基本特征數(shù)及計(jì)算

第三周星期二，第三次課（4）課時(shí)題目：基本特征數(shù)及其計(jì)算一、教學(xué)目的：掌握幾種特征數(shù)的作用、計(jì)算方法和性質(zhì)二、教學(xué)內(nèi)容：1平均數(shù)2標(biāo)準(zhǔn)差3變異系數(shù)三、重點(diǎn)難點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)、作用與計(jì)算教學(xué)內(nèi)容：一、平均數(shù)1算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡(jiǎn)稱平均數(shù)或均數(shù)，記為X。算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。（一）直接法主要用于樣本含量nW30以下、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計(jì)算。設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值：x「％、…、％，則樣本平均數(shù)X可通過(guò)下式計(jì)算：X]+X2^^X（二）加權(quán)法對(duì)于樣本含量nN30以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算公式為：VfX+fX++fX11VfXX=_ik.k=4=1=yf1+f2+?fVf習(xí)i

i=1式中：X.-第i組的組中值；f?一第i組的次數(shù)；-分組數(shù)第i組的次數(shù)fj是權(quán)衡第i組組中值％在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此fi稱為是％的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名?！?【例3.1】將100頭長(zhǎng)白母豬的仔豬一月窩重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。表3-1100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表組別組中值（x）次數(shù)（f）fx10—1534520—25615030—352691040—4530135050—5524132060—658520

70—753225合計(jì)10045204520100=45.2(@)即這100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg?！纠?520100=45.2(@)即這100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。【例3.2】某牛群有黑白花奶牛1500頭，其平均體重為750kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725kg，如果將這兩個(gè)牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？Zx=Tffx750x1500+725x12002700=738.89(kg)平均數(shù)的基本性質(zhì)1、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。咒(x-X)=0或簡(jiǎn)寫(xiě)成Z(x-X)=0ii=12、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。Z(xZ(x-x)2<Zii=1i=1(x「a)2(常數(shù)aAx)或簡(jiǎn)寫(xiě)為：Z(x-x)2<Z(x-a)22、幾何平均數(shù)n個(gè)觀測(cè)值相乘之積開(kāi)n個(gè)觀測(cè)值相乘之積開(kāi)n次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)，記為G。其計(jì)算公式如下:(3—3)G=nx-x-x…x=(x-x-x…x)；'123n123n(3—3)為了計(jì)算方便，可將各觀測(cè)值取對(duì)數(shù)后相加除以n，得lgG，再求lgG的反對(duì)數(shù)，即得G值，即(3—4)G=lgT[4(lgx+lgx+…+lgx)]n12n(3—4)【例3.7】某波爾山羊群1997—2000年各年度的存欄數(shù)見(jiàn)表3—3，試求其年平均增長(zhǎng)率。表3—3某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增長(zhǎng)率年度存欄數(shù)(只)增長(zhǎng)率(x)Lgx1997140——19982000.429-0.36819992800.400-0.39820003500.250-0.602Nlgx=-1.368利用公式(3—7)求年平均增長(zhǎng)率

G=lg-1[-(lg土+lgx+...+lgx)]

n12n=lg-i[1(-0.368-0.398-0.602)]3=lg-i(-0.456)=0.3501即年平均增長(zhǎng)率為0.3501或35.01%。3、調(diào)和平均數(shù)資料中各觀測(cè)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)，記為H，即H==—（3—5）n寸+丁+…P產(chǎn)x12n調(diào)和平均數(shù)主要用于反映畜群不同階段的平均增長(zhǎng)率或畜群不同規(guī)模的平均規(guī)模?！纠?.8】某保種牛群不同世代牛群保種的規(guī)模分別為：0世代200頭，1世代220頭，2世代210頭；3世代190頭，4世代210頭，試求其平均規(guī)模。利用公式（3—9）求平均規(guī)模：H===—-—=208.33(頭)+(+++++++++)1(0.024)0.004852002202101902105即保種群平均規(guī)模為208.33頭。對(duì)于同一資料，算術(shù)平均數(shù)＞幾何平均數(shù)＞調(diào)和平均數(shù)。二、標(biāo)準(zhǔn)差1標(biāo)準(zhǔn)差的意義：反映了樣本的變異程度及平均數(shù)的代表性大小。方差公式：S2=Z（x一x）2/n-1（3—6）相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為。2。對(duì)于有限總體而言，。2的計(jì)算公式為:02=Z（x-n）2/N（3—7）由于樣本方差帶有原觀測(cè)單位的平方單位，在僅表示一個(gè)資料中各觀測(cè)值的變異程度而不作其它分析時(shí)，常需要與平均數(shù)配合使用，這時(shí)應(yīng)將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把樣本方差S2的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差，記為S，即:(3-8)(3-9):Z（x-x）2(3-8)(3-9)":n-1■Ex2一（Zx）2可改寫(xiě)為：S=['\n-12、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法（一）直接法對(duì)于未分組或小樣本資料，可直接利用（3—11）或（3-12）式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差?！纠?.9】計(jì)算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的標(biāo)準(zhǔn)差。此例n=10，經(jīng)計(jì)算得：Nx=5400，Nx2=2955000，代入（3—12）式得：

