Malab在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用

Matlab在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用優(yōu)化理論是一門實踐性很強的學科，廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)管理、軍事指揮和科學試驗等各種領(lǐng)域，Matlab優(yōu)化工具箱提供了對各種優(yōu)化問題的一個完整的解決方案。在數(shù)學上，所謂優(yōu)化問題，就是求解如下形式的最優(yōu)解：Minfun(x)Sub.to[C.E.][B.C.]其中fun(x)稱為目標函數(shù)，“Sub.to”為“subjectto”的縮寫，由其引導(dǎo)的部分稱為約束條件。[C.E.]表示ConditionEquations，即條件方程，可為等式方程，也可為不等式方程。[B.C.]表示BoundaryConditions，即邊界條件，用來約束自變量的求解域，以lb≤x≤ub的形式給出。當[C.E.]為空時，此優(yōu)化問題稱為自由優(yōu)化或無約束優(yōu)化問題；當[C.E.]不空時，稱為有約束優(yōu)化或強約束優(yōu)化問題。在優(yōu)化問題中，根據(jù)變量、目標函數(shù)和約束函數(shù)的不同，可以將問題大致分為：·線性優(yōu)化目標函數(shù)和約束函數(shù)均為線性函數(shù)?！ざ蝺?yōu)化目標函數(shù)為二次函數(shù)，而約束條件為線性方程。線性優(yōu)化和二次優(yōu)化統(tǒng)稱為簡單優(yōu)化?！し蔷€性優(yōu)化目標函數(shù)為非二次的非線性函數(shù)，或約束條件為非線性方程?！ざ嗄繕藘?yōu)化目標函數(shù)并非一個時，稱為多目標優(yōu)化問題。本章將對以上幾類優(yōu)化問題在Matlab中的實現(xiàn)作比較詳細的講解。另外還將介紹兩個利用優(yōu)化方法解非線性方程的函數(shù)。通過本章的介紹，用戶可以不必掌握艱澀的各種優(yōu)化算法而輕易地解決一些常用的最優(yōu)化問題了。10.1線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題即目標函數(shù)和約束條件均為線性函數(shù)的問題。瘋其標準形式跡為：閃min部賓C刪’移x遵sub.濃T灣o械A(chǔ)x=彎b例排簽x見≥課0域其中C,僑b湯,0揉∈朱R攔n河，A辰∈問R丘m酸n鏈，均為數(shù)值貴矩陣，x框∈坦R帽n病。沙若目標函數(shù)目為：max喚C墓’療x，則轉(zhuǎn)換園成：min僻為–冠C勇’袖x。允標準形式的覺線性規(guī)劃問宅題簡稱為L梅P（Lin淺earP蟻rogra關(guān)mming噴）問題。其梨它形式的線仆性規(guī)劃問題吊經(jīng)過適當?shù)奶幼儞Q均可以掀化為此種標繞準形。線性諸規(guī)劃問題雖當然簡單，但同在工農(nóng)業(yè)及敬其他生產(chǎn)部仔門中應(yīng)用十誰分廣泛。成在Matl擇ab中，線委性規(guī)劃問題瞧由linp逐rog函數(shù)到求解。皺函數(shù)：li彩nprog愚船長%求解如壘下形式的線陪性規(guī)劃問題揀：妄伸柳仙詳裙艦洗零俊such址that鉤諒?fù)┛畭{雹情傍沿寧軋歉習幻春撐肥綠仰其中繁f,x,殺b,b刷eq,l殃b,ub場為向量，簡A,Ae壟q上為矩陣。茫格式：盒x=l疏inpro粥g(f,A勾,b千)償x=l守inpro某g(f,A周,b,Ae罰q,beq淘)藏x=l態(tài)inpro梯g(f,A晚,b,Ae剩q,beq火,lb,u標b)卷x=l迫inpro撥g(f,A塵,b,Ae色q,beq政,lb,u欠b,x0)宴x=l因inpro觸g(f,A匆,b,Ae它q,beq核,lb,u擺b,x0,棟optio永ns)酒[x,fv齒al]=代linp旬rog(.凡..)凡[x,fv沾al,ex桶itfla煤g]=債linpr直og(..容.)蹲[x,fv塑al,ex炒itfla衫g,out牽put]棄=lin明prog(和...)賣[x,fv賭al,ex臟itfla沉g,out礦put,l頂ambda點]=l度inpro璃g(...港)說明：絨x=l必inpro朋g(f,A茄,b攀)錢活求解問題蛙minf備’雞*x，約束裝條件為A*他x<=b。版x=l紗inpro尤g(f,A俯,b,Ae浮q,beq饑)善先求解上面的瓣問題，但增營加等式約束據(jù)，即Aeq寺*x=捆beq。若鳥沒有不等式粘存在，則令狐A=[劈]、b腦=[]呆。哭x=l饅inpro保g(f,A舅,b,Ae扇q,beq刪,lb,u簡b)脈古定義設(shè)計變屈量x的下界藍lb和上界梁ub，使得怠x始終在該邀范圍內(nèi)。若常沒有等式約莫束，令A(yù)e罷q=[嬌]、be筑q=[堂]。法x=l義inpro云g(f,A膝,b,Ae霜q,beq嗓,lb,u爽b,x0)統(tǒng)先設(shè)置初值為道x0。該選凈項只適用于浮中型問題，掉默認時大型尺算法將忽略宅初值。貫x=l架inpro坐g(f,A賤,b,Ae徐q,beq伴,lb,u傭b,x0,猴optio宮ns)綿據(jù)用opti兔ons指定廳的優(yōu)化參數(shù)著進行最小化淘。情[x,fv巡al]=濫linp臣rog(.羞..)并啦返回解x處犯的目標函數(shù)老值fval超。助[x,fv訓al,ex蓬itfla鏡g]=前l(fā)inpr品og(..復(fù).)父柱返回睬exitf雷lag鵲值，描述函怕數(shù)計算的退退出條件。碰[x,fv榆al,ex民itfla身g,out山put]毀=lin奮prog(握...)忽肅返回包含優(yōu)材化信息的輸烤出變量ou寒tput。歷[x,fv廚al,ex臂itfla耽g,out鑄put,l服ambda踏]=l堆inpro輪g(...夾)站御將解x處的殖Lagra笑nge乘子績返回到la糞mbda參拔數(shù)中。尸exitf疊lag柱參數(shù)礙描述退出條擺件：炕·駛>0表胖示目標函數(shù)略收斂于解x怖處濟；臉·礎(chǔ)=0表億示已經(jīng)達到隨函數(shù)評價或轎迭代的最大河次數(shù)宰；池·摧<0偷表示目標函諸數(shù)不收斂。寧o牽utput長參數(shù)切飯該參數(shù)包德含下列優(yōu)化牲信息：廣登歡·鋪outpu磨t.it冬erati具ons盡迭樣代次數(shù)；瑞找彼·奸outpu丘t.cg譜itera昨tions否服PCG迭代冷次數(shù)(只適嫌用于大型規(guī)頃劃問題)評；繭死鹽憑·悼outpu墾t.al雷gorit狂hm矛所采扒用的算法拌。麗lambd嗽a能參數(shù)耽件該參數(shù)是姨解x處的L裂agran姑ge乘子。耕它有以下一氏些屬性：卡跨退·脂lambd芬a濤.lowe障r丈—使lambd和a飲的下界；占位尿·茅lambd洞a禁.uppe比r歷—廁lambd侄a浩的上界；戀均羞·即lambd餃a摧.ineq守lin則—昂lambd杠a運的線性不等船式；天勸梅·猴lambd寺a拖.eqli扮n購—奶lambd梢a影的線性等式逝。豐例10-1觸求解下列墾優(yōu)化問題：秀min珠澆現(xiàn)sub.t蓬o投華料防促墾摟中做氣著解：駝在Matl組ab命令窗熱口鍵入：悼>>f=板[-5;-右4;-6]提;區(qū)>>A=吧[1-1塵1;3凝24;3臺20]會;但>>b=毯[20;4戒2;30]吸;幣>>lb聰=zero爬s(3,1兆);雅>>[x單,fval棄,exit償flag,牌outpu枕t,lam洞bda]=紗linpr依og(f,揀A,b,[固],[],承l(wèi)b)箏Optim盡izati播onte圾rmina智teds逗ucces臟sfull絲y.x=匯0付.0000旨15錯.0000倒3播.0000泰fval門=來-78著.0000杰exitf輸lag=活叫1平outpu小t=賠綠iter備ation建s:6救c郊giter肯ation沸s:0三倡alg度orith碧m:'l要ipsol粘'坑lambd奪a=蝦i拖neqli震n:[3百x1do并uble]握瘡eqli萌n:[0始x1do吐uble]懸示uppe潑r:[3思x1do業(yè)uble]餡肥lowe饒r:[3徒x1do株uble]旋>>la沫mbda.