中考數(shù)學(xué)幾何模型-半角模型

數(shù)學(xué)模型---半角模型

幾何是初中數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，若能抓住基本圖形，舉

一反三，定能引領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略到“一圖一世界”的風(fēng)采。下面先給大家介紹一種常見的

數(shù)學(xué)模型一半角模型，通過對(duì)模型的理解和掌握，把模型的結(jié)論融會(huì)貫通，理解透

徹，有助于理清思路、節(jié)省大量時(shí)間，遇到這一類題型，都是可以迎刃而解的。

一、模型類別

二、相關(guān)結(jié)論的運(yùn)用

(-)等邊三角形中120°含60°半角模型

DC

條件：AABC是等邊三角形，ZCDB=120°,ZEDF=60°,BD=CD,旋轉(zhuǎn)△BDE

至4CDG

結(jié)論1:AFDE2FDG

結(jié)論2：EF=BE+CF

［結(jié)論3:/DEB=/DEFy

典例精講:

已知四邊形ABCD中，AB1AD,BC±CD,AB=BC,ZABC=120°,ZMBN=

60°,NMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD,DC（或它們的延長線）于E、F.

（1）當(dāng)NMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1）,試猜想AE,CF,EF之間存

在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)將三條線段分別填入后面橫線中：—+—=—.（不

需證明）

（2）當(dāng)ZMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AErCF（如圖2）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？

請(qǐng)說明理由.

（3）當(dāng)NMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE#CF（如圖3）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？

若不成立，線段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證

明.

【思路點(diǎn)撥】

（1）證明△ABE會(huì)4CBF且ZkBEF是等邊三角形即可；

（2）根據(jù)“半角”模型1,先證4BAE絲4BCG,再根據(jù)“半角”模型1中的結(jié)論2得

出小GBF^AEBF,再根據(jù)“半角”模型1中的結(jié)論3即可；

（3）根據(jù)“半角”模型1,先證ABAH絲ABCF,再根據(jù)“手拉手”模型1中的結(jié)論2

得出△EBF^AEBH即可.

【詳解】

解：（1）如圖1,

圖1

在小ABE和^CBF中，

AE=CF

<ZBAE=ZBCF,

AB=CB

.,?△ABE^ACBF(SAS),

AZCBF=ZEBA,BE=BF,

VZABC=120°,ZEBF=60°,

...△BEF是等邊三角形，CF=-B,AE=-BE,

22

EF=BE=BF=AE+CF;

(2)如圖2,延長FC至G,使AE=CG,連接BG,

圖2

在4BAEftlABCG中，

BA=BC

<ZBAE=ZBCG,

AE=CG

.".△BAE^ABCG(SAS),

AZABE=ZCBG,BE=BG,

VZABC=120°,NEBF=60°,

.".ZABE+ZCBF=60°,

.,.ZCBG+ZCBF=60°,

；./GBF=NEBF,

在^GBF^HAEBF中，

BG=BE

<NGBF=NEBF,

BF=BF

.?.△GBF^AEBF(SAS),

EF=GF=CF+CG=CF+AE;

(3)不成立，但滿足新的數(shù)量關(guān)系.

如圖3,在AE上截取AH=CF,連接BH,

在小BAHffiABCF中，

BA=BC

<ZBAH=ZBCF,

AH=CF

.".△BAH^ABCF(SAS),

；.BH=BF,ZABH=ZCBF,

,/ZEBF=60°=ZFBC+ZCBE

.".ZABH+ZCBE=60°,

VZABC=120°,

ZHBE=60°=ZEBF,

在^EBFHBE中，

BH=BF

<ZHBE=ZEBF,

BE=BE

.'.△EBF^AEBH(SAS),

；.EF=EH,

；.AE=EH+AE=EF+CF.

【解題技法】本題典型的利用“半角”模型1,其基本思路是“旋轉(zhuǎn)補(bǔ)短”，從而構(gòu)造

全等三角形.

實(shí)戰(zhàn)演練：

1、如圖1,在菱形ABCD中，AC=2,BD=2百，AC,BD相交于點(diǎn)O.

(1)求邊AB的長；

⑵求NBAC的度數(shù)；

(3)如圖2,將一個(gè)足夠大的直角三角板60。角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，

繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60。角的兩邊分別與邊BC,CD相交于點(diǎn)E,F,連接

EF.判斷4AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由.

