Mahcad數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)運(yùn)算

3.函數(shù)運(yùn)算(1)簡(jiǎn)單算術(shù)運(yùn)算Mathcad2001可以作為一個(gè)計(jì)算器使用，用戶只要在工作頁(yè)上輸入變量的值，如a:=100.6b:=58.4然后就可以用等號(hào)來(lái)進(jìn)行各種簡(jiǎn)單的算術(shù)運(yùn)算，如加：a+b=159減：a-b=42.2乘：a*b=5.875×103平方根：n次方根：

指數(shù)：(2)三角函數(shù)

和反三角函數(shù)Mathcad2001提供下列三角函數(shù)和反三角函數(shù)：sin(z)(正弦函數(shù))、cos(z)(余弦函數(shù))、tan(z)(正切函數(shù))、cot(z)(余切函數(shù))、sec(z)(正割函數(shù))、csc(z)(余割函數(shù))、asin(z)(反正弦函數(shù))、acos(z)(反余弦函數(shù))、atan(z)(反正切函數(shù))、acot(z)(反余切函數(shù))、asec(z)(反正割函數(shù))、acsc(z)(反余割函數(shù))。Mathcad2001缺省以弧度為單位進(jìn)行三角函數(shù)的計(jì)算，如：x:=3.34sin(x)=-0.197tan(x)=0.201Mathcad2001沒(méi)有提供弧度向角度轉(zhuǎn)換的函數(shù)，但可以通過(guò)輸入內(nèi)置的單位deg來(lái)進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換，如角度為200度，可用下法轉(zhuǎn)換成弧度：x:=200x:=x*degx=3.491所得到的反三角函數(shù)的結(jié)果缺省也為弧度。如：asin(0.2)=0.201要轉(zhuǎn)換成弧度，可單擊此式，并在右側(cè)占位符上輸入deg，然后單擊此區(qū)域外部，如：asin(0.2)=11.537degMathcad2001還提供兩個(gè)返回角度的函數(shù)：angle(x,y)：返回平面上從x正坐標(biāo)軸到點(diǎn)(x,y)的夾角，其值為0到2π。atan2(x,y)：返回平面上從x正坐標(biāo)軸到點(diǎn)(x,y)的夾角，其值為-π到π。與acot(z)函數(shù)相比，atan2(x,y)的輸入

只能是實(shí)數(shù)，而acot(z)的輸入可為復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)，其結(jié)果為0到π。如：angle(10,5)=0.464atan2(-10,-5)=-2.678其單位也為弧度，可以使用上述方法進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換。

(3)對(duì)數(shù)和指數(shù)函數(shù)Mathcad2001提供三個(gè)對(duì)數(shù)和指數(shù)函數(shù)，它們是：Exp(z)：返回e的z次冪。Ln(z)：返回z的自然對(duì)數(shù)(z≠0)。Log(z,b)：返回z的以b為基的對(duì)數(shù)(z≠0，b≠0)，如果輸入的參數(shù)中省略基b，則返回以10為基的對(duì)數(shù)。例如：x:=5.67b:=2自然對(duì)數(shù)：ln(x)=1.735以10為底對(duì)數(shù)：log(x)=0.754以2為基的對(duì)數(shù)：log(x,b)=2.503指數(shù)：exp(x)＝290.035(4)復(fù)數(shù)Mathcad2001提供下列復(fù)數(shù)函數(shù)：Arg(z)：返回復(fù)平面從實(shí)軸到z的夾角，結(jié)果為從-π到π。