忽ineql并inans=羊0野.0000鈔1駐.5000段0蛇.5000汁>>la率mbda.慧lowerans=舌1煩.0000獲0橡.0000致0掠.0000秘lambd抄a象向量中的非輝零元素表示牛哪些約束是爐主動約束。敵本例中，第它2個和第3廉個不等式約拉束，第1個謊下界約束是能主動約束（弟如這些解位遭于約束邊界刪上）。準exitf灶lag=右1表示過躺程正常收斂系于解x處。蜜例10-2嶄生產(chǎn)決策評問題。憲某廠生產(chǎn)甲竭乙兩種產(chǎn)品銹，傭已知制成一們噸產(chǎn)品甲需開資源A3艷噸，資源B改4m術(shù)3購；制成一噸扭產(chǎn)品乙需資岸源A2噸乘，資源B爽6亞慨m暈3受；資源C湊7個單位。隨若一噸煤產(chǎn)品甲和乙硬的經(jīng)濟價值耐分別為7萬超元和5萬元寫，三種資源民的限制量分趨別為90噸奶、200榨漫m寸3窯和210個碧單位，試決綢定應(yīng)生產(chǎn)這佩兩種產(chǎn)品各述多少噸才能善使創(chuàng)造的總元經(jīng)濟價值最澡高？裝解：懼令生產(chǎn)產(chǎn)品稻甲的數(shù)量為掠x籮1座，生產(chǎn)產(chǎn)品儉甲的數(shù)量為興x瞎2頂。由題意可虧以建立下面搭的數(shù)學模型帝：緊違霉底爛誘肉預(yù)壇sub.糠to肅鄉(xiāng)淘誘笑碗病猛翼貨圍剃黎屢教雙頌濤粉勸適該模型中要筐求目標函數(shù)造最大化，需謹要按照Ma里tlab的筆要求進行轉(zhuǎn)位換，即目標難函數(shù)為感船集寒削在Matl孝ab中實現(xiàn)和：埋>>f=失[-7;-推5];寒>>A=辟[32;腥46;0橡7];王>>b=晉[90;2投00;21露0];渾>>lb蝦=[0;0篇];腐>>[x熄,fval崖,exit息flag,無outpu余t,lam鑒bda]=鴉linpr秘og(f,檔A,b,[枕],[],期lb)但Optim裁izati上onte徑rmina鋤teds尖ucces萬sfull首y.x=柔14質(zhì).0000能24帥.0000董fval肌=伴-218游.0000宰exitf店lag=烘辭1瞎outpu莖t=嗚畢iter蝦ation末s:5宵c級giter頃ation粱s:0滑往alg蹤orith弓m:'l蒸ipsol砍'性lambd塘a=優(yōu)i均neqli字n:[3弓x1do她uble]基括eqli嫌n:[0伯x1do折uble]蠻黎uppe愛r:[2才x1do岡uble]諸賽lowe埋r:[2眠x1do沒uble]澡由上可知，沾生產(chǎn)甲種產(chǎn)虧品14噸、刻乙種產(chǎn)品2批4噸可使創(chuàng)宵造的總經(jīng)濟赤價值最高為乎218萬元第。憶exitf孟lag=半1表示過機程正常收斂袖于解x處。發(fā)例10-3柏雷廠址選擇問歪題。禮考慮A、B逐、C三地，搬每地都出產(chǎn)瘦一定數(shù)量的問原料也消耗辱一定數(shù)量的堆產(chǎn)品（見下搏表）。已知奴制成每噸產(chǎn)微品需3噸原頂料，各地之終間的距離為拼：A乎—欺B：150峽km，A糞—蝴C：100侮km，B瓶—致C：200止km。假定懷每萬噸原料勞運輸1km噸的運價是5斤000元，鞏每萬噸產(chǎn)品趙運輸1km偽的運價是6替000元。截由于地區(qū)條丙件的差異，深在不同地點農(nóng)設(shè)廠的生產(chǎn)痰費用也不同鎖。易問究竟在哪腳些地方設(shè)廠日，規(guī)模多大盾，才能使總止費用最?。繈屃硗?，由于驢其它條件限批制，在B處鍋建廠的規(guī)模極（生產(chǎn)的產(chǎn)扮品數(shù)量）不隙能超過5萬晶噸。兆A、B、C造三地出產(chǎn)原暈料、消耗產(chǎn)識品情況表慣地點在年產(chǎn)原料（菠萬噸）針年銷產(chǎn)品（臂萬噸）貪生產(chǎn)費用（澆萬元/萬噸哲）惡A雖20沉7紹150群B酷16紅13流120間C植24床0蕉100穩(wěn)解：梳令側(cè)為由紡i蒙地運到測j婚地的原料數(shù)縱量（萬噸）涉，天為由悼i環(huán)地運到淘j蛛地的產(chǎn)品數(shù)巨量（萬噸）睬，煎i東，大j肥=1，峰2，3（分庫別對應(yīng)A、賺B、C三地恐）。根據(jù)題瞧意，可以建各立問題的數(shù)斜學模型（其旺中目標函數(shù)橫包括原料運萍輸費、產(chǎn)品踏運輸費和生昏產(chǎn)費用更（萬元）走）：泥min命士訊派sub.t列o稈錄掙猶膝漸吵濕校補牛讓駱懶需在Mat戰(zhàn)lab中實勁現(xiàn)：腎>>f=芬[75;7歡5;50;陪50;10紐0;100講;150;轎240;2效10;12片0;160瘦;220]效;鈴>>A=杰[1-1婚1-1布00韻330邀00志0雙傍-11尺00萬1-1碌003哄30線0倒存00忽-11迎-11密000播03砌3蠻新00樂000功00臨011拜00]境;室>>b=煮[20;1鎮(zhèn)6;24;齊5];況>>Ae瓦q=[0蘿000攏00藝101咽01商0跪戀0文000爆00跪010霉10閱1];協(xié)>>be壺q=[7;抖13];稀>>lb刻=zero綁s(12,縣1);砍>>[句x,fva饒l,exi吼tflag棒,outp括ut,la宰mbda]上=linp孤rog(f鋼,A,b,縱Aeq,b廊eq,lb乎)淡Optim耀izati售onte禿rmina曲teds午ucces構(gòu)sfull抽y.x=剪0衣.0000玻1榨.0000軍0灣.0000規(guī)0暖.0000端0梳.0000使0閘.0000旁7豬.0000犁0液.0000近0普.0000透5不.0000雜0媽.0000咱8艙.0000爺fval踢=覺3.4稠850e+賀003蹈exitf擦lag=炒惰1摔outpu擊t=唇丹iter飽ation蹦s:8叼c共giter雁ation答s:0礎(chǔ)預(yù)alg廊orith盒m:'l加ipsol表'表lambd拆a=乞i襖neqli命n:[4菠x1do翼uble]漿讀eqli咽n:[2貫x1do臺uble]懂駱uppe撤r:[1崇2x1d聯(lián)ouble糟]娛蔥lowe拍r:[1密2x1d獵ouble諸]早因此，要使壤總費用最小誰，需要B地搶向A地運送窮1萬噸原料置，A、B、奏C三地的建材廠規(guī)模分別乖為7萬噸、紗5萬噸、8四萬噸。最小平總費用為3然485萬元擾。群10.2瘋非線性規(guī)劃王問題舞10.2.載1非線性無蝶約束規(guī)劃問跳題慌無約束規(guī)劃撐由3個功能節(jié)函數(shù)fmi謊nbnd、費fmins牧earch侄、叔fminu遺nc次實現(xiàn)。罵10.2.表1.1f渾minbn干d函數(shù)裳函數(shù)：削fminb怒nd怠功能：桶求取固定區(qū)禍間內(nèi)單變量勞函數(shù)的最小吵值，也就是正一元函數(shù)最銹小值問題。數(shù)學模型：橡僅增誠違式中，羅和跟為標量，魯為函數(shù)，返吐回標量。賽格式：銀x=f斜minbn廳d(fun互,x1,x慚2)折x=f南minbn膏d(fun販,x1,x界2,opt焦ions)騰x=f甘minbn戴d(fun月,x1,x耍2,opt案ions,理P1,P2西,...)輝[x,fv蘭al]=承fmin梅bnd(.者..)靠[x,fv托al,ex鍛itfla鎖g]=百fminb宗nd(..若.)碑[x,fv形al,ex深itfla炸g,out某put]頑=fmi坡nbnd(病...)說明：摧fminb臥nd呈番求取固定區(qū)概間內(nèi)單變量揪函數(shù)的最小吵值采x=f裹minbn賺d(fun鉆,x1,x火2)傻削返回[x1短,x2]富區(qū)間上fu句n參數(shù)描述哈的標量函數(shù)謀的最小值點猶x。聯(lián)x=f局minbn精d(fun走,x1,x奴2,opt賠ions)恭重用稍optio挎ns展參數(shù)指定的授優(yōu)化參數(shù)進美行最小化。鳥x=f耕minbn刺d(fun猾,x1,x箏2,opt峰ions,竄P1,P2怨,...)項舟提供另外的剛參數(shù)P1，棄P2等，傳闊輸給目標函抵數(shù)爬fun光。如果沒有視設(shè)置繭optio蓄ns哨選項，則令道optio費ns旁=[羽]。最[x,fv誤al]=惱fmin伐bnd(.禮..)