A

圖1

2、在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊AD,AB±(均不與頂點(diǎn)重合)，

且NBCD=120。，ZECF=(>0°.

(1)如圖1,若AB=AD,求證：△AECgZ\BFC;

(2)如圖2,若AB=2AD,過點(diǎn)C作CMJ_AB于點(diǎn)M,求證：?AC1BC;②AE

=2FM;

(3)如圖3,若AB=3AD試探究線段CE與線段CF的數(shù)量關(guān)系.

BAFMB9

CDC

圖1圖2圖3

(-)等腰直角三角形中90含45半角模型

，條件：AABC是等腰直角三角形，NCAB=90。，AB=AC,NDAE=45。，旋轉(zhuǎn)△BDEA

至&CDG(ABDE沿AD翻折至必ADF)

結(jié)論1：AADE2AAFE(AACE^AAFE)

結(jié)論2:DE2=BD2+EC2

(結(jié)論3:CACEF=BC(GDEF=BC)/

典例精講：

已知RSABC中，ZACB=90°,CA=CB,有一個(gè)圓心角為45。，半徑的長等于

CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE,CF分別與直線AB交于點(diǎn)M,N.

(1)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在NACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖①，求證：MN2=AM2+BN2；

思路點(diǎn)撥：考慮MN2=AM?+BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中

解決.可將△ACM沿直線CE對(duì)折，得ADCM,連DN,只需證DN=BN,ZMDN

=90。就可以了.

請(qǐng)你完成證明過程：

(2)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖②的位置時(shí)，關(guān)系式MN2=AM?+BN2是否仍然

成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

圖①圖②

【思路點(diǎn)撥】

(1)將△ACM沿直線CE對(duì)折，得ADCM,連DN,根據(jù)“半角”模型2,證明出

△CDN^ACBN,再根據(jù)“半角”模型2的結(jié)論2即可；

(2)將△ACM沿直線CE對(duì)折，得AGCM,連GN,根據(jù)“半角”模型2,證明

△CGN^ACBN,再根據(jù)“半角”模型2的結(jié)論2即可；

【詳解】

(1)證明：

將△ACM沿直線CE對(duì)折，得ADCM,連DN,

則&DCM絲△ACM.

有CD=CA,DM=AM,/DCM=/ACM,ZCDM=ZA.

又由CA=CB,得CD=CB.

由NDCN=NECF-ZDCM=45°-ZDCM,

ZBCN=ZACB-ZECF-ZACM=90。-45。-ZACM,

得/DCN=/BCN.

又CN=CN,

.,?△CDN^ACBN.

.\DN=BN,ZCDN=ZB.

ZMDN=ZCDM+ZCDN=ZA+ZB=90°.

在RtAMDN中，由勾股定理，

得MN2=DM2+DN2.即MN2=AM2+BN2.

(2)關(guān)系式MN2=AM2+BN2仍然成立.

證明：將△ACM沿直線CE對(duì)折，得AGCM,連GN,

則4GCM^AACM.

有CG=CA,GM=AM,

ZGCM=ZACM,ZCGM=ZCAM.

又由CA=CB,得CG=CB.

由NGCN=/GCM+/ECF=NGCM+45。,

ZBCN=ZACB-ZACN=90°-(ZECF-ZACM)=45°+ZACM.

得NGCN=/BCN.

又CN=CN,

/.△CGN^ACBN.

有GN=BN,ZCGN=ZB=45°,ZCGM=ZCAM=1800-ZCAB=135°,

.\ZMGN=ZCGM-ZCGN=135°-45°=90°.

...在RtAMGN中，由勾股定理，

實(shí)戰(zhàn)演練:

在等腰AABC中，CA=CB,點(diǎn)D,E在射線AB上，不與A,B重合(D在E的

左邊)，fiZDCE=-ZACB.

2

(1)如圖1,若/ACB=90。，將ACAD沿CD翻折，點(diǎn)A與M重合，求證：

△MCE^ABCE;

(2)如圖2,若/ACB=120。，且以AD、DE、EB為邊的三角形是直角三角形，

求當(dāng)?shù)闹担?/p>

EB

(3)ZACB=120°,點(diǎn)D在射線AB上運(yùn)動(dòng)，AC=3,則AD的取值范圍

為.

