圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)匯總

圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)圓錐曲線第一定義中的限制條件、圓錐曲線第二定義的統(tǒng)一性，都是考試的重點(diǎn)內(nèi)容，要能夠熟練運(yùn)用；常用的解題技巧要熟記于心.例1?已知P是橢圓x2+y=1上的點(diǎn)，f,F是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且ZFPF=60。，求AFPF的面積.4121212解答過(guò)程：依題意得：PF+PF=2a=4，在AFPF中由余弦定理得1212(2-3)2=PF2+PF2—2PF-PFcos60。1212=(PF+PF)2—2PF-PF—2PF-PFcos60。，121212解之得：PF-PF12，則解之得：PF-PF12，則AFPF的面積為丄122PF-PFsin60。123小結(jié)：(1)圓錐曲線定義的應(yīng)用在求解圓錐曲線問(wèn)題中的作用舉足輕重；(2)求解圓錐曲線上的點(diǎn)與其焦點(diǎn)圍成的三角形問(wèn)題中，正、余弦定理非常重要.考點(diǎn)3.曲線的離心率曲線的離心率是高考題中的熱點(diǎn)題型之一,其解法為充分利用:⑴橢圓的離心率e二c€(0,1)(e越大則橢圓越扁)；a(2)雙曲線的離心率e=c€(1,+8)(e越大則雙曲線開(kāi)口越大).a考點(diǎn)利用向量求曲線方程利用向量給出題設(shè)條件，可以將復(fù)雜的題設(shè)簡(jiǎn)單化，便于理解和計(jì)算.典型例題：練習(xí).已知兩點(diǎn)M(-1,0),N(1,0)且點(diǎn)P使MP.MN,PM-PN,NM-NP成公差小于零的等差數(shù)列，(I)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？(II)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(兀。，丁°)，&為PM與pn的夾角，求tan0?解：(I)記P(x,y)，由M(-1,0)N(1,0)得PM=—MP=(—1—x,—y),PN=—NP=(—1—x,—y)，MN=—NM=(2,0)

所以MP所以MP-MN=2(1+x)?PM-PN=x2+y2—1NM-NP=2(1—x)?于是，MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差數(shù)列等價(jià)于x2+y2—1二丄[2(1+x)+2(1—x)]2、2(1—x)—2(1+x)<0所以，點(diǎn)P所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，*3為半徑的右半圓.(II)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)。00PM?PN=x2+y2PM?PN=x2+y2-1=2?pmPN所以cos9=PM?PN|pm|-|pn=\(1+x)o2+y02“—x0)2+y所以宀=J(4+2x)-(4—2x)=20 0 0兀<c宀1，0如尹居亠z=i]— 1 qsi9I1—4-xfta9=co9J=I=匚=|yI.1001?(2006年山東卷)雙曲線C與橢圓邑+21=1有相同的焦點(diǎn)，直線尸「3x為C的一條漸近線.8 4(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(0,4)的直線l，交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)(Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合)?當(dāng)pq=九qa=九qb,12且九+九=—8時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo).1 2 3考查意圖:本題考查利用直線、橢圓、雙曲線和平面向量等知識(shí)綜合解題的能力,以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,方程和轉(zhuǎn)化的思想解決問(wèn)題的能力.解答過(guò)程:(I)設(shè)雙曲線方程為竺—22=1，a2 b2由橢圓竺+竺=1，求得兩焦點(diǎn)為(—2,0),(2,0)，

?°?—=<3解得a2=102=3，a?雙曲線C的方程為x2-止=13(2)由題意知直線l的斜率k存在且不等于零設(shè)1的方程：y=kx+4,A(x,y),B(x,y)，則q(-—0)-1122kPQ=九QA=九QB，(-—,-4)=尢(x+4,y)=尢(x+4,y)?TOC\o"1-5"\h\z1 2 k 11k1 2 2k2???—4=九y=九y， .?.九=-—，九=-—，* 14* 22 * 1y 2y12又九+九=-8，?丄+—=2,即3(y+y)=2yy?1 2 3 yy3 1 2 1212將y=kx+4代入x2—竺=1得(3-k2)y2-24y+48-3k2=0.33-k2豐0，否則l與漸近線平行.?y1+y2?y1+y2243-k2，y1y248-3k23-k2243-k248二3k23-k2?Q(±2,0)?2??已知，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)其右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)C,使0A+OB=OC，求橢圓的離心率；(2)若|ABI=15，求這個(gè)橢圓的方程.解：(1)設(shè)橢圓方程為竺+y2=],(a>b>0)，焦距為2c,—? a2b2'則直線AB的方程為y=X-c,設(shè)A(x,y),B(x,y)，1122, X2 y, X2 y2由+=1得：(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0，則x+x2a則x+x2a2ca2+b2y+y=x+x-2c=-——1 2 1 2 a2+b2因OA+OB=OC，則c(2a2c,-2b2c),a2+b2'a2+b2又點(diǎn)C在橢圓上，貝I」4a2c2+4b2C2=],‘ ‘ ‘ (a2+b2)2(a2+b2)2整理得：4c2=a2+b2=a2+(a2—c2)，即2a2=5c2,所以e所以e=Ca<105(2)IABI=IAFI+IBFI=(a—ex)+(a—ex)=2a—e(x+x)=2a—c.2a2C=3a=15,1 2 1 2 aa2+b2 2則a=10,c=^10,b2=60,橢圓方程為竺+匹=1.10060小結(jié):(1)利用向量，可將較復(fù)雜的A、B、C三點(diǎn)之間的關(guān)系用較簡(jiǎn)單的形式給出來(lái);焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度的計(jì)算，一般都分割成兩段，用定義或焦半徑來(lái)求解；計(jì)算復(fù)雜是解析幾何的通性，要細(xì)心.3?設(shè)橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為五，過(guò)點(diǎn)c(—1,0)的直線交橢圓E于3A、B兩點(diǎn)，且ca=2BC，求當(dāng)AAOB的面積達(dá)到最大值時(shí)直線和橢圓E的方程.解：因?yàn)闄E圓的離心率為蟲(chóng)，故可設(shè)橢圓方程為2X2+3y2=t(t>0)，直線方程為my=x+P—— 3由『2x2+3y2=t得:<由『2x2+3y2=t得:<my=x+1則」y+y=1 22m2+3(2m2+3)y2—4my+2—t=0，設(shè)A(x1，y1),B(x2,y2)，又CA=2BC，故(x+1y)=2(—-x,—)2211即y=—2y12yCoB■>xA由①②得：y=8m，12m2+3則S=-|y-y|=6| — |— 6 AAOB212 2m2+3 32|—|+|m|當(dāng)—2=