騎深返回解x處夕目標函數(shù)的弦值。碼[x,fv煉al,ex乘itfla斬g]=妙fminb金nd(..僻.)螞刊返回萬exitf殼lag槍值描述fm就inbnd賄函數(shù)的退出示條件。唇[x,fv河al,ex草itfla目g,out蒙put]櫻=fmi賤nbnd(茂...)侄眠返回包含優(yōu)敗化信息的結(jié)澤構(gòu)輸出。柜·室fun：渡需要最小化快的目標函數(shù)立。枕fun語函數(shù)需要輸抓入標量參數(shù)止x，返回x聯(lián)處的目標函割數(shù)標量值f繳。可以將紛fun黃函數(shù)指定為召命令行，如奴紗貢后x=f繞minbn添d(in軟line炊(響‘等sin(驚x*x)估’稻),x0蒙)裂同樣，津fun納參數(shù)可以是住一個包含函石數(shù)名的字符跑串紙。對應(yīng)的函挨數(shù)可以是M捏文件、內(nèi)部牽函數(shù)或ME劑X文件。若消fun=殖蔬‘怪myfun傲’毀，梁淘則襲x=f舒minbn濫d(@my們fun,x帆0)撈其中臥M文件函數(shù)患myfun必.m必須為殊下面的形式壩礎(chǔ)跌f寧uncti盒onf繞=myf陶un(x屈)更齊紫f統(tǒng)=形…神夏%計建算x處的函啞數(shù)值。步·努optio抖ns：污優(yōu)化參數(shù)選穩(wěn)項。你可以強用opti夫mset優(yōu)函數(shù)設(shè)置或降改變這些參頌數(shù)的值。吹O雖ption系s參數(shù)有以唉下幾個選項?。贺摵獭の碊ispl穴ay熄固顯示的水平親。選擇匹’松off鍵’恩，不顯示輸陰出；選擇矛’灣iter乏’咱，顯示每一三步迭代過程壽的輸出；選搏擇丸’輝final融’兄，顯示最終某結(jié)果；吼友·扇MaxFu醉nEval由s函珠數(shù)評價的最存大允許次數(shù)父；全露·唇MaxIt鞏er犯肯最大允許迭發(fā)代次數(shù)；狡學·織TolX晴唉x艘處的終止容金限。數(shù)·胞exitf邪l(fā)ag：怒描述退出條芬件：遺壤乳·頁>0表稈示目標函數(shù)槐收斂于解x扇處；桐飛傅·分0表圾示已經(jīng)達到?jīng)]函數(shù)評價或遣迭代的最大深次數(shù)；車淡嬸·敘<0表隙示目標函數(shù)工不收斂。潤·腸outpu信t：薄該參數(shù)包含邀下列優(yōu)化信尚息：混服嶺·堤outpu拾t.it凳erati個ions殿活迭代次數(shù)隆；邀勇窩·瓜outpu懷t.al崗gorit雅hm芒所甜采用的算法貢；紙礙繩·爬outpu風t.fu所ncCou胖nt曾函數(shù)怪評價次數(shù)。注意：餓（1）目標劑函數(shù)必須是簽連續(xù)的；薪（2）fm拒inbnd仆函數(shù)可能只臥給出局部最加優(yōu)解；末（3）當問葬題的解位于瞎區(qū)間邊界上留時，fmi悲nbnd函腦數(shù)的收斂速私度常常很慢迅。此時，f涂minco乏n函數(shù)的計哭算速度更快次，計算精度庫更高；堅（4）災(zāi)fminb凳nd函數(shù)只協(xié)用于實數(shù)變稠量。捷例10-4艷在(0,墨叛上求函數(shù)s藝inx的最籮小值。追解：文Matla灘b中實現(xiàn)：筒>>[x攏,y_mi仁n]=fm悼inbnd惠('sin晃(x)',真0,2*p轉(zhuǎn)i)x=題4宴.7124緒y_min膀=別-1座.0000或虧>>[郵x,y_m丘in]=f鋤minbn液d(@si體n,0,2惜*pi)x=黃4返.7124務(wù)y_min街=忙-1邊.0000紀例10-5疏對邊長為軍3m的正方勿形鐵板，在靜四個角處剪菜去相等的小暈正方形以制早成方形無蓋需盒透子，問如何押剪法使盒子擠容積最大？辮解：臨設(shè)剪去的正節(jié)方形的邊長淡為x，則盒商子容積為篩照焦f(盛x)=散(3擱-憂2x)螞2幟x礦現(xiàn)在要求在慧區(qū)間(0,伐1.5)棚上確定x，日使f(x兇)最大化。重因為優(yōu)化工鑒具箱中要求攝目標函數(shù)最高小化，所以培需要對目標辜函數(shù)進行轉(zhuǎn)腿換，即要求叮-泉f(x)鋪最小化。源在Matl功ab中實現(xiàn)襲：魯>>[x候,f_mi柄n]=fm輛inbnd喇('-(3饅-2*x)俘^2*x'齒,0,1.晌5)x=諒0怪.5000喇f_min倘=苦-2介.0000泳或編寫M文乓件就Ex安1005.晶m拐>>[x挨,f_mi題n]=fm屆inbnd撿(@照Ex籌1005,載0,1.5任)x=艱0奮.5000留f_min占=卵-2釀.0000巧即剪去邊長抱為0.5安m的正方形燦，最大容積趕為2m附3厘。聽10.2.照1.2f戲minse毒arch函稍數(shù)幟函數(shù)：fm南insea贏rch燙功能：憲求解多變量彎無約束函數(shù)謀的最小值。數(shù)學模型：牽牙率層其中，蛾為向量，淡為侄一昆函數(shù)，返回艦標量。碰揪格式：遣x=f霞minse套arch(擦fun,x思0)令x=f另minse顏arch(突fun,x倡0,opt牲ions)踏x=f鞏minse膝arch(負fun,x襲0,opt陷ions,揮P1,P2隱,...)吳[x,fv次al]=默fmin派searc蔽h(...唇)搭[x,fv掙al,ex拴itfla摧g]=走fmins捧earch躁(...)頁[x,fv睡al,ex哥itfla搶g,out侍put]微=fmi缺nsear荒ch(..苗.)說明：葵fmins如earch浪槽求解多變量飛無約束函數(shù)猶的最小值。閱該函數(shù)常用鹽于無約束非撿線性最優(yōu)化融問題。聞x=f膠minse淺arch(程fun,x督0)逆票初值為x0久，求fun引函數(shù)的局部本極小點x。像x0可以是礦標量、向量禍或矩陣。囑x=f察minse枯arch(兄fun,x染0,opt深ions)喘稍用末optio爆ns妹參數(shù)指定的撥優(yōu)化參數(shù)進離行最小化。規(guī)x=f饅minse文arch(雨fun,x猜0,opt允ions,敏P1,P2黃,...)陶蜂將問題參數(shù)陡P1、P2命等直接輸給挺目標函數(shù)f屆un，將蘿optio容ns崇參數(shù)設(shè)置為壘空矩陣，作夠為雕optio劈ns洽參數(shù)的默認爐值。冬[x,fv機al]=織fmin估searc拋h(...少)廢屬將x處的目毀標函數(shù)值返天回到fva屬l參數(shù)中。豪[x,fv急al,ex秩itfla戴g]=謹fmins聰earch蓄(...)酸疏返回田exitf騰lag勇值，描述函仿數(shù)的退出條賊件。嘗[x,fv翁al,ex玩itfla甜g,out遍put]踢=fmi場nsear搶ch(..顯.)辟曬返回包含優(yōu)腳化信息參數(shù)云outpu焦t心的結(jié)構(gòu)輸出樸。猴各變量的意有義同前狹及角下面茶fminu崗nc凡函數(shù)向。注意：潑（1）應(yīng)用澡fmins農(nóng)earch居函數(shù)可能會鍵得到局部最膨優(yōu)解；步（2）端fmins細earch縮函數(shù)只對實厭數(shù)進行最小諷化，即x必爛須由實數(shù)組懸成，f(李x)函數(shù)必鄭須返回實數(shù)籃。如果x為鄰復(fù)數(shù)，則必誓須將它分為版實數(shù)部和虛沿數(shù)部兩部分蒙；壯（3）對于謠求解二次以今上的問題，蹦fminu賺nc函數(shù)比傾fmins害earch勸函數(shù)有效，詠但對于高度醒非線性不連蓋續(xù)問題時，界fmins杜earch圓函數(shù)更具穩(wěn)在鍵性。澇（4）反fmins喝earch點函數(shù)不適合誘求解平方和佛問題，用l鎖sqnon牲lin函數(shù)梨更好一些。公例10-6鼠求2x屑1律3稻+4x堡1悼x族2遙3輔-10x班1畢x何2銜+x附2饅2節(jié)的最小值。六解：浙在Matl帳ab中實現(xiàn)紙如下：搜>>f=股'2*x(舟1)^3+成4*x(1唐)*x(2蟻)^3-1尚0*x(1獻)*x(2忙)+x(2泡)^2';荷>>x0給=[0,0苗];瘡>>[x喉,f_mi疾n]=fm調(diào)insea銳rch(f淚,x0)x=驅(qū)1閃.0016殼0文.8335固f_min叢=蹈-3窯.3241緊或在Mat飽lab編輯誦器中編輯M乓文件俗Ex質(zhì)1006.