=-2?!帱c(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,-3)。設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,則,解得?!嘀本€CD的解析式為。(3)AB∥CD。理由如下:∵CA⊥x軸,DB⊥y軸,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,-3),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,1),∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(-2,0),B(0,1)。設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,則,解得?!嘀本€AB的解析式為?!逜B、CD的解析式k都等于相等?!郃B與CD的位置關(guān)系是AB∥CD?!究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,平行的判定?!痉治觥浚?)把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入雙曲線解析式,進(jìn)行計(jì)算即可得解。(2)先根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出BD的長(zhǎng)度,再根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)C到BD的距離,然后求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo),再代入反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答。(3)根據(jù)題意求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,可知與直線CD的解析式k值相等,所以AB、CD平行。7.(2012山東淄博9分)如圖,正方形AOCB的邊長(zhǎng)為4,反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)E(3,4).(1)求反比例函數(shù)的解析式;(2)反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點(diǎn)D,直線過(guò)點(diǎn)D,與線段AB相交于點(diǎn)F,求點(diǎn)F的坐標(biāo);(3)連接OF,OE,探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關(guān)系,并證明.【答案】解:(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式,∵反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)E(3,4),∴,即。

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