2022-2023學(xué)年浙江省寧波市金蘭教育合作組織數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面幾何里有射影定理：設(shè)三角形的兩邊，是點(diǎn)在上的射影，則.拓展到空間，在四面體中，面，點(diǎn)是在面內(nèi)的射影，且在內(nèi)，類比平面三角形射影定理，得出正確的結(jié)論是（）A． B．C． D．2．過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B． C．10 D．203．下列關(guān)于積分的結(jié)論中不正確的是（）A． B．C．若在區(qū)間上恒正，則 D．若，則在區(qū)間上恒正4．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．2 B．4 C．-2 D．-45．某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生，現(xiàn)從該小組中先后隨機(jī)抽取兩名同學(xué)進(jìn)行成果展示，則在抽到第個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第個(gè)同學(xué)也是男生的概率為（）A． B． C． D．6．若是小于的正整數(shù)，則等于（）A． B． C． D．7．若的展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15，則展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為A． B． C． D．8．（2018年天津市河西區(qū)高三三模）已知雙曲線：的虛軸長(zhǎng)為，右頂點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．9．函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Na,4，且PX>1=0.5A．1B．3C．2D．411．已知復(fù)數(shù)z=2i1-i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．如圖所示的函數(shù)圖象，對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．集合,集合,若,則實(shí)數(shù)_________.14．已知雙曲線E:x2a2-15．已知定義在上的函數(shù)在導(dǎo)函數(shù)為，若，且當(dāng)時(shí)，，則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．16．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為_(kāi)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答.（=1\*ROMANI）求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；（=2\*ROMANII）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答對(duì)甲類題的概率都是，答對(duì)每道乙類題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.用表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知函數(shù).（1）討論在上的單調(diào)性；（2）若對(duì)恒成立，求正整數(shù)的最小值.19．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最大值，并求取最大值時(shí)的取值集合；（Ⅱ）若且，求．20．（12分）在有陽(yáng)光時(shí)，一根長(zhǎng)為3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長(zhǎng)為米，同時(shí)將一個(gè)半徑為3米的球放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分的面積(結(jié)果用無(wú)理數(shù)表示)．21．（12分）已知數(shù)列{an+1﹣an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，a1＝1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{（3n﹣1）?an}的前n項(xiàng)和Sn．22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點(diǎn)的性質(zhì)類比推理到線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理到面的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】由已知在平面幾何中，若中，是垂足，則，類比這一性質(zhì)，推理出：若三棱錐中，面面，為垂足，則．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了類比推理的應(yīng)用，其中類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想），著重考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

判斷函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，得出過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，得出A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，則有，再計(jì)算的值．【詳解】，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴，則．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱性，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題．3、D【解析】

結(jié)合定積分知識(shí)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的奇函數(shù)，所以正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的偶函數(shù)，所以正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒正，所以圖象都在軸上方，故正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若，可知的圖象在區(qū)間上，在軸上方的面積大于下方的面積，故選項(xiàng)D不正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了定積分，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

先求出的值，再由函數(shù)的奇偶性得出可得出結(jié)果．【詳解】由題意可得，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求值，求函數(shù)值時(shí)要結(jié)合自變量的取值選擇合適的解析式來(lái)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

設(shè)事件A表示“抽到個(gè)同學(xué)是男生”，事件B表示“抽到的第個(gè)同學(xué)也是男生”，則，，由此利用條件概率計(jì)算公式能求出在抽到第個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第個(gè)同學(xué)也是男生的概率.【詳解】設(shè)事件A表示“抽到個(gè)同學(xué)是男生”，事件B表示“抽到的第個(gè)同學(xué)也是男生”，則，，則在抽到第個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第個(gè)同學(xué)也是男生的概率.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率的求法、解題的關(guān)鍵是理解題干，并能分析出問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

利用排列數(shù)的定義可得出正確選項(xiàng).【詳解】，由排列數(shù)的定義可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)的表示，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)排列數(shù)的定義將代數(shù)式表示為階乘的形式，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.7、B【解析】由題意知：，所以，故，令得所有項(xiàng)系數(shù)之和為.8、A【解析】分析：由虛軸長(zhǎng)為可得，由到漸近線的距離為可解得，從而可得結(jié)果.詳解：由虛軸長(zhǎng)為可得，右頂點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線距離為，，解得，則雙曲線的方程為，故選A.點(diǎn)睛：用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.9、C【解析】

先由函數(shù)是奇函數(shù)求出，化原不等式為，再由函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，若，則，所以不等式可化為，又在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，熟記函數(shù)基本性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.10、A【解析】試題分析：正態(tài)分布曲線關(guān)于均值對(duì)稱，故均值a=1,選A.考點(diǎn)：正態(tài)分布與正態(tài)曲線.11、C【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到答案．詳解：由題意，復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1)，位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示，其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．12、D【解析】

對(duì)B選項(xiàng)的對(duì)稱性判斷可排除B.對(duì)選項(xiàng)的定義域來(lái)看可排除，對(duì)選項(xiàng)中，時(shí)，計(jì)算得，可排除，問(wèn)題得解．【詳解】為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除B.函數(shù)的定義域?yàn)?，排?對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，排除故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱性、定義域、函數(shù)值的判斷與計(jì)算，考查分析能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