而m：俗funct朝ionf刮=挺Ex淋1006(宴x)樓f=2*x冊(1)^3徑+4*x(禿1)*x(衫2)^3-摩10*x(侵1)*x(派2)+x(姑2)^2;泡x0=[0搶,0];癢命令窗口運脈行：海>>[x欲,f_mi蹲n]=fm趨insea置rch(@努Ex糞1006,緊x0)x=秩1催.0016殖0下.8335殺f_min椅=液-3澡.3241卻運行后結(jié)果擊一致。艙10.2.叉1.3f夫minun岔c函數(shù)曉函數(shù)：fm掘inunc版功能：半求多變量無通約束函數(shù)的棗最小值。數(shù)學模型：肚愈筒其中，烘為向量，們?yōu)橐缓瘮?shù)，優(yōu)返回標量。側(cè)娘格式：榆x=f果minun超c(fun暑,x0)虜x=f秘minun漁c(fun刷,x0,o粥ption斗s)鈔x=f劃minun鐮c(fun跌,x0,o齒ption廢s,P1,失P2,..漿.)津[x,fv晚al]=塵fmin醒unc(.梨..)遇[x,fv胳al,ex癢itfla綠g]=虎fminu騰nc(..仔.)韻[x,fv晝al,ex媽itfla狐g,out扯put]侄=fmi潮nunc(膛...)贈[x,fv尸al,ex片itfla糟g,out鞠put,g嫩rad]媽=fmi旨nunc(毅...)檔[x,fv拌al,ex烘itfla航g,out循put,g饑rad,h價essia槽n]=后fminu嘗nc(..恢.)說明：關(guān)fminu犁nc袖脹給定初值，堡求多變量標圣量函數(shù)的最黃小值。常用號于無約束非堂線性最優(yōu)化響問題。路x=f烏minun誦c(fun偏,x0)如援給定初值x宣0，求fu瘋n函數(shù)的局呆部極小點x擋。x0可以桌是標量、向靠量或矩陣。治x=f毅minun照c(fun添,x0,o速ption除s)碌黑用粥optio砌ns你參數(shù)指定的把優(yōu)化參數(shù)進的行最小化。攤x=f拌minun峰c(fun灑,x0,o葛ption籮s,P1,陜P2,..氏.)絨站將問題參數(shù)啦P1、P2船等直接輸給盟目標函數(shù)f耽un，將輩optio尿ns側(cè)參數(shù)設(shè)置為哨空矩陣，作會為蠻optio獨ns們參數(shù)的默認佛值。昨[x,fv假al]=赤fmin斃unc(.華..)景框?qū)處的目薯標函數(shù)值返澇回到fva姐l參數(shù)中。劃[x,fv粗al,ex肥itfla粉g]=校fminu熱nc(..桑.)撒姥返回使exitf伶lag薦值，描述函我數(shù)的退出條焰件。挽[x,fv鄉(xiāng)al,ex異itfla色g,out由put]極=fmi滴nunc(銹...)奏犯返回包含優(yōu)傅化信息參數(shù)份outpu盾t純的結(jié)構(gòu)輸出華。壇[x,fv粘al,ex區(qū)itfla鼓g,out焰put,g例rad]火=fmi廈nunc(訊...)脹歇將解x處f男un函數(shù)的網(wǎng)梯度值返回巖到盡grad成參數(shù)中。魚[x,fv持al,ex饑itfla穩(wěn)g,out易put,g孫rad,h慶essia赤n]=現(xiàn)fminu扎nc(..仁.)徒閘將解x處目駝標函數(shù)的H悔essia卸n矩陣信息該返回到焰hessi撇an長參數(shù)中。曉·凱fun變量近：僅為目標函數(shù)天。需要最小陰化的目標函敬數(shù)。獲fun徹函數(shù)需要輸括入向量參數(shù)必x，返回x籠處的目標函奸數(shù)標量值f期。可以將佛fun香函數(shù)束指定為命令判行，如術(shù)x=騙fminu麥nc(in總line(箱'norm續(xù)(x)^2思'),x0四)踏同樣，拉fun翠函數(shù)可以是懷一個包含函閱數(shù)名的字符頑串誠。對應(yīng)的函黑數(shù)可以是M管文件、內(nèi)部到函數(shù)或ME栗X文件。若密fun=辟弓‘攤myfun氧’觸，則那x=f母minun曠c(@my柿fun,x昂0)門其中M文件拌函數(shù)myf警un.m必裹須有下面的頁形式：弟funct啄ionf拆=my脆fun(靠x)忠f=姓…吧討忍睜%計算x處怪的函數(shù)值。與若fun函幫數(shù)的梯度可洋以算得，且喊optio暴ns.遇GradO隙bj設(shè)為殲’印on登’字（用下式設(shè)蠻定）肉壓匆o唉ption停s=o脂ptims粗et(荷‘井GradO穩(wěn)bj星’票,震‘罷on滲’爺)濃則fun函渾數(shù)必須返回抹解x處的梯諷度向量g到刷第二個輸出貢變量中去。委注意，當被孫調(diào)用的fu只n函數(shù)只需意要一個輸出冬變量時（如含算法只需要訂目標函數(shù)的狼值而不需要蠢其梯度值時逆），可以通龍過核對na滋rgout懶的值來避免慢計算梯度值沾funct攔ion[f腦,g]鈴=myf驚un(x毯)籠f=塵…怎芝繪嘆%計算x處葡的函數(shù)值對ifna肌rgout貴>1岸%調(diào)襲用fun函答數(shù)并要求有尸兩個輸出變閱量猾窗g=莫…眠教%計算x處既的梯度值end情若Hess紀ian矩陣偵可以求得，守并且opt賣ions.轎繞Hessi泛an設(shè)為逆’紀on美’違，即肅圖割op道tions斜=op鬧timse國t(眉‘物Hessi宿an鉆’至,科‘襖on墳’吉)顯則fun函蠻數(shù)必須返回鞭解x處的H客essia訂n對稱矩陣趕H到第三個槽輸出變量中國去。注意，積當被調(diào)用的科fun函數(shù)城只需要一個猴或兩個輸出張變量時（如扣算法只需要真目標函數(shù)的紅值f和梯度曉值g而不需昆要Hess駱ian矩陣捕H時），可真以通過核對咳nargo烏ut的值來億避免計算H巧essia伸n矩陣按funct梯ion[f罵,g]圾=myf搏un(x刪)丟f=販…鞏田旬%計算x處那的函數(shù)值創(chuàng)ifna炎rgout覺>1軌%調(diào)避用fun函浙數(shù)并要求有恰兩個輸出變近量扮勞g=稻…剃聽%計算x處足的梯度值級瑞ifna學rgout咳>2封笨H=純…勺聲%計算x處也的Hess帝ian矩陣end?！ぱ縪ptio浪ns變量：哥優(yōu)化參數(shù)選才項?？梢酝襁^opti根mset函層數(shù)設(shè)置或改堡變這些參數(shù)轉(zhuǎn)。其中有的畫參數(shù)適用于東所有的優(yōu)化雀算法，有的拋則只適用于撤大型優(yōu)化問股題，另外一敢些則只適用慎于中型問題歇。克首先描述適我用于大型問膀題的選項。頃這僅僅是一晌個參考，因遣為使用大型頂問題算法有蔥一些條件。僻對于fmi蝦nunc函吧數(shù)來說，必仿須提供梯度抵信息沒身·孕Large袖Scale雹當設(shè)為愈’愁on童’車時，使用大靈型算法，若森設(shè)為烤’脊off皂’扁則使用中型精問題的算法撈適用于大型駕和中型算法瘡的參數(shù)：鈴紫·承Diagn躬ostic飯s備打印最小化燦函數(shù)的診斷椅信息配引·朗Displ詞ay鉛顯示水平岸。選擇床’重off警’鼻，不顯示輸愚出；選擇慢’購iter涉’仇，顯示每一嶺步迭代過程根的輸出；選瓜擇泳’脫final市’刺，顯示最終途結(jié)果弱名·搬GradO拒bj涼用戶定義岔的目標函數(shù)竊的梯度。對撕于大型問題嘗此參數(shù)是必岸選的，對于遭中型問題則號是可選項慘且·散MaxFu思nEval傳s脖函數(shù)評價的職最大次數(shù)搬梢·缸MaxIt朱er席最大允許抖迭代次數(shù)重傲·伶TolFu耀n慈函數(shù)值的終宋止容限毯習·慣TolX撈x處縮的終止容限涼只適用于大倦型算法的參月數(shù)：妙我·戚Hessi兄an年用戶定義凡的目標函數(shù)援的Hess懲ian矩陣斧舍·仙HessP跌atter湊n比用于有限差系分的Hes繳sian矩征陣的稀疏形歇式。若不方權(quán)便求fun霜函數(shù)的稀疏鴨Hessi壤an矩陣H沫，可以通過于用梯度的有艙限差分獲得革的H的稀疏饅結(jié)構(gòu)（如非毒零值的位置遷等）來得到線近似的He妻ssian躍矩陣H。若歉連矩陣的稀漢疏結(jié)構(gòu)都不克知道，則可鳴以將Hes底sPatt徑ern設(shè)為刪密集矩陣，粉在每一次迭涂代過程中，筍都將進行密袍集矩陣的有始限差分近似貌（這是默認震設(shè)置）。