2023屆湖北省三校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在含有2件次品的6件產(chǎn)品中任取3件，恰有1件次品的概率為（）A． B． C． D．2．“中國夢(mèng)”的英文翻譯為“”，其中又可以簡寫為，從“”中取6個(gè)不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種3．當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳的含量大約每經(jīng)過年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)一批魚化石，經(jīng)檢測其碳14含量約為原始含量的，則該生物生存的年代距今約（）A．萬年 B．萬年 C．萬年 D．萬年4．若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為()A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的第項(xiàng)是二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)，則（）A．B．C．D．6．在極坐標(biāo)中，O為極點(diǎn)，曲線C：ρ=2cosθ上兩點(diǎn)A、A．34 B．34 C．37．用，，，，這個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)8．以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．8 B．6 C．4 D．29．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．10．將4名志愿者分別安排到火車站、輪渡碼頭、機(jī)場工作，要求每一個(gè)地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙兩名志愿者不安排在同一個(gè)地方工作，則不同的安排方法共有A．24種 B．30種 C．32種 D．36種11．已知，，，則（）A． B． C． D．12．傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線：的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，分別位于軸的左、右兩側(cè)），，則的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在正方體中，與所成角的大小為________.14．觀察下面一組等式：，，，，根據(jù)上面等式猜測，則__________．15．設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集是______.16．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)任意的：，存在零點(diǎn)，求的取值范圍.19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，求；（3）若存在，使得成立，求出實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，正四棱柱的底面邊長，若異面直線與所成角的大小為，求正四棱柱的體積.22．（10分）在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

求出基本事件的總數(shù)和恰有1件次品包含的基本事件個(gè)數(shù)即可.【詳解】在含有2件次品的6件產(chǎn)品中任取3件，基本事件的總數(shù)為：恰有1件次品包含的基本事件個(gè)數(shù)為在含有2件次品的6件產(chǎn)品中任取3件，恰有1件次品的概率為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是古典概型及組合的知識(shí)，較簡單.2、C【解析】從其他5個(gè)字母中任取4個(gè),然后與“”進(jìn)行全排列,共有,故選B.3、C【解析】

根據(jù)實(shí)際問題，可抽象出，按對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)該生物生存的年代距今是第個(gè)5730年，到今天需滿足，解得：，萬年.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算能力.4、D【解析】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，-4），故選D.考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】漸近線是雙曲線獨(dú)特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問題時(shí)，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突破口.與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：（1）與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；（2）若漸近線方程為，則可設(shè)為；（3）雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長；（4）的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大?。硗饨鉀Q不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是確定極端或極限位置.5、C【解析】試題分析：二項(xiàng)式展開中常數(shù)項(xiàng)肯定不含，所以為，所以原二項(xiàng)式展開中的常數(shù)項(xiàng)應(yīng)該為，即，則，故本題的正確選項(xiàng)為C.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.6、A【解析】

將A、B兩點(diǎn)的極角代入曲線C的極坐標(biāo)方程，求出OA、OB，將A、B的極角作差取絕對(duì)值得出∠AOB，最后利用三角形的面積公式可求出ΔAOB的面積?！驹斀狻恳李}意得：A3,π6、所以SΔAOB=1【點(diǎn)睛】本題考查利用極坐標(biāo)求三角形的面積，理解極坐標(biāo)中極徑、極角的含義，體會(huì)數(shù)與形之間的關(guān)系，并充分利用正弦、余弦定理以及三角形面積公式求解弦長、角度問題以及面積問題，能起到簡化計(jì)算的作用。7、B【解析】

利用分類計(jì)數(shù)原理，個(gè)位數(shù)字為時(shí)有；個(gè)位數(shù)字為或時(shí)均為，求和即可.【詳解】由已知得：個(gè)位數(shù)字為的偶數(shù)有，個(gè)位數(shù)字為的偶數(shù)為，個(gè)位數(shù)字為的偶數(shù)有，所以符合條件的偶數(shù)共有.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)運(yùn)算、排列、組合，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】試題分析：如圖，設(shè)拋物線方程為，交軸于點(diǎn)，則，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，故選B.考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì).9、B【解析】由題設(shè)可得，即，解之得，即；結(jié)合圖形可得，即，應(yīng)選答案B。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是建構(gòu)不等式（組），求解時(shí)先依據(jù)題設(shè)條件，將點(diǎn)代入橢圓方程得到，即，解之得，從而求得，然后再借助與橢圓的幾何性質(zhì)，建立了不等式，進(jìn)而使得問題獲解。10、B【解析】

利用間接法，即首先安排4人到三個(gè)地方工作的安排方法數(shù)N，再求出當(dāng)甲、乙兩名志愿者安排在同一個(gè)地方時(shí)的安排方法數(shù)n，于是得出答案N-n。【詳解】先考慮安排4人到三個(gè)地方工作，先將4人分為三組，分組有C42種，再將這三組安排到三個(gè)地方工作，則安排4人到三個(gè)地方工作的安排方法數(shù)為當(dāng)甲、乙兩名志愿者安排在同一個(gè)地方時(shí)，則只有一個(gè)分組情況，此時(shí)，甲、乙兩名志愿者安排在同一個(gè)地方工作的安排方法數(shù)為n=A因此，所求的不同安排方法數(shù)為N-n=36-6=30種，故選：B。【點(diǎn)睛】本題考查排列組合綜合問題的求解，當(dāng)問題分類情況較多或問題中帶有“至少”時(shí)，宜用間接法來考查，即在總體中減去不符合條件的方法數(shù)，考查分析問題的能力和計(jì)算能力，屬于中等題。11、C【解析】

