2022北京人朝分校高二（下）期中數(shù)學試題及答案解析

1/12022北京人朝分校高二（下）期中數(shù)學一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意）1．（5分）已知物體的運動方程為是時間，是位移），則物體在時刻時的速度為A． B． C． D．2．（5分）甲、乙、丙、丁4名同學和1名老師站成一排合影留念，要求老師必須站在中間，則不同站法種數(shù)為A．12 B．24 C．48 D．1203．（5分）某市2016年至2020年新能源汽車年銷量（單位：百臺）與年份代號的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代號01234年銷量10153035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得關于的回歸直線方程為，則表中的值為A．22 B．20 C．30 D．32.54．（5分）已知100個產(chǎn)品中，有83個產(chǎn)品長度合格，90個產(chǎn)品質量合格，80個產(chǎn)品長度和質量都合格．現(xiàn)任取一個產(chǎn)品，若它的質量合格，則它長度合格的概率為A． B． C． D．5．（5分）若甲組樣本數(shù)據(jù)，，，（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2，方差為4，乙組樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為4，則下列說法錯誤的是A．的值為 B．乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為36 C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一定相同 D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同6．（5分）某市高三年級共有14000人參加教學質量檢測，學生的數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布（試卷滿分150分），且，據(jù)此可以估計，這次檢測數(shù)學成績在80到90分之間的學生人數(shù)為A．2800 B．4200 C．5600 D．70007．（5分）已知函數(shù)和的導函數(shù)，圖象分別如圖所示，則關于函數(shù)的判斷正確的是A．有3個極大值點 B．有3個極小值點 C．有1個極大值點和2個極小值點 D．有2個極大值點和1個極小值點8．（5分）已知可導函數(shù)的定義域為，且，若，則A．（a）（b） B．（a）（b） C．（a）（b） D．（a），（b）的大小關系不能確定9．（5分）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立 C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立10．（5分）在下列函數(shù)①；②；③；④中，滿足在定義域內(nèi)恒成立的函數(shù)個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：（本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上）11．（5分）的展開式中各項二項式系數(shù)之和為32，則，展開式中的常數(shù)項為．12．（5分）下表記錄了某地區(qū)一年之內(nèi)的月降水量．月份123456789101112月降水量584853465656517156536466根據(jù)上述統(tǒng)計表，該地區(qū)月降水量的中位數(shù)是；分位數(shù)是．13．（5分）如圖為某校1000名高一學生的體育測試成績的頻率分布直方圖，如果要按照分層抽樣方式抽取200名學生進行分析，則要抽取的，之間的學生人數(shù)是；估計這1000名學生的體育測試平均成績?yōu)椋?4．（5分）若函數(shù)在，上的最大值為，則的值為．15．（5分）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響．隨機變量表示在3次活動中甲獲勝的次數(shù)，則；．16．（5分）記，分別為函數(shù)，的導函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”．已知，函數(shù)與，給出下列四個結論：①存在正數(shù)，使得與恰有1個“點”；②存在正數(shù)，使得與恰有2個“點”；③存在負數(shù)，使得與恰有1個“點”；④存在負數(shù)，使得與恰有2個“點”．其中所有正確結論的序號是．三、解答題：（本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（14分）2018年8月16日，中共中央政治局常務委員會召開會議，聽取關于吉林長春長生公司問題疫苗案件調(diào)查及有關問責情況的匯報，中共中央總書記習近平主持會議并發(fā)表重要講話．會議強調(diào)，疫苗關系人民群眾健康，關系公共衛(wèi)生安全和國家安全．因此，疫苗行業(yè)在生產(chǎn)、運輸、儲存、使用等任何一個環(huán)節(jié)都容不得半點瑕疵．國家規(guī)定，疫苗在上市前必須經(jīng)過嚴格的檢測，并通過臨床實驗獲得相關數(shù)據(jù)，以保證疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所將某一型號疫苗用在動物小白鼠身上進行科研和臨床實驗，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：未感染病毒感染病毒總計未注射疫苗40注射疫苗60總計100100200現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為．（Ⅰ）求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，，，的值；（Ⅱ）能否有把握認為注射此種疫苗有效？請說明理由；（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只進行病例分析，然后從這五只小白鼠中隨機抽取3只對注射疫苗情況進行核實，記為3只中未注射疫苗的小白鼠的只數(shù)，求的分布列和期望．附：，．0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.82818．（13分）北京地鐵八通線西起四惠站，東至土橋站，全長，共設13座車站．