這游將非常麻煩境，所以花一搶些力氣得到焰Hessi鍵an矩陣托的稀疏結(jié)構(gòu)趨還是值得的斜逮·臟MaxPC侮GIter各P螺CG迭代的萬最大次數(shù)剝專·魄Preco撥ndBan腫dWidt燃h辜PCG前處難理的上帶寬茶，默認時為斯零。對于有辦些問題，增乖加帶寬可以回減少迭代次戰(zhàn)數(shù)怖士·盲TolPC哀G誰PCG迭代己的終止容限膛倚·死Typic使alX階典型x央值薦只適用于中帆型算法的參月數(shù)：籮鳥·古Deriv值ative薦Check前對描用戶提供的呆導(dǎo)數(shù)和有限蹲差分求出的橫導(dǎo)數(shù)進行對彈比嶄暢·份DiffM豎axCha態(tài)nge風變量有竿限差分梯度勁的最大變化肚?！さVDiffM脆ixCha饑nge涌變量有坦限差分梯度糠的最小變化聲若·迷LineS炊earch毯Type趙一維桿搜索算法的董選擇班·劣exitf賣lag變量掀：莖描述退出條春件：栗穴·軋>0層表示目標挖函數(shù)收斂于勻解x處延槍·鈴0標表示已經(jīng)祥達到函數(shù)評廳價或迭代的因最大次數(shù)溜購·騙<0務(wù)表示目標協(xié)函數(shù)不收斂懷·爹outpu肢t變量：展該參數(shù)包含秀下列優(yōu)化信化息：虹達·碧outpu然t.ite血ratio辜ns閥迭代次數(shù)辰娃·蜓outpu撫t(yī).alg妥orith弦m撈所采用的算義法巧她·霞outpu耕t.fun慘Count老函丹數(shù)評價次數(shù)街諸·廉outpu舅t.cgi局terat植ions遵PC校G迭代次數(shù)掃（只適用于如大型規(guī)劃問制題）博轎·衡outpu潔t.ste糾psize頂最屈終步長的大抱小（只適用孩于中型問題勺）釋愿·存outpu翼t.fir請stord稅eropt勿一微階優(yōu)化的度楚量，解x處鹿梯度的范數(shù)注意：合（1）目標拘函數(shù)必須是輔連續(xù)的。膝fminu憐nc相函數(shù)有時會丘給出局部最資優(yōu)解；乞（2）切fminu槳nc蜓函數(shù)只對實途數(shù)進行優(yōu)化摘，即x必須士為實數(shù)，而雅且f(x兔)必須返回啊實數(shù)。當x爛為復(fù)數(shù)時，域必須將它分鏟解為實部和梅虛部；賞（3）在使俯用大型算法柱時，用戶必墻須在fun令函數(shù)中提供弊梯度(op劉tions遍參數(shù)中Gr嘴adObj寄屬性必須設(shè)駁置為式’偉on洲’束)槍，否則將給膠出警告信息訴；賄貌（4）目前炒，若在fu熱n函數(shù)中提么供了解析梯廚度，則op耍tions頌參數(shù)椅Deriv任ative響Check留不能用于大裂型算法以比弟較解析梯度直和有限差分敗梯度。通過懼將opti鵝ons參數(shù)估的MaxI保ter屬性體設(shè)置為0來紀用中型方法失核對導(dǎo)數(shù)，鑼然后重新用忘大型方法求帖解問題；彩（5）對于誼求解平方和窩問題，衣fminu會nc才函數(shù)不是最嫌好的選擇，輸用Isqn擾onlin騎函數(shù)效果更架佳。且例10-7孤遠最小化下列鴿函數(shù)：道芒f(瘦x)=掛3x祖1勾2職+2x誕1撕x物2歐+x床2商2優(yōu)解：蟻使用M文件野，創(chuàng)建文件非Ex小10071竹.m：婆funct粱ionf肥=汪Ex倆10071燭(x)蛋f=3*x嫌(1)^2動+2*x(拾1)*x(年2)+x(陽2)^2;查然后調(diào)用戒fminu袖nc胞函數(shù)求[1象，1]附近墾f(x)易函數(shù)的最小橡值：唱>>x0碰=[1,1胖];抽>>[x灣,fval藝]=fmi板nunc(跳@醒Ex細10071袖,x0)呆Warni余ng:G滲radie俯ntmu挺stbe遙prov草ided真fort聯(lián)rust-欠regio呀nmet馬hod;順us限ingl冶ine-s堤earch激meth堵odin疼stead膏.蓄>In鑒E:\ma膊tlab6踏p1\to倡olbox廚\opti棋m\fmi遞nunc.井mat貸line掀211摩Opti惡mizat滾iont獄ermin鼠ated遺succe鉛ssful芝ly:太Sear惹chdi躬recti時onle累ssth哥an2*殼optio倒ns.To凍lXx=讓1.0臂e-008驚*席-0槍.7591緊0斗.2665把fval聞=最1.3攀953e-放016有下面用提供衰的梯度g最軌小化函數(shù)，催修改M文件慚為急Ex腐10072曾.m：歲funct責ion[池f,g]=葉Ex兆10072慣(x)伏f=3*x油(1)^2紋+2*x(碧1)*x(咸2)+x(嗓2)^2;紀ifna原rgout久>1免g炮(1)=6銷*x(1)琴+2*x(滴2);索g追(2)=2沃*x(1)凱+2*x(伙2);end墻下面通過將框優(yōu)化選項結(jié)飲構(gòu)旅optio螺ns.Gr匯adObj舒設(shè)置為愧’唱on教’指來得到梯度朵值。鞭>>op境tions秧=opti多mset(柳'Grad揮Obj',著'on')磁;殲>>x0棉=[1,1渡];壺>>[x鑼,fval朋]=fmi懂nunc(嶺@鉛Ex電10072鞠,x0,o哲ption脫s)陳Optim看izati術(shù)onte慘rmina那teds瞇ucces當sfull曉y:頁Firs踏t-ord馳erop腫timal慣ityl狡esst偵hanO驚PTION繁S.Tol等Fun,叮andn撲oneg謙ative區(qū)/zero躬curv規(guī)ature釣dete肌ctedx=重1.0蓋e-015搏*雪0傻.1110陪-0息.8882抽fval直=皂6.2淋862e-較031隨例10-8絮求函數(shù)f正(x)盆=e席x1糕(4x陡1首2弓+2x至2神2寧+4x蜻1視x諸2探+2x居2憲+1)的最刷小值。抓解：債在Matl辰ab中實現(xiàn)侮：肆>>[x,間fval,糊exitf生lag,o脾utput櫻]=fmi遠nunc(泰'exp(墾x(1))杰*(4*x嘗(1)^2養(yǎng)+2*x(梅2)^2+蜻4*x(1始)*x(2菜)+2*x誘(2)+1毯)',[-懼1,1])呆Warni慌ng:G是radie返ntmu設(shè)stbe別prov菠ided厲fort毅rust-鴿regio鏟nmet逗hod;種us腳ingl糾ine-s遣earch屑meth垃odin鋤stead廳.績>In時E:\ma架tlab6妹p1\to定olbox土\opti守m\fmi客nunc.筍mat瑞line閉211映Opti遍mizat五iont很ermin區(qū)ated肺succe壩ssful裂ly:旱Curr慰ents趣earch療dire辭ction蛋isa帝desc叢entd餓irect勾ion,始andm猜agnit沖udeo魔f歷dire倉ction崇alde云rivat脊ivei魯nsea狀rchd節(jié)irect葛ionl決esst句han2商*opti諒ons.T裂olFunx=粉0街.5000葡-1資.0000競fval貝=蕩1.3抹028e-象010耕exitf錄lag=甩璃1悟outpu品t=雄識ite凍ratio穿ns:7泊完fu笛ncCou孤nt:4墾0偏爐s末tepsi屬ze:1擊f校irsto臥rdero沫pt:8白.1998虎e-004腸濁al青gorit貢hm:'眨mediu怨m-sca披le:Q墻uasi-留Newto末nlin凝esea錯rch'倘例10-9配求無約束掉非線性問題蟻繼曉f(x匹)=1勢00(x志2也-岸x艘1口2勵)薯2喝+(1波-鋼x鍛1恩)侮2裳臉x0=鳴[-1.2棄,1]內(nèi)解：磚在Matl肺ab中實現(xiàn)旅：贈>>x0俗=[-1.醋2,1];影>>[x研,fval叨]=fmi誕nunc(桑'100*猛(x(2)本-x(1)閃^2)^2答+(1-x金(1))^損2',x0跨)浩Warni撐ng:G納radie譯ntmu鼓stbe膽prov劍ided仗fort演rust-曾regio消nmet牲hod;遞us厚ingl柳ine-s刺earch符meth幅odin寨stead糟.賭>In畫E:\ma膠tlab6新p1\to塞olbox屆\opti翅m\fmi花nunc.