,'2955000—54002/10'10-1=65.828(g)（二）加權(quán)法對(duì)于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算即=65.828(g)（二）加權(quán)法對(duì)于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算公式為:(3—14)°2f(X-兄)2:￡fx2-(Zfx)n￡f

s=3。L—f一(3—14)式中，f為各組次數(shù)；x為各組的組中值；Nf=n為總次數(shù)。【例3.10】利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表（見(jiàn)表3-4）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。將表3-4中的Nf、Nfx、Sfx2代入（3—14）式得:,'￡fx,'￡fx2-(￡fx)2/￡fs=1f,'575507.11-10705.12/200:200—1=3.5524(g)即某純系蛋雞200枚蛋重的標(biāo)準(zhǔn)差為3.5524g。表3—4某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布及標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表組別組中值（x）次數(shù)（f）fxfx244.15—45.03135.06075.045.85—46.76280.213085.3447.55—48.416774.437480.9649.25—50.1221102.255220.2250.95—51.8301554.080497.2052.65—53.5442354.0125939.0054.35—55.2281545.085317.1256.05—56.9301707.097128.3057.75—58.612703.241207.5259.45—60.35301.518180.4561.15—62.04248.015376.00合計(jì)Nf=200Nfx=10705.1N23、標(biāo)準(zhǔn)差的特性（一）標(biāo)準(zhǔn)差的大小，受資料中每個(gè)觀測(cè)值的影響，如觀測(cè)值間變異大，求得的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小。（二）在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，在各觀測(cè)值加上或減去一個(gè)常數(shù)，其數(shù)值不變。（三）當(dāng)每個(gè)觀測(cè)值乘以或除以一個(gè)常數(shù)a，則所得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差的a倍或1/a倍。（四）在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有68.26%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右一倍標(biāo)準(zhǔn)差（X+S）范圍內(nèi)；約有95.43%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準(zhǔn)差（X+2S）范圍內(nèi)；約有99.73%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準(zhǔn)差（f±3S）范圍內(nèi)。也就是說(shuō)全距近似地等于6倍標(biāo)準(zhǔn)差，可用（全距/6）來(lái)粗略估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差。三、變異系數(shù)當(dāng)進(jìn)行兩個(gè)或多個(gè)資料變異程度的比較時(shí)，如果度量單位與平均數(shù)相同，可以直接利用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)比較。如果單位和（或）平均數(shù)不同時(shí)，比較其變異程度就不能采用標(biāo)準(zhǔn)差，而需采用標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值來(lái)比較。標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值稱為變異系數(shù)，記為C?V。變異系數(shù)可以消除單位和（或）平均數(shù)不同對(duì)兩個(gè)或多個(gè)資料變異程度比較的影響。變異系數(shù)的計(jì)算公式為：C-V=-X100%（3—15）元【例3.11]已知某良種豬場(chǎng)長(zhǎng)白成年母豬平均體重為190kg，標(biāo)準(zhǔn)差為10.5kg，而大約克成年母豬平均體重為196kg，標(biāo)準(zhǔn)差為8.5kg，試問(wèn)兩個(gè)品種的成年母豬，那一個(gè)體重變異程度大。此例觀測(cè)值雖然都是體重，單位相同，但它們的平均數(shù)不相同，只能用變異系數(shù)來(lái)比較其變異程度的大小。由于，長(zhǎng)白成年母豬體重的變異系數(shù)：C-V=105X100%=5.53%190大約克成年母豬體重的變異系數(shù)：C-V=-8^X100%=4.34%196所以，長(zhǎng)白成年母豬體重的變異程度大于大約克成年母豬。注意，變異系數(shù)的大小，同時(shí)受平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的影響，因而在利用變異系數(shù)表示資料的變異程度時(shí)，最好將平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差也列出。習(xí)題1、生物統(tǒng)計(jì)中常用的平均數(shù)有幾種？各在什么情況下應(yīng)用？2、何謂算術(shù)平均數(shù)？算術(shù)平均數(shù)有哪些基本性質(zhì)？3、何謂標(biāo)準(zhǔn)差？標(biāo)準(zhǔn)差有哪些特性？4、何謂變異系數(shù)？為什么變異系數(shù)要與平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差配合使用？5、10頭母豬第一胎的產(chǎn)仔數(shù)分別為：9、8、7、10、12、10、11、14、8、9頭。試計(jì)算這10頭母豬第一胎產(chǎn)仔數(shù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)。（兄=9.8頭，S=2.098頭，C?V=21.40%）。6、隨機(jī)測(cè)量了某品種120頭6月齡母豬的體長(zhǎng)，經(jīng)整理得到如下次數(shù)分布表。試?yán)眉訖?quán)法計(jì)算其平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)。組別組中值（x）次數(shù)（f）80—84288—921096—10029104—10828112—1