csgn(z)：返回復(fù)數(shù)的符號(hào)，當(dāng)z=0時(shí)返回0；當(dāng)Re(z)>0或Re(z)=0且Im(z)>0時(shí)返回1；其它值返回-1。Im(z)：返回z的虛部。Re(z)：返回z的實(shí)部。sigmum(z)：返回單位向量，當(dāng)z=0時(shí)返回1，否則返回z/|z|。例如：z:=1-iarg(z)=-0.785csgn(z)=1Im(z)=-1Re(z)=1signum(z)=0.707-0.707i|z|=1.414(5)近似函數(shù)Mathcad2001提供下列近似函數(shù)：ceil(x)：返回大于或等于x的最小整數(shù)，其中x必須是實(shí)數(shù)。floor(x)：返回小于或等于x的最大整數(shù)，其中x必須是實(shí)數(shù)。round(x,n)：對(duì)實(shí)數(shù)x在第n位小數(shù)上進(jìn)行四舍五入。例如：x:=356.123456789ceil(x)=357floor(x)=356round(x,3)=356.123round(x,4)=356.1235(6)解方程和方程組Math償cad2穿001提鍵供下列求板解和優(yōu)化捐方程的內(nèi)丟置函數(shù)：find飯(x,y驕,...護(hù))：求解喪方程或方腿程組的未雞知解。min屑err譯(x,查y,.另..)辟：求解民方程或芳方程組甩的近似摘未知解澡。roo藝t(f月(x)并,x,獅a,b友)：求哨解方程位的根。iso彎lve悠(M,連v)：普求方程發(fā)的解。poly淋root械s(v)煙：求多項(xiàng)策式的根。mini雁mize插(f,v嗎ar1,符var2斧,...蜂)：求滿憂足條件的途優(yōu)化最小以值。max載imi銀ze(模f,v進(jìn)ar1肥,va怕r2,饅...劈燕)：求丙滿足條捎件的優(yōu)衣化最大帖值。(a)用都root偶函數(shù)

求截解一般方光程的根對(duì)各種類房誠(chéng)型的方程煙，要給出救一個(gè)通用滾的求根解清析表達(dá)式私是不可能玻的?！皉僅oot”場(chǎng)函數(shù)是M濤athc犧ad20從01中一鑼個(gè)用Ma川thca膛d編程語(yǔ)弟言寫(xiě)成的圖內(nèi)置函數(shù)盯，其算法唐就是數(shù)值飲求根的割枝線法。割調(diào)線法就是暈從一個(gè)初毒始點(diǎn)開(kāi)始泳(這個(gè)初良始點(diǎn)就是鳴我們給出超的根的估憲計(jì)值)，謠與在方程淋函數(shù)曲線即上鄰近的傘一個(gè)點(diǎn)作榆曲線的割瓶線，找到題割線與橫收坐標(biāo)軸的令交點(diǎn)。從普交點(diǎn)出發(fā)砌再作曲線胃的割線，饑不斷用割修線與橫坐離標(biāo)軸的交舊點(diǎn)去逼近不曲線與橫腫坐標(biāo)軸的熊交點(diǎn)(即突方程的解分)。用r鑒oot求慘根函數(shù)幾槐乎可以求赴解所有類躲型的一元婆方程，其氏缺點(diǎn)是必傭須先給出種一個(gè)根的帶估計(jì)值。roo燥t函數(shù)衰是專用霉的求根嚴(yán)函數(shù)，烈其調(diào)用村格式可恢有兩種渣形式：械①ro洲ot(例exp煙r,v婆ar)四；②r拐:=頂roo焦t(e日xpr牲,va滋r)。另式中有垂兩個(gè)參逐數(shù)：“靜exp堡r”是傻求解方大程的函拌數(shù)名或臺(tái)表達(dá)式姐；“v鋤ar”膊是根的驢估計(jì)值北(gu澇ess馬va健lue藍(lán))，即純直觀上跟對(duì)方程與根的一益?zhèn)€估計(jì)液。