濟mat貿(mào)line承211例Optim拼izati筐onte饞rmina湯teds畜ucces盞sfull辰y(tǒng):躬Curr黎ents杯earch義dire坐ction份isa猴desc象entd爹irect素ion,絹andm拳agnit挑udeo炮f叫dire累ction劍alde蹤rivat志ivei秧nsea暈rchd袍irect軟ionl唉esst矛han2磨*opti潔ons.T稅olFunx=塞1贊.0000寄1奮.0000另fval韻=葡1.9紀116e-腐011曉10.2.額2二次規(guī)滑劃累數(shù)學模型：進如果某非線加性規(guī)劃的目謎標函數(shù)為自秘變量的二次褲函數(shù)，約束丈條件全是線債性函數(shù)，就爹稱這種規(guī)劃獸為二次規(guī)劃監(jiān)。其數(shù)學模獻型為魄啦犯形遭以您隸曾永完泡雖競寇錢著暗城案其中，醋，錢和霞為矩陣，墓，甘，鐘，丈，吊和當為向量。杜函數(shù)：qu苦adpro令g梯功能：希求解二次規(guī)語劃問題。發(fā)格式：昌x=q侄uadpr萬og(H,彼f,A,b遇)析x=q茄uadpr母og(H,孝f,A,b捷,Aeq,碧beq)末x=q詠uadpr嗎og(H,舞f,A,b糊,Aeq,耗beq,l食b,ub)趁x=q箏uadpr屢og(H,甘f,A,b脊,Aeq,犧beq,l買b,ub,駱x0)推x=q復(fù)uadpr旅og(H,怖f,A,b元,Aeq,概beq,l吵b,ub,驢x0,op臘tions底)梅x=q服uadpr包og(H,煙f,A,b送,Aeq,櫻beq,l含b,ub,擁x0,op辰tions友,p1,p廟2,...杏)眼[x,fv雖al]=督quad充prog(企...)頃[x,fv覺al,ex總itfla熄g]=獸quadp江rog(.種..)需[x,fv乎al,ex紐itfla戰(zhàn)g,out零put]殿=qua鵲dprog貿(mào)(...)突[x,fv培al,ex刺itfla罩g,out抱put,l岡ambda膝]=q蔑uadpr呈og(..眨.)說明：砍x=q悉uadpr捷og(H,攜f,A,b睜)深宿返回向量x相，最小化函磁數(shù)1/2*揀x貪’質(zhì)*H*x+西f浴’輛*x，其約往束條件為A籠*x<=b導(dǎo)。積x=q所uadpr指og(H,群f,A,b徹,Aeq,僚beq)殼背仍求上面的小解，但添加松了等式約束尺條件Aeq號*x=帖beq。厚x=q負uadpr蹲og(H,央f,A,b怎,Aeq,揉beq,l纖b,ub)稍潮定義設(shè)計變猾量的下界l直b和上界u變b，使得l戶b<=x<屬=ub。累x=q藍uadpr罰og(H,喚f,A,b磨,Aeq,宗beq,l曬b,ub,腎x0)司壇同上，并設(shè)復(fù)置初值x0偶。哥x=q作uadpr蔽og(H,銀f,A,b匹,Aeq,侍beq,l腎b,ub,桶x0,op秤tions忍)漆演根據(jù)盼optio感ns脖參數(shù)指定的蟻優(yōu)化參數(shù)進墻行最小化。天x=q瑞uadpr碎og(H,心f,A,b嚇,Aeq,習beq,l纏b,ub,貴x0,op英tions丑,p1,p對2,...冒)縫荒將參數(shù)P1感，P2等直陣接輸給He葵ssian仔乘子最函數(shù)，如果為存在，用駛optio俊ns與參數(shù)湖中的Hes雨sMult融屬性夏指定。桑[x,fv程al]=評quad贈prog(群...)跪獎返回解x處貿(mào)的目標函數(shù)么fval忽=1/2喬*x教’效*H*x+甲f慨’師*x。痛[x,fv埋al,ex繼itfla森g]=框quadp浮rog(.摔..)慈拾返回呆exitf淡lag永參數(shù)，描述偉計算的退出隔條件。來[x,fv蝶al,ex廟itfla垮g,out冒put]片=qua句dprog荒(...)犁走返回包含優(yōu)快化信息的結(jié)咽構(gòu)輸出先outpu膛t燦?？鎇x,fv銅al,ex例itfla蘭g,out擦put,l舟ambda譜]=q救uadpr葛og(..漢.)屠滔返回解x處君包含Lag刺range冊乘子的問lambd昌a網(wǎng)參數(shù)。桿各變量的意授義同前。注意：世（1）一般辦地，如果問京題不是嚴格篇凸性的，用致quadp丈rog函數(shù)重得到的可能慘是局部最優(yōu)撇解；蘇（2）如果晉用Aeq和鴨Beq明確卻地指定等式侵約束，而不陷是用lb和漏ub指定，月則可以得到鑄更好的數(shù)值狂解；皇（3）慶若x的組分禁沒有上限或鬧下限，則q抬uadpr腳og函數(shù)希嶄望將對應(yīng)的露組分設(shè)置為繩I課nf（對于警上限）或-鴉I說nf（對于角下限），而套不是強制性堂地給予上限勿一個很大的遠數(shù)或給予下念限一個很小炸的負數(shù)；裁（4）對于路大型優(yōu)化問響題，若沒有秒提供初值x工0，或x0燒不是嚴格可醒行，則qu港adpro據(jù)g函數(shù)會選竄擇一個新的譽初始可行點往；狹（5）若為鄭等式約束，巧且quad管prog函怪數(shù)發(fā)現(xiàn)負曲拘度(neg潑ative悲curv虛ature輛)，則優(yōu)化疏過程終止，竹exitf違lag的值協(xié)等于-1；凳（6）此時豬，顯示水平折只能選擇親’竊off般’肆和葉’隸final嶺’市，迭代參數(shù)奮’找iter松’鋪不可用；汽（7）當問揉題不定或負籃定時，常常僻無解（此時莊exitf搭lag節(jié)參數(shù)給出一爽個負值，表爹示優(yōu)化過程罪不收斂）。架若正定解存雄在，則qu膠adpro意g函數(shù)可能矛只給出局部擦極小值，因憶為問題可能腸是非凸的；峽（8）對于衣大型問題，陸不能依靠線炮性等式，因易為Aeq必丹須是行滿秩非的，即Ae怨q的行數(shù)必金須不多于列吃數(shù)。若不滿殖足要求，必紋須調(diào)用中型殺算法進行計頂算；做（9）大型茄化問題葵大型尸化問題不允置許約束上限敘和下限相等鞋，如若lb譜(2)=忠=ub文(2)，則背給出以下出雙錯信息：中Equal唉uppe地rand詞lowe乞rbou址ndsn挖otpe熱rmitt廳edin駛this荷larg襖e-sca喚leme喚thod.嫁Usee嘩quali貍tyco絡(luò)nstra意ints求andt堤heme煩dium-催scale粱浸metho良dins單tead.吃若優(yōu)化模型菠中只有等式拋約束，仍然磨可以使用大參型算法；如枯果模型中既潔有等式約束年又有邊界約趙束，則必須辜使用中型方猴法。滋中型優(yōu)化問俘題配當解不可行撕時，qua派dprog錫函數(shù)給出以豎下警告：熊Warni秩ng:T閑heco葛nstra典ints燦areo忙verly腸stri敢ngent謊;the桂reis即稻no態(tài)feasi述bles茶oluti鹽on.艦這里，qu虹adpro五g函數(shù)生成主使約束條件沿矛盾最壞程茫度最小的結(jié)故果。箱當?shù)仁郊s束織不連續(xù)時，肆給出下面的貪警告信息：林Warni辣ng:T雅heeq優(yōu)ualit聾ycon聯(lián)strai趕ntsa劣reov懲erly雖strin梳gent;網(wǎng)娃there咸isn勝o艦feasi泉bles幣oluti嚇on.仔當Hess灰ian矩陣牲為負半定時夏，生成無邊希界解，給出池下面的警告稈信息：餓Warni厚ng:T歌heso再lutio塊nis慈unbou惹nded統(tǒng)anda博tinf梨inity缺;the俯cons碑train必tsar稿enot甜rest餐ricti襖veen鹿ough.坦這里，qu幸adpro抱g函數(shù)返回惰滿足約束條納件的x值。斯例10-1幻0亮求解下面革的最優(yōu)化問溫題：目標函數(shù)鑰勺草蛾約束條件劉乞欲定凍圈庭激周鞠全蕉蟲玻乒芹裝解：蒜首先，目標亞函數(shù)寫成下到面的矩陣形認式：浮均沸，針，夏在Matl獄ab中實現(xiàn)罪：住>>H=猛[1-1強;-12賭];詠>>f=滅[-2;-婚6];端>>A=橡[11;貢-12;雜21];切>>b=顆[2;2;慧3];膊>>lb事=zero乓s(2,1傻);閣>>[x殖,fval環(huán),exit華flag,宴outpu肉t,lam勢bda]=煉quadp袋rog(H榨,f,A,葉b,[],究[],lb賄)精Warni問ng:L憐arge-漢scale膊meth近oddo晶esno網(wǎng)tcur臟rentl銜ysol幫veth頭ispr哄oblem吉form巾ulati閃on,均switc條hing欲tome遣dium-財scale圖meth晴od.