2022-2023學(xué)年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精講及練習(xí)《識(shí)圖》

PAGE初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精講及練習(xí)（27）識(shí)圖一、內(nèi)容提要1.幾何學(xué)是研究物體形狀、大小、位置的學(xué)科。2.幾何圖形就是點(diǎn)，線，面，體的集合。點(diǎn)是組成幾何圖形的基本元素?！镀矫鎺缀螌W(xué)》只研究在同一平面內(nèi)的圖形的形狀、大小和相互位置。3.幾何里的點(diǎn)、線、面、體實(shí)際上是不能脫離物體而單獨(dú)存在的。因此單獨(dú)研究點(diǎn)、線、面、體，要靠正確的想像點(diǎn)：只表示位置，沒(méi)有大小，不可再分。線：只有長(zhǎng)短，沒(méi)有粗細(xì)。線是由無(wú)數(shù)多點(diǎn)組成的，即“點(diǎn)動(dòng)成線”。面：只有長(zhǎng)、寬，沒(méi)有厚薄。面是由無(wú)數(shù)多線組成的，“線動(dòng)成面”。4.因?yàn)槿魏螐?fù)雜的圖形，都是由若干基本圖形組合而成的，所以識(shí)別圖形的組合關(guān)系是學(xué)好幾何的重要基礎(chǔ)。識(shí)別圖形包括靜止?fàn)顟B(tài)的數(shù)一數(shù)，量一量，比一比，算一算；運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中的位置、數(shù)量的變化，圖形的旋轉(zhuǎn)，摺疊，割補(bǔ)，并合，比較等。還要注意一般圖形和特殊圖形的差別。二、例題例1.數(shù)一數(shù)甲圖中有幾個(gè)角（小于平角）？乙圖中有幾個(gè)等腰三角形？丙圖中有幾全等三角形？丁圖中有幾對(duì)等邊三角形？解：甲圖中有10個(gè)角：∠AOB,∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD,∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直線，則少一個(gè)∠AOC，余類(lèi)推。乙圖中有5個(gè)等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC丙圖中有全等三角形4對(duì)：(設(shè)AC和DB相交于O)△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。丁圖中共有等邊三角形48個(gè)：邊長(zhǎng)1個(gè)單位：頂點(diǎn)在上▲的個(gè)數(shù)有1＋2＋3＋4＋5＝15頂點(diǎn)在下▼的個(gè)數(shù)有1＋2＋3＋4＝10邊長(zhǎng)2個(gè)單位：頂點(diǎn)在上▲的個(gè)數(shù)有1＋2＋3＋4＝10頂點(diǎn)在下▼的個(gè)數(shù)有1＋2＝3邊長(zhǎng)3個(gè)單位：頂點(diǎn)在上▲的個(gè)數(shù)有1＋2＋3＝6邊長(zhǎng)4個(gè)單位：頂點(diǎn)在上▲的個(gè)數(shù)有1＋2＝3邊長(zhǎng)5個(gè)單位：頂點(diǎn)在上▲的個(gè)數(shù)有1以上要注意數(shù)一數(shù)的規(guī)律例2.設(shè)平面內(nèi)有6個(gè)點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一直線上，如果每?jī)牲c(diǎn)都連成一條線，那么共有線段幾條？如果要使圖形不出現(xiàn)有4個(gè)點(diǎn)的兩兩連線，那么最多可連成幾條線段？試畫(huà)出圖形。解：從點(diǎn)A1與其他5點(diǎn)連線有5條，從點(diǎn)A2與其他4點(diǎn)（A1除外）連線有4條，從A3與其他3點(diǎn)連線有3條（A1，A2除外）……以此類(lèi)推，6個(gè)點(diǎn)兩兩連線共有線段1＋2＋3＋4＋5＝15（條），或用每點(diǎn)都與其他5點(diǎn)連線共5×6再除以2（因重復(fù)計(jì)算）。要使圖形不出現(xiàn)有4個(gè)點(diǎn)的兩兩連線，那么每點(diǎn)只能與其他4個(gè)點(diǎn)連線，共有（6×4）÷2＝12（條）如下圖：其中有3對(duì)點(diǎn)不連線：A1A4，A2A5，A3A6AA6A3A1A2例3.如圖水平線與鉛垂線相交于O，某甲沿水平線，某乙鉛垂線同時(shí)勻速前進(jìn)，當(dāng)甲在O點(diǎn)時(shí)，乙離點(diǎn)O為500米，2分鐘后，甲、乙離點(diǎn)O相等；又過(guò)8分鐘，甲、乙再次離點(diǎn)O相等。求甲和乙的速度比。解：如圖設(shè)甲0，乙0為開(kāi)始位置，甲1，乙1為前進(jìn)2分鐘后位置，甲2，乙2乙2為再前進(jìn)8分鐘的位置。再設(shè)甲，乙的速度分別為每分鐘x,y米，根據(jù)題意得甲O甲1甲2解得12x=8y乙1∴x∶y=2∶3乙0答甲和乙的速度比是2比3。例4.在三角形內(nèi)（不在邊上）有3個(gè)點(diǎn)，連同原三角形三個(gè)頂點(diǎn)，共6個(gè)點(diǎn)，以這6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，作出所有不重迭的三角形共有幾個(gè)？解：如圖△ABC中一個(gè)點(diǎn)D，與A，B，C各點(diǎn)連結(jié)可得3個(gè)不重迭的三角形；再增加1個(gè)點(diǎn)E，這時(shí)可連結(jié)不重迭的三角形共5個(gè)，再增加1個(gè)點(diǎn)F，又可增加2個(gè)不重迭的三角形，共有7個(gè)。