大多數(shù)函輩數(shù)方程都魄可能存螞在著多根粘，此時(shí)根秋的估計(jì)是籮一個(gè)較為相困難的問(wèn)艙題。下面弦我們以一挑個(gè)解方程攔根的例子狗來(lái)說(shuō)明如頑何估算方鳴程的根。例1：求乳下式為0嘩時(shí)的根f(x孔):=胞ln(原x2+1)肝-si罷n(x拖)-4首先應(yīng)該相估計(jì)一下?tīng)C此方程根命的范圍。身由于si秩n(x)歌取值在0厚和1之間轎，因此l勤n(x2+1)炒的最大梁值為5熟，這樣公可算得稼根x的譯范圍大告約在-繡12～滋12，溉即根可躍能是這韻范圍內(nèi)銷的一個(gè)勺任意數(shù)歪。根的針估算有卡兩種方搏法，第靜一種是拔使用隨陷機(jī)函數(shù)概rnd國(guó)，即根丸可能是陳下列函唯數(shù)中的鍛一個(gè)或已數(shù)個(gè)：r:=r尸nd(2杰4)-1巖2r=-1卸1.97root沫(f(r顫),r)點(diǎn)=-11億.475單擊上面脹的“r:蝴=rnd瘦(24)畝-12”挎語(yǔ)句，重說(shuō)復(fù)按F9騎鍵，可以尸在roo羽t(f(越r),r鉤)=中觀區(qū)察到所給英出根的變舒化，把這伯些數(shù)值代伙入方程即餓可求出所拜合適的根雨，如-1扇1.47姿5、-6更.514土、4.4鎮(zhèn)49等。第二種器方法是際畫(huà)出此沾函數(shù)的老X-Y匠坐標(biāo)圖沸(如圖敞27所垂示)。圖27從圖中可渠以看出，成此方程有壘六個(gè)根，幸數(shù)值大約捏為-11檔.5、-姑10.1吵、-6.乏5、4.倡5、5.天8、9.針1，再把炭它們依次團(tuán)代入ro蛛ot函數(shù)盒中，即可蝕求出此方靜程根的近紹似值，如劃：x:=-限11.5root宇(f(x兇),x)互=-11撇.475x:=婦-10諸.1roo呢t(f疑(x)籌,x)蜻=-1謀0.1覺(jué)17………倆………稈………最后可乳得六個(gè)裝根分別隊(duì)是-1曬1.4康75、丸-10拍.11班7、-惜6.5賽14、彩4.4恐49、汁5.8滔17、鞏9.0向05。由于求慮根函數(shù)液roo姐t的算舉法是數(shù)抵值法，繞得到的依根是近吉似值。古系統(tǒng)缺路省數(shù)據(jù)陳的顯示允精度為亞15位販，如果瘡用戶對(duì)徹這精度城不滿意逝，可在部求解之滲前重新標(biāo)定義誤醋差控制也常數(shù)T應(yīng)OL。大部分方嗎程的根是絮實(shí)數(shù)，但鉤是也有少嬌部分方程囑可能得到渡復(fù)數(shù)根，昂如例2。例2：曾求下式第為0時(shí)脅的根f(x)艷:=2x2-5x悶+4這時(shí)用臣作圖法宵無(wú)法看而出根的豪近似值蜓，應(yīng)考報(bào)慮是否辯為復(fù)數(shù)菜解。使罵用隨機(jī)罵函數(shù)：r:=r啟nd(1萌00)-挖50r=-4清0.85候9roo挎t(f貿(mào)(r)王,r)副=1拐.25詠-0.湯661雁i單擊上面立的“r:憤=rnd鐘(100揪)-50閱”語(yǔ)句，羅重復(fù)按F榴9鍵，可秒以在ro黑ot(f私(r),折r)=中鍵觀察到所紡給出根的余變化，即爭(zhēng)只有兩個(gè)耍復(fù)數(shù)根：霸1.25燭-0.6汪61i和煌1.25瓜+0.6刑61i。也可使用另估值：x:=1倉(cāng)+iroo暢t(f兆(x)澡,x)出=1啊.25泳+0.宇661陣ix:=-折1-5iroot姓(f(x粉),x)阿=1.普25-0耽.661紗i也是只有隊(duì)兩個(gè)復(fù)數(shù)犁根：1.股25-0勵(lì).661付i和1.警25+0模.661找i。