2018-2019學(xué)年上海市上海外國語大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

第第#頁共16頁積的最小值時(shí),可以考慮用極坐標(biāo)的方法做進(jìn)行簡化計(jì)算,屬于難題.23.已知拋物線E：y2=2px(p>0)，點(diǎn)Q為直線X=-2p上任一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,(1)證明A,Q,B三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列；(2)已知當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(—2p,2)時(shí)，|AB|=12，求此時(shí)拋物線E的方程；(3)是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線E上，其中點(diǎn)C滿足就=04+05，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)y2=2，2x；(3)存在一點(diǎn)Q(—2p,0)滿足題意.【解析】(1)設(shè)A(X1,y1),B(X2,y2)，對y2=2px求導(dǎo)，則可求出在a,b處的切線方程，再聯(lián)立切線方程分析即可.(2)根據(jù)(1)中的切線方程，代入y；=2px1,y2=2px2則可得到直線AB的方程，再聯(lián)立拋物線求弦長列式求解即可.⑶分情況，當(dāng)D的縱坐標(biāo)y0=0與y0w0兩種情況,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)表達(dá)式，再利用AB與CD垂直進(jìn)行求解分析是否存在即可.【詳解】p(1)設(shè)A(x,y),B(x,y)，對y2=2px求導(dǎo)有2yy=2p,y=-，故在A(x,y)處的11 22 y 11切線方程為y-y1=f(xT,即x-x1=節(jié)-去又x1=2p同理在B(x2,y2)處的切線方程為x=子—2yp，x=軍—空聯(lián)立切線方程有1p2p^yyyyy2y2 y+y聯(lián)立切線方程有1n———=r—在，化簡得y=1c2yyy2 pp2p2p 2X卞2Py+y y+y即Q的縱坐標(biāo)為4TA，因?yàn)?x+戶=y+y，故A,Q,B三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)2 2 12列.(2洞⑴有在A(x1,y1)處的切線方程為x-x1=可一于,因?yàn)閥12=2px1,

所以x-yyy-2，即，二節(jié)-,又切線過（-2p,2），則-2p=2y-＞同理-2p=2P2—x2，故A(x1,y1),B(x2,y2)均滿足直線方程-2p=2y—匕即2 y2=2px故直線l:x=—y+2p，聯(lián)立］ 2cny2-4y-4p2=0ABp x=—y+2pp則AB=則AB=^^1-y2-4：1+±p2\；港=12,4即p2+謔=4，解得p=Y2，故拋物線E：y2=2<2x.x+x+xy+y+y、TOC\o"1-5"\h\z⑶設(shè)D(x,y)由題意得C(x+x,y+y)，則CD中點(diǎn)M(+^—3,同/々),33 1 21 2 2 2y-yy-y2p2pp-A2=——12—= ==——又直線ab斜率x-xy2y2y+y2yy，故設(shè)1 2 —1-——2 1 2 0 02p2pl：y-y=—(x-x).AB 1y 1 .0x+xy+y又CD的中點(diǎn)M在直線AB上,且AB中點(diǎn)(+五,、^)也在直線AB上,p代入得y3=yx3.又D(x3,y3)在拋物線上，則y；=2px3=2y0y3.02y2所以y=0或y=2y.即點(diǎn)D(0,0)或D(--0,2y)3 30 p0⑴當(dāng)y0=0時(shí)，則y1+y2=2y0=0，此時(shí)點(diǎn)Q(-2p,0)滿足y2+y2(2)當(dāng)y豐0時(shí)，對D(0,0)，此時(shí)C(x+x,y+y)=C(4--^,2y)，則0 1 21 2 2p 0kCD4kCD 0—y2+y212=-1,不成立,p p 4py=-1,不成立,又k=-—.AB±CD，所以k?k=—? 0—二 ABy ABCDyy2+y2 y2+y20 01 2 1 22y2 v2+y2對D(--0,2y)，因?yàn)镃(L二，2y)，此時(shí)直線CD平行于x軸,又因?yàn)閜0 2p0k=P-豐0ABy,0故直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，故y0W0時(shí)，不存在符合題意的Q點(diǎn).