一般規(guī)律是每增加1個(gè)點(diǎn)，可增加不重迭的三角形2個(gè)AAAFDEEBCDDBCBC三、練習(xí)27數(shù)一數(shù)：甲圖中有直角三角形＿＿個(gè)，乙圖中有等腰直角三角＿＿個(gè)，丙圖中有全等三角形＿＿對(duì)。ADDCAEDCEBAB甲乙B丙C平面上有5個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，E，其中A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，那么以這5個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有＿＿＿條，記作_____＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿以O(shè)為端點(diǎn)畫(huà)6條射線OA，OB，OC，OD，OE,OF,那么可組成的角（小于平角）最多是＿＿個(gè)，最少是＿＿＿個(gè)，試分別畫(huà)出草圖。在三角形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)（n為整數(shù)）與原三角形3個(gè)頂點(diǎn)共n＋3個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可連成不重迭的三角形最多有＿＿＿＿個(gè)。5.下圖中三角形＿＿＿個(gè)其中等腰三角形＿＿個(gè)，直角三角形＿＿＿個(gè)，全等的等腰三角形＿＿組，每組＿＿個(gè)，全等的直角三角形＿＿＿組，每組＿＿個(gè)。如圖長(zhǎng)方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在邊BC，CD，DA上，以A為一個(gè)頂點(diǎn)，其他兩點(diǎn)在B，C，D，E，F(xiàn)，G中任選，總共可組成的三角形的個(gè)數(shù)是＿＿7.平面上有6個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)其中任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一直線上，如果不使圖形出現(xiàn)有3個(gè)點(diǎn)兩兩連線，那么最多可連接線段幾條？試畫(huà)出草圖.8.如圖OC⊥AB于O，OD⊥OE于O，寫(xiě)出圖中相等的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿互余的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿互補(bǔ)的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿9.DGC如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AE＝BF＝1，CG＝DH＝2HF那么四邊形EFGH的面積是＿＿（平方單位）AEB10.如圖A，B，C，D四點(diǎn)在同一直線上，到A，B，C，D各點(diǎn)距離之和為最小值的點(diǎn)在什么位置？有幾個(gè)符合條件的點(diǎn)？距離之和的最小值可用哪些線段的長(zhǎng)度來(lái)表示？ABCD11.正方形的邊長(zhǎng)為a，以四條邊長(zhǎng)為直徑，向形內(nèi)作4個(gè)半圓，求這四個(gè)半圓相交所成的菊花形面積。12.下列四圖，都是由全等正方形組成的圖形，其中哪一個(gè)能?chē)烧襟w？答：（）（A）(B)(C)(D)13.甲，乙兩人沿著圓周同時(shí)勻速前進(jìn)，開(kāi)始他們位于一條直徑的兩端，相向而行，第一次相遇時(shí)，乙走了100米，第二次相遇時(shí)，甲還差60米走完一圈。求這個(gè)圓的周長(zhǎng)。提示：可設(shè)圓周長(zhǎng)為x米，并引入?yún)?shù)V甲，V乙列方程組解之14.正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，在點(diǎn)A處有個(gè)質(zhì)點(diǎn)P，在點(diǎn)B處有個(gè)質(zhì)點(diǎn)Q，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)依反時(shí)針?lè)较?，沿正方形的邊線作勻速的運(yùn)動(dòng)，過(guò)4秒鐘，P在C處追上Q。那么BPA再過(guò)＿＿秒鐘，P在＿處第二次追上QP出發(fā)6秒鐘時(shí)，P，Q這間相距＿＿aQCD15.有長(zhǎng)3cm，寬2cm的長(zhǎng)方形紙片2022張，將它們按照下圖所示的方法，擺在平面上，那么這2022張紙片覆蓋的面積是（）3982（B）3986（C）3990（D）399916.一條線段（與圓相交）可把一個(gè)圓分成兩部分，問(wèn)四條線段最多可把圓分成＿＿＿＿部分。17.把一個(gè)矩形分成6個(gè)正方形（如圖），其中最小的一個(gè)面積是1（單位平方）那么這個(gè)矩形的面積是＿＿＿（單位平方）11練習(xí)27參考答案：1.5，8，42.103.15,124.1+2n5.16,8,8.4,2.2,46.147.99.1110.有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)，在線段BC上（包括端點(diǎn)），和是AD＋BC11.（a212.(A)13.48014.①16，C②0.5a 15.(B)16.1117.4例題：1．某一出租車(chē)一天下午以鼓樓為出發(fā)地在東西方向營(yíng)運(yùn)，向東為正，向西為負(fù)，行車(chē)?yán)锍蹋▎挝唬簁m）依先后次序記錄如下：+9、3、5、+4、8、+6、3、6、4、+10。（1）將最后一名乘客送到目的地，出租車(chē)離鼓樓出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？在鼓樓的什