(b)切用函數(shù)荒pol哭yro等ots泳求多撲項(xiàng)式方歐程的根方程表愿達(dá)式為圾多項(xiàng)式類的方程祖叫做多年項(xiàng)式方端程。雖柄然也可增用ro泉ot求拆根函數(shù)頭求解多認(rèn)項(xiàng)式方宮程的根武，但十盲分麻煩招。為此培，Ma府thc忌ad2例001款專門(mén)設(shè)唯計(jì)了函濱數(shù)po懂lyr透oot允s，它?？梢苑金W便地求止出一個(gè)椅多項(xiàng)式漲所有的揀根。它蔬并不需灣要根的掩估計(jì)值萌。多項(xiàng)式秘的一般棵形式為悶：c0+c1x+c2x2+……+落cnxn其中系川數(shù)可以梨是實(shí)數(shù)悅或復(fù)數(shù)帖。在M濁ath忌cad意200桐1中，要把多項(xiàng)店式的系漲數(shù)記為址向量形湯式，即側(cè)：它被稱釋為多項(xiàng)假式的系輪數(shù)向量轟，系數(shù)遼向量的戶個(gè)數(shù)就撥是多項(xiàng)攔式的階妥數(shù)。M譽(yù)ath唱cad參200培1規(guī)定道最高階幻玉數(shù)的系聽(tīng)數(shù)cn不能為設(shè)零，而抗低階系傻數(shù)可以哭為零，死但要占軟據(jù)相應(yīng)的位舞置。即系場(chǎng)數(shù)向量分責(zé)量的個(gè)數(shù)語(yǔ)不能少，牽次序不能橫亂，在所陸缺少項(xiàng)的效相應(yīng)位置怕一定要輸繪入0，不竄可跳過(guò)。多項(xiàng)式法的階等勿于函數(shù)咐中自變壇量的最塊高次冪煙，n次竹多項(xiàng)式薪共有n烏個(gè)根，煮實(shí)系數(shù)賄多項(xiàng)式穩(wěn)的復(fù)根勉是共軛集出現(xiàn)的接。對(duì)于葛高次多屆項(xiàng)式求洪根，常爆用的解汗析解法地是配方領(lǐng)法，即從把高次附多項(xiàng)式盆化為一鉤些一次芳或二次怖多項(xiàng)式掀的乘積像，這有齡時(shí)需要穴很高的鳴技巧。解多項(xiàng)之式的數(shù)呢值解法墨與解一遵般函數(shù)掩方程的吹數(shù)值解薯法相同班。求根函數(shù)轉(zhuǎn)poly閑root束s是一個(gè)挽單自變量滲函數(shù)，使隙用格式為穗：poly洋root腎s(v)pol盜yro糟ots添的自變河量，即博參數(shù)是攝一個(gè)向霜量，它陵就是多禍項(xiàng)式函吃數(shù)的系孩數(shù)向量卸。其返篇回值也許是一個(gè)廉向量，騙即多項(xiàng)斗式的根住向量。例：求任下列多肆項(xiàng)式的唯根：f(x攪):=反x3-10華x+2系數(shù)向恭量是：調(diào)用求吵根函數(shù)泉：r:某=po儀lyr譜oot渣s(c圈)求得根向劉量為：或根向償量的轉(zhuǎn)襯置矩陣起：用pol駝yroo面ts函數(shù)胸求解高次凝多項(xiàng)式時(shí)懶，有時(shí)會(huì)形產(chǎn)生較大恒的誤差，搬這不能用肚改變求解憲精度TO孤L來(lái)解決電。先用p零olyr炮oots望函數(shù)求得濃多項(xiàng)式的崗根，將這典些根依次賭代入多項(xiàng)鞭式進(jìn)行檢輛驗(yàn)。將誤莊差較大的相根作為根可的估計(jì)值暫，再用r慘oot求鞋根函數(shù)求擊解多項(xiàng)式喘的根，可工提高所得撥根的精度桿。(c)法求解模智塊及貞求解方照程組求解模盆塊(S撲olv繳eB剩loc尖k)不躍是一個(gè)勝函數(shù)，瓦而是一榆個(gè)獨(dú)特貴的結(jié)構(gòu)帝，或可銜看作M陪ath描cad飽200裕1中的誤一個(gè)特歸殊的程慣序。利設(shè)用它可所以求解脂方程組伐，即使蛛要求解身的方程壯組沒(méi)有現(xiàn)根，也怒會(huì)給出字一組根悼，并滿挪足誤差男最小的逗條件。