姐>In降E:\ma勤tlab6防p1\to性olbox錢\opti滴m\qua羽dprog亞.mat毀line獨213靈Optim倒izati偏onte棵rmina絨teds蜓ucces漆sfull湖y.x=便0榮.6667螺1筋.3333發(fā)fval秧=攻-8此.2222晶exitf碰lag=摧允1闊outpu景t=贊根ite特ratio廈ns:3晉預(yù)al俊gorit淚hm:'桌m(xù)ediu著m-sca元le:a椒ctive楊-set'澆f真irsto更rdero匠pt:[園]檢銜cgite懲ratio限ns:[但]饒lambd滿a=單神lowe兔r:[2景x1do生uble]歲大uppe臟r:[2餅x1do遇uble]滑鈔eqli鍋n:[0薄x1do講uble]測熄炭ineql泊in:[漠3x1d犁ouble飯]逢>>la申mbda.數(shù)lowerans=0總址0擊>>la乞mbda.佳ineql酒inans=職3聚.1111同0厘.4444留霜0特10.2.迅3有約束設(shè)規(guī)劃兇函數(shù)：fm繁incon揉功能：住求多變量有縮約束非線性用函數(shù)的最小恐值。數(shù)學模型：脾它剛弦介溜姥恐憐溝想妥興摔納悶言兄爆何親競緞畫奔影腰段景睜抵其中，央，套，簽，島和途為向量，旱和粱為矩陣，投和芬為函數(shù)，返咳回標量。項，和和達可以是非線喂性函數(shù)。勺晉格式：廚x=f揚minco棗n(fun口,x0,A療,b)橋x=f胖minco逝n(fun瞇,x0,A線,b,Ae雕q,beq課)客x=f旬minco包n(fun監(jiān),x0,A接,b,Ae遭q,beq拜,lb,u動b)柳x=f個minco遞n(fun謝,x0,A斥,b,Ae升q,beq衰,lb,u棉b,non情lcon)點x=f輩minco憑n(fun半,x0,A季,b,Ae枯q,beq副,lb,u呈b,non坦lcon,斑optio梁ns)回x=f戴minco蹲n(fun防,x0,A國,b,Ae達q,beq考,lb,u揀b,non崖lcon,涉optio敬ns,P1川,P2,狐...)滲[x,fv看al]=盈fmin兵con(.鹿..)稍[x,fv踏al,ex薄itfla潮g]=也fminc行on(..鉤.)紗[x,fv志al,ex桐itfla誘g,out少put]肅=fmi賣ncon(字...)浩[x,fv饒al,ex假itfla揉g,out撥put,l壁ambda上]=f蓋minco網(wǎng)n(...匙)艦[x,fv簡al,ex果itfla罩g,out漠put,l垮ambda逃,grad合]=f朝minco宿n(...但)揪[x,fv筆al,ex短itfla蘭g,out襲put,l默ambda親,grad窗,hess番ian]見=fmi錄ncon(繭...)說明：盾fminc拾on梨詢求多變量有盆約束非線性陡函數(shù)的最小跡值。該函數(shù)桂常用于有約拼束非線性優(yōu)通化問題。貞x=f羊minco常n(fun貓,x0,A吼,b)掀槍給定初值x芳0，求解f祥un函數(shù)的頁最小值點x澡。fun函滋數(shù)的約束條井件為A*x車<=b，x紅0可以是標鏟量、向量或現(xiàn)矩陣。程x=f傾minco勢n(fun討,x0,A撤,b,Ae衣q,beq雜)竭版最小化fu轉(zhuǎn)n函數(shù)，約顆束條件為A蠅*x<=b假和Aeq*寧x=b澡eq。若沒旅有不等式存謙在，則設(shè)置沸A=[開]，b跑=[]鍋。層x=f鍛minco坊n(fun甘,x0,A削,b,Ae斥q,beq居,lb,u暮b)積圖定義設(shè)計變垂量x的下界筋lb和上界攝ub，使得迅lb<=x鞭<=駝ub。若無腫等式存在，此則令A(yù)eq遵=[袋]，beq劃=[俗]。底x=f我minco衰n(fun搬,x0,A隨,b,Ae私q,beq頂,lb,u山b,non辯lcon)寫術(shù)在上面的基迷礎(chǔ)上，在n召onlco說n參數(shù)中提私供非線性不常等式c(擋x)或等式阿ceq(悅x)。勁fminc苦on珠函數(shù)要求c爬(x)<徒=0且ce阿q(x)盾=0。向當無邊界存良在時，令l證b=[逼]和（或以）ub=境[]。煙x=f式minco利n(fun妖,x0,A貝,b,Ae喉q,beq幫,lb,u蒼b,non腹lcon,鋼optio含ns)瓜隔用充optio涌ns芽參數(shù)指定的婦參數(shù)進行最簡小化。扣x=f繞minco憑n(fun晨,x0,A念,b,Ae妹q,beq平,lb,u盤b,non挺lcon,碰optio馳ns,P1疼,P2,虧...)子薪將問題參數(shù)亦P1，P2剝等直接傳遞裕給函數(shù)fu高n和non般lcon。療若不需要偽參數(shù)搞A傭，拳b終，讓Aeq拴，合beq擴，辮lb挪，淘ub疊，薪nonlc汽on鎖和霉optio遍ns擱，稀將它們設(shè)置陷為稀空矩陣趨。釋[x,fv陰al]=破fmin餓con(.紋..)來擋返回解x處獸的目標函數(shù)鳴值。讓[x,fv障al,ex暴itfla青g]=翁fminc間on(..霸.)列汗返回京exitf烤lag摧參數(shù)，描述肥計算的退出眨條件。恩[x,fv諷al,ex矮itfla酷g,out幣put]社=fmi毀ncon(譜...)月理返回包含優(yōu)稈化信息的結(jié)墊構(gòu)輸出描outpu扣t吳。后[x,fv曠al,ex淡itfla詳g,out貧put,l憂ambda像]=f擇minco量n(...影)堡后返回解x處齊包含Lag集range彼乘子的la冠mbda參典數(shù)。忌[x,fv畏al,ex峰itfla笑g,out鬼put,l潔ambda握,grad瘡]=f護minco興n(...膠)幼婦返回解x處衰fun函數(shù)故的梯度。丹[x,fv邁al,ex音itfla案g,out周put,l咽ambda糾,grad簽,hess似ian]孟=fmi賽ncon(脫...)死旗返回解x處央fun函數(shù)鍬的Hess府ian矩陣縮。困·面nonlc跳on參數(shù)象該參數(shù)計算陽非線性不等嘉式約束c飄(x)<=為0和非線性及等式約束c夠eq(x泰)=0岸。個nonlc尼on權(quán)參數(shù)是一個斷包含函數(shù)名術(shù)的字符串。漁該函數(shù)可以醋是M文件、斯內(nèi)部文件或械MEX文件彩。它要求輸歷入一個向量納x，返回兩窄個變量段——辮解x處的非態(tài)線性不等式校向量c和非攝線性等式向字量ceq。畫例如，若n責onlco衰n=爐‘靈mycon乓’國，則M文件臉mycon峽.m具有下蹦面的形式：猾funct永ion[妖c,ce抵q]=愧mycon董(x)界c=五…娛爪%意計算x處的佛非線性不等梅式濁ceq=抓…姥望%計隙算x處的非斷線性等式宗若還計算了燦約束的梯度激，即安o洪ption瘦s=o靈ptims業(yè)et(飽‘洪GradC竄onstr咸’期,震‘般on證’企)嶺則nonl刷con函數(shù)求必須在第三欠個和第四個偉輸出變量中捧返回c(尤x)的梯度冤GC和ce巖q(x)括的梯度GC走eq。當被往調(diào)用的no康nlcon俘函數(shù)只需要角兩個輸出變錫量（此時優(yōu)脾化算法只需稠要c和ce避q的值，而春不需要GC叫和GCeq粥）時，可以鎖通過查看n欠argou亞t的值來避讀免計算GC肥和GCeq炒的值。除funct后ion杯燙[c,c運eq,G竊C,GC腳eq]=慮myco濤n(x)勤c=只…振蝦%膏解x處的非沫線性不等式牙ceq=撈…莫櫻%解甘x處的非線站性等式胖ifna躍rgout侄>2親%被調(diào)企用的non矩lcon函只數(shù)，要求有票4個輸出變悄量愧G經(jīng)C=響…采%筋不等式的梯業(yè)度林G熔Ceq=塊秩…臥%等式私的梯度end畏若nonl梳con函數(shù)膠返回m元素昆的向量c和構(gòu)長度為n的象x，則c貧(x)的梯馬度GC是一燒個n四×印m的矩陣，母其中GC(披i斤,j)是查c(j)箱對x(i灰)的偏導(dǎo)數(shù)片。同樣，若六ceq是一部個p元素的源向量，則c蹦eq(x直)的梯度G搬Ceq是一浮個n處×四p的矩陣，手其中GCe肌q(格i輝,j)是艘ceq(冶j)對x嘴(i)的偏問導(dǎo)數(shù)。喘其它參數(shù)意盒義同前。注意：依（1）大型送優(yōu)化問題：軌（路1.1）使贈用大型算法生，必須在f捆un函數(shù)中溝提供梯度信秩息（opt演ions.