通過分段法，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷出，由此選出正確結(jié)論.【詳解】解：∵，，，；∴.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)比較大小，考查分段法比較大小，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

設(shè)，則，由拋物線的定義，得，，進(jìn)而可求BE、AE，最后由可求解.【詳解】設(shè)，則A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別為AC、BD，由拋物線的定義可知：，過A作，垂足為E..故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

記點(diǎn)正上方的頂點(diǎn)為，在正方體中，得到即是與所成的角，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】如圖，記點(diǎn)正上方的頂點(diǎn)為，在正方體中，顯然，所以即是與所成的角，易得：故答案：【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，在幾何體中作出異面直線所成的角，即可求解，屬于?？碱}型.14、【解析】由已知可得，因此，從而．點(diǎn)睛：歸納推理是通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)，從已知相同本質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題，本題是數(shù)的歸納，它包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系有關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等．15、【解析】

根據(jù)題意,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性,再把不等式化為,利用單調(diào)性求出不等式的解集.【詳解】解:根據(jù)題意,令,其導(dǎo)函數(shù)為時(shí),,,在上單調(diào)遞增;又不等式可化為,即,;解得,該不等式的解集是為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題,也考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式的解集的問題,是綜合性題目.16、【解析】

由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知與關(guān)于對(duì)稱，從而列方程求解即可.【詳解】隨機(jī)變量，其正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，由于，所以與關(guān)于對(duì)稱.，解得：.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性及概率的簡單計(jì)算.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)解析式求出g（x）的定義域和g′（x），再求出臨界點(diǎn)，求出g′（x）<0和g′（x）>0對(duì)應(yīng)的解集，再表示成區(qū)間的形式，即所求的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出f（x）的定義域和f′（x），把條件轉(zhuǎn)化為f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，再對(duì)f′（x）進(jìn)行配方，求出在x∈（1，+∞）的最大值，再令f′（x）max≤0求解；（3）先把條件等價(jià)于“當(dāng)x∈[e，e2]時(shí)，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得f′（x）max，并把它代入進(jìn)行整理，再求f′（x）在[e，e2]上的最小值，結(jié)合（2）求出的a的范圍對(duì)a進(jìn)行討論：和，分別求出f′（x）在[e，e2]上的單調(diào)性，再求出最小值或值域，代入不等式再與a的范圍進(jìn)行比較．【詳解】由已知函數(shù)的定義域均為，且（1）函數(shù)，則，當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）因在上為減函數(shù)，故在上恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，又，故當(dāng)，即時(shí)，,所以于是，故的最小值為；（3）命題“若使成立”等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”，由（2），當(dāng)時(shí)，，∴，問題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”，①當(dāng)時(shí)，由（2），在上為減函數(shù)，則，故.②當(dāng)時(shí)，由于在上為增函數(shù)，故的值域?yàn)?，?由的單調(diào)性和值域知，唯一，使，且滿足：當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；所以，，.所以，，與矛盾，不合題意.綜上，得.【點(diǎn)睛】本題是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本問題，主要依據(jù)“在給定區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)值非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)”.確定函數(shù)的極值，遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，研究單調(diào)性，求極值”.不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得到解決.本題的難點(diǎn)在于利用轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用.18、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)切線、函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值計(jì)算解析式；（2）計(jì)算出在時(shí)的值域，再根據(jù)求解出的范圍.【詳解】解：（1）∵，∴，，∵，∴，①∵的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，∴當(dāng)時(shí)，，且切線斜率，則，②.，③，聯(lián)立解得，，，即；（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又，，，.所以因?yàn)閷?duì)任意的，存在零點(diǎn)，所以，即，所以【點(diǎn)睛】對(duì)于形如的函數(shù)零點(diǎn)問題，可將其轉(zhuǎn)化為的方程根的問題，或者也可以利用與的函數(shù)圖象交點(diǎn)來解決問題.19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)與之間關(guān)系，由題中條件，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意，得到，再由（1）的結(jié)果，根據(jù)裂項(xiàng)求和的方法，即可求出結(jié)果；（3）先由題意，得到存在，使得成立，求出的最小值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合上式，；（2），.（3）存在，使得成立，存在，使得成立，即有解，，而，當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查由前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和問題，以及數(shù)列不等式能成立的問題，熟記與之間關(guān)系，以及裂項(xiàng)求和的方法求數(shù)列的和即可，屬于常考題型.20、（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由絕對(duì)值的意義，利用零點(diǎn)分段法解不等式；（Ⅱ）通過變形，將在上恒成立，轉(zhuǎn)化為，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可求得的最小值，繼而得到的范圍。【詳解】(I)依題意，當(dāng)時(shí)，原式化為解得.故,當(dāng)時(shí),原式化為解得，故;當(dāng)時(shí)，原式化為：，解得：，故，解集為：或.（II）即：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；故，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法以及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)應(yīng)用，意在考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。21、16【解析】分析：由正四棱柱的性質(zhì)得，從而，