求解模塊洲的結(jié)構(gòu)是對(duì)先給出一麗組根的估端計(jì)值；然叉后使用關(guān)超鍵詞Gi憤ven(草大、小寫(xiě)霉或大小寫(xiě)焰混合使用葡均可)；凱接著是方驅(qū)程組；最衫后使用關(guān)寒鍵詞Fi漆nd。例：根的估焰計(jì)值：叫x:=庭1譜y:=路1關(guān)鍵詞：旦Give谷n方程組飽：x+增y=6浮(圓)x+y隸=2(抱直線)抱(方程董組中等盯號(hào)要用稠“Ct仍rl＋棗＝”輸后入)關(guān)鍵詞：止Find熔(x,y堪)=求出一拜個(gè)根再次使用毫根估計(jì)值竭x:=-侮1y亂:=1重個(gè)復(fù)上述步炊驟可得另放一個(gè)根：(d)不慎等式方程葉求解使用求女解模塊殃還可以拳求解不利等式方點(diǎn)程或不爐等式方陷程組。例：求血解不等雁式(x蛛-1)爪(3x艇-5)呈(x-再4)0解：不等憑式的解是離一個(gè)或幾斷個(gè)區(qū)域，蔽先畫(huà)出f議(x):聲=(x-伯1)(3蝦x-5)受(x-4賞)的X-鵝Y坐標(biāo)圖咱(如圖2殘8所示)被。從圖中幸可以看開(kāi)出此不千等式的罰解是兩跟個(gè)區(qū)域直，一個(gè)棵在1到網(wǎng)1.7查之間，核另一個(gè)底是大于斗等于4村。下面降再使用供求解模康塊來(lái)精奪確求解腔。圖2柔8根的估踩計(jì)值：索x:=游0關(guān)鍵詞盯： G于ive暴n不等式紡：(x輸-1)趕(3x亂-5)殼(x-歪4)0心(注：祥用Ct吩rl+糧0輸入逃大于等炕于符“舊”或使吧用工具威面板中擊的相應(yīng)旅布爾運(yùn)禾算符)關(guān)鍵詞：耀Find前(x)=繩1.6再次使用毀根估計(jì)值駁x:=1啦、x:=占2、x:扛=3時(shí)重扣復(fù)上述步令驟均得到面根1～1河.6，而束使用根估名計(jì)值x:徐=4時(shí)得刑到根為4赤?？梢?jiàn)此仙不等式的半兩個(gè)區(qū)域返分別是1降≤x≤1委.6和4俘≤x≤。(e)桿用ls龍olv軌e函數(shù)會(huì)求解何線性方仇程函數(shù)ls貴olve席（M,v容）返回線就性方程組桌Mx=v綠的解向量藥，其中參盤(pán)數(shù)M是一督個(gè)方陣，裕非奇異矩奔陣。我們屢把行列式現(xiàn)值為0的風(fēng)矩陣稱為駛奇異矩陣姜，而把行污是線性獨(dú)才立的矩陣孔稱為非奇你異矩陣；捷v是維數(shù)婆和M矩陣聽(tīng)行數(shù)相等閱的向量。例：有如飛下線性方刻程組其系數(shù)離矩陣為走；其常數(shù)健項(xiàng)向量頑為：(f)用炮mine跌rr函數(shù)柿求

方程貍組的近似嫁解在使用撓fin仆d函數(shù)蹤蝶不能得倉(cāng)到解時(shí)鍋，可以嬌使用m珠ine濁rr函淺數(shù)來(lái)得嗓到近似答解，其逼使用方踏法與f屑ind庭函數(shù)相曲似。例：x:=1靠y:蠅=1Giv扣en(x+催1)2+(y仰+1)2=0.5x+y=2mine盒rr(x姿,y)=(7)解虧微分方程微分方程炮一般分常蕉微分方程享和偏微分助方程兩種鍋，前者所繁有的微分笛均對(duì)同一欣個(gè)變量進(jìn)每行，而后予者則包含魚(yú)對(duì)不同變勢(shì)量的微分晚。一般說(shuō)繁來(lái)，求解騙微分方程楊是相當(dāng)復(fù)擇雜的，但撕在物理學(xué)游中，常常墻對(duì)微分方叮程附加一險(xiǎn)些邊界條很件，使它軟成為一個(gè)亞定解問(wèn)題吸。Math晝cad2服001共葛提供兩個(gè)敲求解常微扛分方程的撈內(nèi)置函數(shù)針：ode泊sol掘ve(涉x,b濾,[s談tep村])：籌返回單立一變量鼻x的常批微分方蒸程的解折析函數(shù)惑。rkf曠