解一元二次方程化簡(jiǎn)集合的表示,再根據(jù)可以分類求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】.因?yàn)?所以.當(dāng)時(shí),這時(shí)說(shuō)明方程無(wú)實(shí)根,所以；當(dāng)時(shí),這時(shí)說(shuō)明是方程的實(shí)根,故；當(dāng)時(shí),這時(shí)說(shuō)明是方程的實(shí)根,故；因?yàn)榉匠套疃嘤幸粋€(gè)實(shí)數(shù)根,故不可能成立.故答案為：14、2【解析】

可令x=c，代入雙曲線的方程，求得y=±b2a，再根據(jù)題意，設(shè)出A,B,C,D的坐標(biāo)，由2AB=3【詳解】令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b由題意可設(shè)A(-c,b由2AB=3BC，由b2=c2-a2故答案是2.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性，得到四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用雙曲線中系數(shù)的關(guān)系，以及雙曲線的離心率的公式求得結(jié)果.15、【解析】分析：根據(jù)條件得到函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用特殊值法進(jìn)行求解即可.詳解：由，得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則不等式等價(jià)為，即，即，得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.點(diǎn)睛：本題主要考查不等式的求解，利用條件判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，利用特殊值法是解決本題的關(guān)鍵.16、【解析】

分n=k和n=k+1寫(xiě)出等式左邊的項(xiàng)，對(duì)比可得增加的項(xiàng)?！驹斀狻慨?dāng)n=k時(shí)，左邊是，當(dāng)時(shí)左邊是,所以增加的項(xiàng)為，填。【點(diǎn)睛】運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè))假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（=1\*ROMANI）（=2\*ROMANII）X0123P【解析】（=1\*ROMANI）解法一解法二（=2\*ROMANII）X所有可能取值為0,1,2,3.,,,所求的分布列為X0123P第一小問(wèn)可以從兩個(gè)方面去思考，一是間接法，就是張同學(xué)1道乙類題都沒(méi)有取到的取法是多少？二是直接法，就是取一道乙類題和兩道甲類體；兩道乙類題和一道甲類體；三道乙類題。三種情況加起來(lái)就是共有多少種取法。第二問(wèn)一是思考隨機(jī)變量的所有可能取值，二是算出對(duì)應(yīng)的概率，其中X=1和X=2要注意有兩種情形。最后利用數(shù)學(xué)期望的公式求解。【考點(diǎn)定位】本題考查古典概型，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的定義。18、(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;(2)5.【解析】分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分類討論即可；（2）∵對(duì)恒成立，∴，解得或，則正整數(shù)的最小值為.即只需要證明當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立即可.詳解：（1），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)或時(shí)，，在單調(diào)遞減.當(dāng)且時(shí)，令，得；令，得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）∵對(duì)恒成立.∴，解得或，則正整數(shù)的最小值為.下面證明當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，過(guò)程如下：當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.故，從而對(duì)恒成立.故整數(shù)的最小值為.點(diǎn)睛：不等式的證明問(wèn)題，可以從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合已有的知識(shí)利用轉(zhuǎn)化與化歸思想.19、（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求出取最大值時(shí)的取值集合．（Ⅱ）根據(jù)且，求得，再利用兩角差的余弦公式求出．【詳解】（Ⅰ）∴，由，得（Ⅱ）由得，得若，則，所以，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的最值，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．20、6π(米2)【解析】

先求出射影角，再由射影比例求球的陰影部分的面積?！驹斀狻拷猓河深}意知，光線與地面成60°角，設(shè)球的陰影部分面積為S，垂直于光線的大圓面積為S′，則Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6π(米2)【點(diǎn)睛】先求出射影角，再由射影比例求球的陰影部分的面積。21、（Ⅰ）an＝；（Ⅱ）Snn（3n+1）+5﹣（3n+5）?（）n．【解析】

（Ⅰ）先求{an+1﹣an}的通項(xiàng)公式，再利用迭代法可得通項(xiàng)公式；（Ⅱ）根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，利用分組和錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.【詳解】（Ⅰ）數(shù)列{an+1﹣an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，a1＝1，可得an+1﹣an?（）n﹣1＝（）n+1，，即有an＝a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）＝1（）n；所以.（Ⅱ）（3n﹣1）?an（3n﹣1）﹣（3n﹣1）?（）n，前n項(xiàng)和Sn（2+5++3n﹣1）﹣[2×5×（3n﹣1）?（）n]，設(shè)Tn＝2×5×（3n﹣1）?（）n，Tn＝2×5×（3n﹣1）?（）n+1，兩式相減可得Tn＝1+3（（）n）﹣（3n﹣1）?（）n+1＝1+3×（3n﹣1）?（）n+1，化簡(jiǎn)可得Tn＝5﹣（3n+5）?（）n，則Snn（3n+1）﹣5+（3n+5）?（）n．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式求法及數(shù)列求和，結(jié)合通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇合適的方法進(jìn)行求和，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).22、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；（3）見(jiàn)解析．【解析】【試題分析】（1）直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，借助導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求出其單調(diào)區(qū)間；（2）先將不等式中參數(shù)分離分離出來(lái)可得：，再構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得，借助，推得，從而在上單調(diào)遞減，，進(jìn)而求得；（3）先將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，由（2）知時(shí)，恒成立，所以，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，因此時(shí)，有：解：（1））當(dāng)時(shí)