趙GradO帆bj設(shè)置為前’任on磨’肅）。如果沒談有梯度信息觀，則將給出旗警告信息。聲靈F績minco固n函數(shù)允許浩g(x)剛為一近似梯精度，但使用懸真正的梯度零將使優(yōu)化過血程更具穩(wěn)鍵粉性。書（衛(wèi)1.2）烏當對矩陣的霸二階導(dǎo)數(shù)（剝即Hess漲ian矩陣脊）進行計算舊后，用該函松數(shù)求解大型奧問題將更有潤效。但不需妥要求得真正斑的Hess挎ian矩陣揪，如果能提甲供Hess弄ian矩陣漆稀疏結(jié)構(gòu)的撈信息（用o踩ption斬s參數(shù)的H臭essPa廈ttern婚屬性），則好fminc諸on函數(shù)可迷以算得He竄ssian多矩陣的稀疏獎有限差分近準似。纏（續(xù)1.3）若擱x0不是嚴琴格可行的，穩(wěn)則fmin怨con函數(shù)際選擇一個新獻的嚴格可行搶初始點。警（輸1.4）若紅x的某些元冊素沒有上界齊或下界，則牌fminc栽on函數(shù)更車希望對應(yīng)的壤元素設(shè)置為釀I錘nf（對于本上界）或-猜I趨nf（對于尾下界），而麥不希望強制譯性地給上界哀賦一個很大付的值，給下貢界一個很小鼠的負值。甩（過1.5）線結(jié)性約束最小揪化課題中也躍有幾個問題她需要注意：肝灘國·參Aeq矩陣蔥中若存在密御集列或近密貓集列垮（Ade舍nseo搖rfai球rlyd籍ense規(guī)colum序n），會導(dǎo)弦致滿秩并使徹計算費時；踏揀膽·培fminc暮on函數(shù)剔腥除Aeq中捕線性相關(guān)的袍行。此過程淡需要進行反梳復(fù)的因子分痕解，因此，曾如果相關(guān)行護很多的話，劣計算將是一匠件很費時的糖事情；矮密挪·碼每一次迭代岡都要用下式奶進行稀疏最殺小二乘求解叨機燭畢連高其臉中疑為前提條件們的饒Chole握sky攏（喬累斯基典）因子。嫁（2）中型宜優(yōu)化問題：敲（梢2.1）如寨果用Aeq硬和beq清駕楚地提供等煙式約束，將活比用lb和象ub獲得更洪好的數(shù)值解身。急（貪2.2）在皇二次子問題訊中，若有等潔式約束并且設(shè)因等式（d棟epend野ente復(fù)quali陪ties）陣被發(fā)現(xiàn)和剔瞞除的話，將如在過程標題茶中顯示故’匯蔽depen透dent待’登（當out作put參數(shù)舉要求使用o排ption落s.Dis謎play魯=的‘最iter輪’肥）。只有在氧等式連續(xù)的峰情況下，因閉等式才會被號剔除。若等灘式系統(tǒng)不連吼續(xù)，則子問芽題將不可行舒并在過程標結(jié)題中打印拖’抹infea敵sible榆’澤信息。豬（3）求大則型優(yōu)化問題演的代碼中不對允許上限和沸下限相等，戀即不能有l(wèi)遲b(2)曲==ub式(2)，算否則給出下叮面的出錯信猴息：解Equal端uppe泊rand芬lowe鍵rbou草ndsn喊otpe老rmitt嫌edin縮this牌larg背e-sca齒leme拘thod.提Usee便quali挨tyco越nstra貫ints廳andt君heme庫dium-粉scale良meth并odin構(gòu)stead部.具若只有等式朵約束，仍然縮可以使用大介型算法。當弓既有等式約史束又有邊界片約束時，使懲用中型算法帽。翠（4）目標書函數(shù)和約束根函數(shù)都必須征是連續(xù)的，戲否則樣可能會只給貨出局部最優(yōu)辮解。芹（5）當問識題不可行時涌，fmin帳con函數(shù)羊?qū)⒃噲D使最度大約束值最塌小化。組（6）目標睬函數(shù)和約束災(zāi)函數(shù)都必須釋是實數(shù)。紐（7）對于辦大型優(yōu)化問境題，使用大適型優(yōu)化算法德時，用戶必嶄須在fun滔函數(shù)中提供拾梯度晚（opti銹ons參數(shù)軟的Grad沈Obj屬性偏必須設(shè)置為臂’羅on拒’跑）泳，并且只可邀指定上界和押下界約束，軌或者只有線挪性約束必須殲存在，Ae輔q的行數(shù)不模能多于列數(shù)訴。撐（8）如果刮在fun函灑數(shù)中提供了諷解析梯度，竹選項參數(shù)D涼eriva光tiveC酒heck不氧能與大型方巴法一起用，玉以比較解析夾梯度和有限列差分梯度。泛可以通過將掛optio歇ns參數(shù)的急MaxIt危er屬性設(shè)假置為0來用伶中型方法核策對導(dǎo)數(shù)，然閣后用大型方嚇法彎求解問題。薄例10-1登1圣求解下列優(yōu)誕化問題：目標函數(shù)屈范偷約束條件夸齊硬柴解：榮將約束條件名改寫成下面躬的不等式講矩津騙疏貴窗兩個約束條舍件都是線性栽的，在Ma剝tlab中雙實現(xiàn)：免>>x0斬=[10;紡10;10立];熱>>A=欺[-1-繳2-2;扛122福];愚>>b=蟲[0;72京];稠>>[x挎,fval才]=fmi蝴ncon(侮'-x(1之)*x(2憲)*x(3賞)',x0婦,A,b)條Warni哀ng:L軋arge-鄉(xiāng)scale傾(tru臣stre鴉gion)祝meth惜oddo籌esno瘡tcur掏rentl笨ysol僻veth豈isty賊peof訂prob喬lem,燥switc值hing備tome觀dium-路scale凈(lin疲esea弓rch).清>In私E:\ma撒tlab6蹤p1\to賽olbox班\opti圈m\fmi絞ncon.游mat陳line掀213黨Optim羞izati菜onte私rmina君teds沫ucces察sfull寺y:填Magn庫itude貼ofd喝irect螺ional授deri激vativ滴ein帝searc多hdir古ectio法n綢les屑stha旬n2*o迷ption糕s.Tol見Funa頂ndma掉ximum舍cons牙train醒tvio洗latio批n此is臥less特than范optio廟ns.To直lCon技Activ掌eCon勇strai燈nts:脈需2x=塑24植.0000太12荷.0000劃12挨.0000袍fval削=根煉-34炎56歌線性不等式侄約束條件的糊值<=0稈>>A*都x-bans=倚-7鈴2塑嗓0叢例10-1奇2要求表面積質(zhì)為常數(shù)15虎0m核2賊的體積最大隱的長方體體侵積。輛解：脹設(shè)長方體的炒長、寬、高個分別為x剪1棕、x黨2帝和x文3拆，根據(jù)題意詢得到下面的初數(shù)學模型：元口專min英色z=聰-箏頑x居1兩販x智2賠忠x上3牛此蹈惹2(x喘2刻倆x導(dǎo)3適走+黨愛x確3坦肆x慕1佛訊+必捉x共1球好x通2攀)=1宋50科由于約束條逝件是非線性彎等式約束，尤所以需要編糠寫一個約束里條件M文件妻Ex況1012c葛.m：嗚funct終ion[逝c,ceq距]=觀Ex茅1012c梁(x)非ceq=x忙(2)*x葡(3)+x匯(3)*x念(1)+x薦(1)*x語(2)-7夢5童在Matl寒a(chǎn)b中實現(xiàn)稿：缸>>x0徒=[4;5勉;6];站>>lb孔=zero掘s(3,1折);屠>>[x渾,fval材,exit讓flag,吸outpu刊t,lam候bda]=棍fminc丸on('-佛x(1)*罪x(2)*證x(3)'淹,x0,[板],[],簽[],[]島,lb,[賴],@騎Ex啟1012c輪)普Warni缸ng:L夾arge-芽scale巧(tru光stre拳gion)剃meth與oddo槽esno萬tcur她rentl帆ysol閑veth耀isty仙peof蠢prob腐lem,聰switc叫hing驅(qū)tome炭dium-呼scale公(lin耗esea肝rch).忌Optim剛izati鞠onte斧rmina昨teds掙ucces形sfull訂y:沈Sear輝chdi茂recti教onle地ssth真an2*替optio纖ns.To到lXan躍d捐max蛇imum顛const箱raint狀viol悅ation舞isl變esst悠hano雷ption倒s.Tol軟Con莖Activ嘉eCon棋strai蝕nts:鐮令1x=昨5絨.0000襖5躬.0000窩5重.0000跪fval昂=盒-125辣.0000嚇exitf男l(wèi)ag=符置1異outpu盞t=松葉ite殃ratio囑ns:7無漢fu傲ncCou姿nt:3策8灣而s烈tepsi劉ze:1亮鳴al太gorit擴hm:'賠mediu扇m-sca抹le:S煮QP,Q萄uasi-車Newto困