（三）正方形中90°含45°半角模型

(條件：正方形ABCD中，ZMAN=45°,旋轉(zhuǎn)△ABF至△AND；

結(jié)論1：AAFM之AAMN

結(jié)論2:MN=BM+DN(MN=DN-BM)

結(jié)論3:CAMCN=2AB；

結(jié)論4SAAMN=SAABM+Sw)N(S4AMN=AADN-^ABM)

\________________________y

典例精講:

（i）（發(fā)現(xiàn)證明）

如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分另IJ是BC,CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且NEAF=45。,

求證：EF=DF+BE.

小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AADG,使AB與AD重合時(shí)能夠

證明，請(qǐng)你給出證明過程.

（2）（類比引申）①如圖2,在正方形ABCD中，如果點(diǎn)E,F分別是CB,DC延

長線上的動(dòng)點(diǎn)，且/EAF=45。，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)寫出證明過程.

②如圖3,如果點(diǎn)E,F分別是BC,CD延長線上的動(dòng)點(diǎn)，且NEAF=45。，則EF,

BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系是（不要求證明）

（3）（聯(lián)想拓展）如圖1,若正方形ABCD的邊長為6,AE=3后，求AF的長.

【思路點(diǎn)撥】

（1）（發(fā)現(xiàn)證明）根據(jù)“半角”模型3,證明出△EAF嶺AGAF,再根據(jù)“半角”模型

3的結(jié)論2即可得證；

（2）（類比引申）①根據(jù)“半角”模型3,證明出Z1EAF絲Z\GAF,再根據(jù)“半角”模

型3的結(jié)論2即可得證；

②根據(jù)“半角”模型3,證明△AFEgAANE,再根據(jù)“半角”模型3的結(jié)論2即可得

證；

（3）（聯(lián)想拓展）

求出DG=2,設(shè)DF=x,則根據(jù)“半角”模型3的結(jié)論2得出EF=DG=x+3,CF=6

-x,在RSEFC中，得出關(guān)于x的方程，解出x則可得解.

【詳解】

（1）（發(fā)現(xiàn)證明）

證明：把^ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至4ADG,如圖1,

圖1

.e.ZBAE=ZDAG,AE=AG,

VZEAF=45°,

???NBAE+NFAD=45。，

.\ZDAG+ZFAD=45°,

AZEAF=ZFAG,

VAF=AF,

.,.△EAF^AGAF(SAS),

???EF=FG=DF+DG,

，EF=DF+BE;

⑵(類比引申)

①不成立，結(jié)論：EF=DF-BE;

證明：如圖2,將ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ADM,

圖2

???NEAB=NMAD,AE=AM,NEAM=90。，BE=DM,

.*.ZFAM=45O=ZEAF,

?.?AF=AF,

AAEAF^AMAF(SAS),

，EF=FM=DF-DM=DF-BE;

②如圖3,將么ADF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至4ABN,

VZEAF=45°,

.\ZNAE=45°,

AZNAE=ZFAE,

VAE=AE,

AAAFE^AANE(SAS),

，EF=EN,

???BE=BN+NE=DF+EF.

即BE=EF+DF.

故答案為：BE=EF+DF.

(3)(聯(lián)想拓展)

解：由(1)可知AE=AG=36,

??,正方形ABCD的邊長為6,

ADC=BC=AD=6,

DG=4AG2-AD1=7(375)2-62=3

，BE=DG=3,

；.CE=BC-BE=6-3=3,

設(shè)DF=x,則EF=DG=x+3,CF=6-x,

在RSEFC中，VCP+CE2=EF2,

(6-x)2+32=(x+3)2,

解得：x=2.

:.DF=2,

AF=>JAD2+DF2=A/62+22=2W?

【解題技法】“半角”模型3,常與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股

定理的綜合應(yīng)用，將分散的條件集中起來，將隱秘的關(guān)系顯現(xiàn)出來.

