平面圖形的面積市公開課金獎市賽課一等獎課件

一、平面圖形面積二、由平行截面面積求體積第十章定積分應用（一）由平行截面面積求體積直接應用－－－求旋轉(zhuǎn)體體積面積公式（直角坐標，極坐標）第1頁第1頁一、平面圖形面積假如函數(shù)y=f(x)(f(x)0)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則由曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成曲邊梯形面積為復習：Oxyabyf(x)第2頁第2頁由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線x=a、x=b所圍成圖形面積S如何求？考慮下列問題：Oxy1、若圖形在x軸上方，abyf(x)y=g(x)y=g(x)注意圖形形成第3頁第3頁abyf(x)y=g(x)Oxy2、若圖形不在x軸上方，yf(x)+my=g(x)+mm將圖形平移到x軸上方由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線x=a、x=b所圍成圖形面積S如何求？考慮下列問題：1、若圖形在x軸上方，第4頁第4頁

結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線Sx=a、x=b所圍成圖形面積為注：

(1)當曲線f(x)=0或g(x)=0時，上述公式也成立。Oxyabyf(x)g(x)=0Oxyabyg(x)f(x)=0第5頁第5頁Oxyabyf(x)g(x)=0abyf(x)g(x)=0Oxyabyf(x)g(x)=0(2)當左右兩邊縮為一點時，上述公式也成立。(3)積分區(qū)間就是圖形在x軸上投影區(qū)間。

結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線Sx=a、x=b所圍成圖形面積為注：

(1)當曲線f(x)=0或g(x)=0時，上述公式也成立。第6頁第6頁(4)假如y=f(x)有分段點c，則需把圖形分割后計算。Oxyabyf(x)g(x)=0yf1(x)yf2(x)c結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線Sx=a、x=b所圍成圖形面積為注：

(1)當曲線f(x)=0或g(x)=0時，上述公式也成立。(2)當左右兩邊縮為一點時，上述公式也成立。(3)積分區(qū)間就是圖形在x軸上投影區(qū)間。第7頁第7頁討論：由左右兩條連續(xù)曲線x=y(y)、x=j(y)與上下兩條直線y=c、y=d所圍成圖形面積S如何求？Oxycdx=y(y)x=j(y)答案：

結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線Sx=a、x=b所圍成圖形面積為第8頁第8頁abxyOS1結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線Sx=a、x=b所圍成圖形面積為例1.求橢圓所圍成圖形面積。解：設橢圓在第一象限面積為S1，則橢圓面積為第9頁第9頁解：由對稱性，圖形面積是第一象限部分兩倍。S=2[]

例2

求曲線y=21x2、y211x+=與直線x3-=、

xO-11y第10頁第10頁解：由對稱性，圖形面積是第一象限部分兩倍。S=2[]=2[])233(31-+=p?2.11

例2

求曲線y=21x2、y211x+=與直線x3-=、

第11頁第11頁

例3計算拋物線y22x與直線xy4所圍成圖形面積。8y-22x2O444(8,4)(2,-2)解：求兩曲線交點得：(2，2)，(8，4)。將圖形向y軸投影得區(qū)間[2，4]。=18。思考：為何不向x軸投影？

S=18]61421[)214(4232242=-+=-+--òyyydyyy

第12頁第12頁普通地,當曲邊梯形曲邊由參數(shù)方程

給出時,按順時針方向要求起點和終點參數(shù)值則曲邊梯形面積第13頁第13頁極坐標情形求由曲線及圍成曲邊扇形面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則該小區(qū)間上曲邊扇形面積近似值為所求曲邊扇形面積為第14頁第14頁相應

從0變例5.計算阿基米德螺線解:到2所圍圖形面積.第15頁第15頁例6.計算心形線所圍圖形面積.解:(利用對稱性)第16頁第16頁二、由平行截面面積求體積設一立體在x軸上投影區(qū)間為[a,b]，過x點垂直于x軸截面面積S(x)是x連續(xù)函數(shù)，求此立體體積。(3)令l=max{Dxi}，則立體體積為(1)在[a,b]內(nèi)插入分點：

a=x0<x1<x2<<xn-1<xn=b，(2)過xi(i=1,2,,n-1)且垂直于x軸平面，把立體分割成n個小薄片，第i個小薄片體積近似值S(xi)Dxi。將n個小薄片體積近似值相加得立體體積近似值xOax1xi-1xixnbV=?=?ni10limlS()Dxi

=òbaS(x)dx。

第17頁第17頁垂直x軸截面是橢圓例7.

計算由曲面所圍立體(橢球體)解:它面積為因此橢球體體積為尤其當a=b=c時就是球體體積.體積.第18頁第18頁例8.

一平面通過半徑為R圓柱體底圓中心,并與底面交成角,解:如圖所表示取坐標系,則圓方程為垂直于x軸截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體體積.第19頁第19頁思考:可否選擇y作積分變量?此時截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提醒:第20頁第20頁Oxbay區(qū)間[a,b]上截面積為S(x)立體體積：右圖為由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、xb及x軸所圍成曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成立體。yf(x)關鍵是擬定截面面積第21頁第21頁當考慮連續(xù)曲線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成立體體積時,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束截面面積為于是有第22頁第22頁

例9連接坐標原點O及點P(h，r)直線、直線xh及x軸圍成一個直角三角形。將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為h圓錐體。計算這圓錐體體積。所求圓錐體體積為hrxyO曲線y=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成立體體積：區(qū)間[a,b]上截面積為S(x)立體體積：第23頁第23頁例10.

計算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成橢球體體積.解:辦法1

利用直角坐標方程則截面面積(利用對稱性)于是第24頁第24頁辦法2

利用橢圓參數(shù)方程則尤其當b=a時,就得半徑為a球體體積第25頁第25頁例11.

計算擺線一拱與y＝0所圍成圖形分別繞x軸,y軸旋轉(zhuǎn)而成立體體積.解:

繞x軸旋轉(zhuǎn)而成體積為利用對稱性第26頁第26頁繞

y軸旋轉(zhuǎn)而成體積為注意上下限!注意分段點！第27頁第27頁分部積分注(利用“偶倍奇零”