2022-2023學(xué)年山西省太原市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷及答案解析

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年山西省太原市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.復(fù)數(shù)1?i的共軛復(fù)數(shù)為(

)A.?1+i B.?1?i2.已知向量a,b滿足|a|=A.6 B.8 C.10 D.123.已知復(fù)數(shù)z=(1?A.z的虛部為4 B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限

C.z2=204.已知向量a=(2,2),b=(A.15 B.55 C.5.已知一圓錐的母線長為3，側(cè)面積為35π，則該圓錐的高為A.2 B.5 C.4 D.6.在四邊形ABCD中，若AB+CA.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形7.在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，且DFA.6 B.5 C.4 D.38.已知△ABC的面積為23A.3 B.23 C.二、多選題（本大題共4小題，共12.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列結(jié)論正確的是(

)A.三角形的直觀圖是三角形 B.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形

C.正方形的直觀圖是正方形 D.菱形的直觀圖是菱形10.已知復(fù)數(shù)z1，z2，則下列結(jié)論正確的是(

)A.|z1|+|z2|≥|z?1+z?2|

B.若|z1|>11.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,A.若OP//BC，則m+n=0

B.若點(diǎn)P在BC上，則m+n=1

C.12.半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，若它的所有棱長都為2，則(

)A.被截正方體的棱長為2

B.被截去的一個(gè)四面體的體積為43

C.該二十四等邊體的體積為203

D.三、填空題（本大題共4小題，共16.0分）13.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=214.如圖所示的圖案，是由圓柱、球和圓錐組成，已知球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面，則圖案中圓錐、球、圓柱的體積V圓錐：V球：V圓柱=

15.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于______

16.已知向量|a|=|b|=a?b=四、解答題（本大題共7小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題8.0分)

已知復(fù)數(shù)z1=1+ai(a∈R)，且z1?(3+i18.(本小題10.0分)

如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC邊上的中線AM，BN19.(本小題10.0分)

如圖，矩形O′A′B′C′是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個(gè)平面四邊形OABC的直觀圖，其中O′A′=3，O20.(本小題10.0分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量m=(2b?c,cosC)與向量n=(21.(本小題12.0分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量m=(2b?c,cosC)與向量n=(22.(本小題10.0分)

如圖所示，是一塊三角形空地，其中OA=3km，OB=33km,∠AOB=90°.當(dāng)?shù)卣?jì)劃將這塊空地改造成一個(gè)休閑娛樂場所，擬在中間挖一個(gè)人工湖△OMN，其中M，N在邊AB上，且∠23.(本小題12.0分)

如圖所示，是一塊三角形空地，其中OA=3km，OB=33km,∠AOB=90°.當(dāng)?shù)卣?guī)劃將這塊空地改造成一個(gè)休閑娛樂場所，擬在中間挖一個(gè)人工湖△OMN，其中M，N在邊AB上，且∠

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：復(fù)數(shù)1?i的共軛復(fù)數(shù)為1+i．

故選：C．

2.【答案】B

【解析】解：∵|a|=2,a?b=?2，3.【答案】D

【解析】解：z=(1?i)(3i?1)?i=2+4i?i=?4+2i，

則z的虛部為2，故A錯(cuò)誤；

復(fù)數(shù)4.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)a與b夾角為θ，

若向量a=(2,2),b=(m,?1)，則a?2b=(2?2m,4)，

若a⊥(a?2b)，則a5.【答案】A

【解析】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，母線長l=3，

∴其側(cè)面積S=πrl=3πr=35π，∴6.【答案】C

【解析】解：∵AB+CD=0，∴AB//CD且AB=CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB?AD=DB，AB+AD7.【答案】D

【解析】解：如圖，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，邊BC，BA所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意設(shè)E(x,0)，(0≤x≤2)，F(xiàn)(2,x)，

∴BF=(2,x),EF=(2?x,x)，

∴B8.【答案】A

【解析】解：由于△ABC的面積為23,AB=2,∠B=π3，

則12?AB?BC?sinB9.【答案】AB【解析】解：由斜二測直觀圖的畫法規(guī)則，平行依舊垂改斜，橫等縱半豎不變，可知三角形的直觀圖還是三角形，故A正確；