實(shí)戰(zhàn)演練：

1、思維探索：

在正方形ABCD中，AB=4,NEAF的兩邊分別交射線CB,DC于點(diǎn)E,F,ZEAF

=45°.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E,F分別在線段BC,CD上時(shí)，ZiCEF的周長是8;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E,F分別在CB,DC的延長線上，CF=2時(shí)，求ACEF的周長;

拓展提升：如圖3,在RtAABC中，ZACB=90°,CA=CB,過點(diǎn)B作BDLBC,

連接AD,在BC的延長線上取一點(diǎn)E,使NEDA=30。，連接AE,當(dāng)BD=2,ZEAD

=45。時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CE的長度.

2、(1)如圖，在正方形ABCD中，ZFAG=45°,請(qǐng)直接寫出DG,BF與FG的

數(shù)量關(guān)系，不需要證明.

（2）如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,E,F分別是BC上兩點(diǎn),

NEAF=45°,

①寫出BE,CF,EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

②若將（2）中的△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，上述結(jié)論是否仍然成立?

若不成立，直接寫出新的結(jié)論，無需證明.

(3)如圖，AAEF中NEAF=45°,AG_LEF于G,且GF=2,GE=3,則SiAEF=

（四）等邊三角形中60。含30。半角模型

BDBD

條件：△ABC是等邊三角形，ZDAE=30°,旋轉(zhuǎn)^ABD至AACF；

結(jié)論1：AADE^AAFE

結(jié)論2:ZECF=120°

結(jié)論3:CAECE=AB；

典例精講:

轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.

(-)嘗試探究

如圖1所示，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=60°,ZABC=ZADC=90°,

點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD±,ZEAF=30°,連接EF.

(1)如圖2所示，將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后得到△ABE，(AB與AD重

合)，請(qǐng)直接寫出/E，AF=度，線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD的延長線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)?zhí)?/p>

究線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(二)拓展延伸

如圖4,在等邊△ABC中，E、F是邊BC上的兩點(diǎn)，ZEAF=30°,BE=1,將公ABE

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ABE(AB與AC重合)，連接EE，，AF與EE，交于

點(diǎn)N,過點(diǎn)A作AMLBC于點(diǎn)M,連接MN,求線段MN的長度.

【思路點(diǎn)撥】

(~)(1)(發(fā)現(xiàn)證明)根據(jù)“半角”模型4,證明出△AEF絲△AE，F(xiàn),進(jìn)而根據(jù)線

段的和差關(guān)系得出結(jié)論；

(2)先在BE上截取BG=DF,連接AG,根據(jù)“半角”模型4,判定△GAE^AFAE,

根據(jù)線段的和差關(guān)系得出結(jié)論；

(二)先根據(jù)“半角”模型4,判定△AEE，是等邊三角形，進(jìn)而得到網(wǎng)=也和

AEAB

ZBAE=ZMAN,最后判定△BAES/^MAN,并根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，

列出比例式求得MN的長.

解：(一)(1)將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后得到AABE,

則/BAE=NDAE',BE=DE,,AE=AE,,

VZBAD=60°,ZEAF=30°,

.?,ZBAE+ZDAF=30°,

ZDAE'+ZDAF=30°,即/FAE'=30°

AZEAF=ZFAE\

AE=AE

在4AEF和4AET中，，NEAF=ZEAF,

AF=AF

.".△AEF^AAET(SAS),

.?.EF=E'F,即EF=DF+DE',

；.EF=DF+BE,即線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為BE+DF=EF,

故答案為：30,BE+DF=EF;

(2)如圖3,在BE上截取BG=DF,連接AG,

AB^AD

在^ABG和4ADF中，｛NABE=ZADF,

BG=DF

.,.△ABG^AADF(SAS),

；.NBAG=NDAF,且AG=AF,

VZDAF+ZDAE=30°,

AZBAG+ZDAE=30°,

VZBAD=60°,

...ZGAE=60°-30°=30°,

；./GAE=NFAE,

AG^AF

在小GAE和4FAE中，，ZGAE=NFAE,

AE^AE

.?.△GAE嶺ZXFAE(SAS),

.\GE=FE,

又：BE-BG=GE,BG=DF,

；.BE-DF=EF,

即線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為BE-DF=EF;

(二)如圖4,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ABE,則

AE=AE,,/EAE，=60。,

??.△AEE，是等邊三角形，

又?.?/EAF=30°,

,.AN平分NEAE',

,.AN±EE,,

\RtANE中，—=—,

AE2

.,在等邊AABC中，AM±BC,

,.ZBAM=30°,

.