目前八通線執(zhí)行2014年12月28日制訂的計價標準，各站間計程票價（單位：元）如下：四惠333344455555四惠東33344455555高碑店3334444555傳媒大學333444455雙橋33344444管莊3333444八里橋333344通州北苑33333果園3333九棵樹333梨園33臨河里3土橋四惠四惠東高碑店傳媒大學雙橋管莊八里橋通州北苑果園九棵樹梨園臨河里土橋（Ⅰ）在13座車站中任選兩個不同的車站，求兩站間票價不足5元的概率；（Ⅱ）甲乙二人從四惠站上車乘坐八通線，各自任選另一站下車（二人可同站下車），記甲乙二人乘車購票花費之和為元，求的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通線，甲從四惠站上車，任選另一站下車，記票價為元；乙從土橋站上車，任選另一站下車，記票價為元．試比較和的方差和大?。ńY論不需要證明）19．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求曲線在，（1）處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）當時，求函數(shù)在區(qū)間，上的最小值．20．（14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求的最小值；（Ⅱ）證明：當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點．21．（14分）若數(shù)列中存在三項，按一定次序排列構成等比數(shù)列，則稱為“等比源數(shù)列”．（1）已知數(shù)列為4，3，1，2，數(shù)列為1，2，6，24，分別判斷，是否為“等比源數(shù)列”，并說明理由；（2）已知數(shù)列的通項公式為，判斷是否為“等比源數(shù)列”，并說明理由；（3）已知數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且，，求證：為“等比源數(shù)列”．

參考答案一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意）1．【分析】根據(jù)位移的導數(shù)是速度，求出的導函數(shù)即速度與時間的函數(shù)，將2代入求出物體在時刻時的速度．【解答】解：物體的運動速度為所以物體在時刻時的速度為（2）故選：．【點評】本題考查導數(shù)在物理上的應用：對物體位移求導得到物體的瞬時速度．2．【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：先將甲、乙、丙、丁4名同學全排列，再將老師安排在中間，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，將甲、乙、丙、丁4名同學全排列，有種排法，老師必須站在中間，有1種安排方法，則有種站法；故選：．【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題．3．【分析】根據(jù)已知條件，求出，的平均值，再結合線性回歸方程過樣本中心，即可求解．【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得，，，用最小二乘法求得關于的回歸直線方程為，，解得．故選：．【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質，以及平均值的求解，屬于基礎題．4．【分析】由題意可得100個產(chǎn)品中，質量合格的產(chǎn)品有90個，其中質量合格的產(chǎn)品有80個，再結合古典概型及其概率計算公式求解即可．【解答】解：由題意可得100個產(chǎn)品中，質量合格的產(chǎn)品有90個，其中質量合格的產(chǎn)品有80個，則任取一個產(chǎn)品，若它的質量合格，則它長度合格的概率為，故選：．【點評】本題考查了古典概型及其概率計算公式，屬基礎題．5．【分析】對于，結合平均數(shù)公式，即可求解，對于，結合方差公式，即可求解，對于，結合中位數(shù)的定義，即可求解，對于，結合極差的定義，即可求解．【解答】解：甲組樣本數(shù)據(jù)，，，（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2，方差為4，又乙組樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為4，，解得，故正確，乙組樣本數(shù)據(jù)方差為，故正確，設甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)不一定相同，故錯誤，甲組數(shù)據(jù)的極差為，則甲組數(shù)據(jù)的極差為，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同，故正確．故選：．【點評】本題主要考查統(tǒng)計的知識，考查轉化能力，屬于基礎題．6．【分析】利用正態(tài)分布的對稱性可得，可得，即可得出結論．【解答】解：近似服從正態(tài)分布（試卷滿分150分），且，，，這次檢測數(shù)學成績在80到90分之間的學生人數(shù)，故選：．【點評】本題考查了正態(tài)分布的性質及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．7．【分析】由已知結合函數(shù)的單調(diào)性與極值的關系進行分析即可求解．【解答】解：結合函數(shù)圖象可知，當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在，處取得極大值，在處取得極小值．故選：．【點評】本題主要考查了函數(shù)極值的判斷，屬于基礎試題．8．【分析】令，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【解答】解：令，則，，，在遞增，若，則（a）（b），即，即（a）（b），故選：．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查轉化思想，是中檔題．9．【分析】分別列出甲、乙、丙、丁可能的情況，然后根據(jù)獨立事件的定義判斷即可．【解答】解：由題意可知，兩點數(shù)和為8的所有可能為：，，，，，兩點數(shù)和為7的所有可能為，，，，，，（甲，（乙，（丙，（丁，（甲丙）（甲（丙，（甲?。祝ǘ?，（乙丙）（乙（丙，（丙?。ūǘ。蔬x：．【點評】本題考查相互獨立事件的應用，要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，屬于中檔題．10．【分析】分別求得給出的函數(shù)的導數(shù)，結合因式分解和導數(shù)的運用，求得最值，可判斷結論．【解答】解：對于①，，，即，故①不滿足題意；對于②，導數(shù)為，設，，當時，，遞增；當時，，遞減．所以在處取得最小值0，即，故②符合題意；對于③，導數(shù)為，設，，由，可得有無數(shù)個解，故③不符合題意；對于④，導數(shù)為，，即，故④滿足題意．故選：．【點評】本題考查函數(shù)恒成立問題解法，以及導數(shù)的運用，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．