平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，所以B正確；

長方形跟正方形的直觀圖是平行四邊形，故C錯(cuò)誤；

菱形的直觀圖是平行四邊形，故D錯(cuò)誤．

故選：AB．

根據(jù)斜二測直觀圖的畫法規(guī)則，對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果．

本題主要考查平面圖形的直觀圖與斜二測畫法，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】AC【解析】解：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,d∈R)，z1?=a?bi,z2?=c?di，z1?+z2?=(a+c)?(b+d)i，

∴|z1?+z2?|2=(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd≤a2+b2+c2+d2+2|ac+bd|=11.【答案】AC【解析】解：由A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，

則AB=(1,2)，AC=(2,1)，BC=(1,?1)，

則OP=mAB+nAC=(m+2n,2m+n)，

對于選項(xiàng)A，若O12.【答案】AC【解析】解：根據(jù)題意，如圖：將該二十四等邊體補(bǔ)形為正方體，二十四等邊體的頂點(diǎn)為正方體各個(gè)棱的中點(diǎn)，

由此分析選項(xiàng)：

對于A，因?yàn)樵摱牡冗咉w的所有棱長都為2，所以正方體的棱長為2×2×22=2，A正確；

對于B，正方體的棱長為2，則棱長的一半為1，則被截去的一個(gè)四面體的體積V1=13×1×1×1=13，B錯(cuò)誤；

對于C，正方體的棱長為2，則正方體的體積V=2×2×2=8，被截去的8個(gè)四面體的體積之和為8V113.【答案】?【解析】解：(1?i)z=22i，

則z14.【答案】1：2：3

【解析】解：設(shè)球的半徑為r，則圓錐的底面半徑為r，高為2r，圓柱底面半徑為r，高為2r，

∴圓錐體積：V圓錐=13πr2?2r=23πr3，球的體積V球=43πr3，圓柱的體積V圓柱=πr2?15.【答案】120(【解析】解：如圖，

由圖可知，∠DAB=15°，

∵tan15°=tan(45°?30°)=tan45°?tan30°1+tan45°tan30°=2?3．

16.【答案】[1【解析】【分析】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．

由題可設(shè)c=(x,y)，a=(1,3)，b=(【解答】解：設(shè)c=(x,y)，a=(1,3)，b=(?1,3)，此時(shí)滿足|a|=|b|=a?b=2，

17.【答案】解：(1)復(fù)數(shù)z1=1+ai(a∈R)，

則z1?=1?ai，

∵z1?(3+i)為純虛數(shù)，即(1【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解；

(2)18.【答案】解：(1)∵M(jìn)，N分別為BC，AC中點(diǎn)，

∴BN=BA+AN=BA+12【解析】(1)利用平面向量加法法則能求出結(jié)果．

(2)利用重心的性質(zhì)和向量的線性運(yùn)算表示出A19.【答案】解：(1)畫出平面四邊形OABC的平面圖如圖所示：

計(jì)算平面圖形OABC的面積為S四邊形OABC=3×22=6【解析】(1)利用斜二測畫法的規(guī)則作出圖形，由面積公式計(jì)算平面四邊形OABC的面積；

20.【答案】解：(1)∵向量m=(2b?c,cosC)與向量n=(a,cosA)共線，

∴(2b?c)cosA?acosC=0，

由正弦定理可得：2sinBcosA?si【解析】(1)利用向量共線定理、正弦定理即可得出；

(2)由已知利用三角形的面積公式可求得bc=20，又b=21.【答案】解：(1)在△ABC中，A+B+C=π，

∵向量m與向量n共線，∴(2b?c)cosA=acosC，

由正弦定理可得(2sinB?sinC)【解析】(1)根據(jù)向量m與向量n共線，得到(2b?c)cosA22.【答案】解：(1)∵OA=3km，OB=33km,∠AOB=90°，

∴∠OAB=60°，

在△AOM中，由余弦定理得OM2=OA2+