二、填空題：（本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上）11．【分析】由已知即可求出的值，再求出展開式的通項公式，令的指數(shù)為0，進而可以求解．【解答】解：由已知可得，則，所以二項式的的這款是的通項公式為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為，故答案為：5；10．【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題．12．【分析】把表中數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列，再求中位數(shù)和百分位數(shù)．【解答】解：把表中數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71；計算中位數(shù)是；因為，所以分位數(shù)是第10個數(shù)據(jù)，是64．故答案為：56；64．【點評】本題考查了中位數(shù)和百分位數(shù)的計算問題，是基礎題．13．【分析】根據(jù)已知條件，結合頻率與頻數(shù)的關系，以及平均數(shù)公式，即可求解．【解答】解：抽取的，之間的頻率為，抽取的，之間的學生人數(shù)是，估計這1000名學生的體育測試平均成績?yōu)椋蚀鸢笧椋?0，73．【點評】本題主要考查頻率與頻數(shù)的關系，以及平均數(shù)公式，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎題．14．【分析】由已知得，由，得或，由此利用導數(shù)性質求出函數(shù)在，上的最大值為，由此能求出的值．【解答】解：，，由，得或，，，，，函數(shù)在，上的最大值為，解得．故答案為：2．【點評】本題考查函數(shù)的最值的求法，是中檔題，解題時要注意導數(shù)性質的合理運用．15．【分析】首先根據(jù)甲猜對乙沒有猜對可求出一次活動中，甲獲勝的概率，進而可計算在3次活動中，甲至少獲勝2次分為甲獲勝2次和3次都獲勝求解．根據(jù)二項分布的方差公式求．【解答】解：由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為，則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為；根據(jù)題意可知，，所以，故答案為：；．【點評】本題考查了獨立重復實驗概率的計算與方差的求解，屬于基礎題．16．【分析】根據(jù)題意得到方程組，消去后得到，通過研究的單調(diào)性得到國像，進而通過與的交點情況得到答案．【解答】解：函數(shù)與，假設是函數(shù)與的一個“點”，則有：，②①得：，令，，當時，，當時，，當時，，故在時取得極小值，，當時，，當時，，畫出圖象如下：當時，與有且只有一個交點，所以存在正數(shù)，使得與恰有1個“點”，①正確，②錯誤；當，時，與有一個交點，故存在負數(shù)，使得與恰有1個“點”，③正確；當（時，與有兩個交點，存在負數(shù)，使得與恰有2個“點”，④正確．故答案為：①③④．【點評】本題考查了函數(shù)與方程的綜合應用，用到了數(shù)形結合的思想，屬于難題．三、解答題：（本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．【分析】根據(jù)已知條件，結合頻率與頻數(shù)的關系，以及列聯(lián)表之間的數(shù)據(jù)關系，即可求解．根據(jù)已知條件，結合獨立性檢驗公式，即可求解．由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例為，故抽取的5只小白鼠中，有3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，從中抽取3只，則的可能取值為1，2，3，分別求出對應的概率，再結合期望公式，即可求解．【解答】解：從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為，，解得，則，，．，沒有把握認為注射此種疫苗有效．由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例為，故抽取的5只小白鼠中，有3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，從中抽取3只，則的可能取值為1，2，3，，，，故的分布列為：123故．【點評】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列，需要學生熟練掌握期望公式，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）記兩站間票價不足5元為事件，在13座車站中任選兩個不同的車站，基本事件總數(shù)為個，事件中基本事件數(shù)為．由此能求出兩站間票價不足5元的概率．（Ⅱ）記甲乙花費金額分別為元，元．的所有可能取值為6，7，8，9，10，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列．（Ⅲ）．【解答】解：（Ⅰ）記兩站間票價不足5元為事件，在13座車站中任選兩個不同的車站，基本事件總數(shù)為個，事件中基本事件數(shù)為．所以兩站間票價不足5元的概率（A）．（3分）（Ⅱ）記甲乙花費金額分別為元，元．的所有可能取值為6，7，8，9，10．（4分），（5分），（6分），（7分），（8分）．（9分）所以的分布列為678910（10分）（Ⅲ）甲乙二人只乘坐八通線，甲從四惠站上車，任選另一站下車，記票價為元，乙從土橋站上車，任選另一站下車，記票價為元．和的方差和大小相等，．（13分）【點評】本題考查概率、離散型隨機變量的分布列、方差的求法，考查列舉法、古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．19．【分析】（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)的集合意義求解；（Ⅱ）轉化成討論導數(shù)的符號；（Ⅲ）利用（Ⅱ），討論極值點與定區(qū)間的關系，再數(shù)形結合得最小值．【解答】解：（Ⅰ）時，，，（1），（1），曲線在，（1）處的切線方程為：；（Ⅱ），，①當時，，僅有單調(diào)增區(qū)間，其為：；②當時，，當時；當時，，的單調(diào)減區(qū)間為：，單調(diào)增區(qū)間為：；③當時，，當時；當時，，的單調(diào)減區(qū)間為：，單調(diào)增區(qū)間為：，綜合得：當時，僅有單調(diào)增區(qū)間，其為：；當時，的單調(diào)減區(qū)間為：，單調(diào)增區(qū)間為：；當時，的單調(diào)減區(qū)間為：，單調(diào)增區(qū)間為：．（Ⅲ）當時